1、第三章中值定理與導數的應用教學目的：1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。3、會用二階導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。4、掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。5、知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。6、知道方程近似解的二分法及切線性。教學重點 ：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數的極值，判斷函數的單調性和求函數極值的方法；3、函數圖形的凹凸性；4、洛必達法則。教學難點：1、羅

2、爾定理、拉格朗日中值定理的應用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數的圖形描繪；4、洛必達法則的靈活運用。§3 1中值定理一、羅爾定理費馬引理設函數 f(x)在點 x0 的某鄰域 U (x0)內有定義并且在 x0 處可導 如果對任意 x U (x0) 有f(x)f( x0) (或 f( x)f(x0)那么 f (x0) 0羅爾定理如果函數 y f(x) 在閉區間 a,b上連續 在開區間 (a, b)內可導且有 f(a) f(b)那么在 (a, b)內至少在一點使得 f ( ) 0簡要證明(1) 如果 f(x)是常函數 則 f (x) 0定理的結論顯然成立(2) 如果 f(x)不

3、是常函數則 f(x)在 (a b)內至少有一個最大值點或最小值點不妨設有一最大值點 (a b)于是f ( ) f ( )lim f (x) f ( ) 0xxf ( )f ( )lim f (x)f ( )0x x所以 f (x)=0.羅爾定理的幾何意義二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理內至少有一點(a< <b)如果函數使得等式f(x)在閉區間 a b 上連續在開區間 (a b)內可導那么在( a b)f(b) f(a) f ( )(b a)成立拉格朗日中值定理的幾何意義f()f (b)f (a)b a定理的證明引進輔函數令(x)f(x) f(a)f (b)f (a) (x a)

4、ba容易驗證函數f(x)適合羅爾定理的條件(a)(b)0(x)在閉區間 a b 上連續在開區間 (ab)內可導且(x)ff (b)f (a)(x)ba根據羅爾定理可知在開區間 (ab)內至少有一點使( ) 0即f ()f (b)f (a)0ba由此得f (b)f (a)f ( )ba即f(b)f(a) f ( )( ba)定理證畢f(b) f(a) f ( )(b a) 叫做拉格朗日中值公式這個公式對于b<a 也成立拉格朗日中值公式的其它形式設 x為區間 ab內一點 xx 為這區間內的另一點( x>0 或 x<0) 則在 x xx ( x>0) 或 xx x ( x&l

5、t;0) 應用拉格朗日中值公式得f( xx)f(x)f( xx)x (0<<1)如果記 f(x)為 y則上式又可寫為yf (xx)x (0< <1)試與微分 d y f(x)x 比較 d yf(x)x 是函數增量y的近似表達式而f (xx)x 是函數增量y 的精確表達式作為拉格朗日中值定理的應用我們證明如下定理定理如果函數 f(x)在區間I 上的導數恒為零那么 f(x)在區間 I 上是一個常數證在區間 I 上任取兩點 x1x2(x1<x2)應用拉格朗日中值定理就得f(x2)f( x1)f()( x2x1)(x1< < x2)由假定f( )0所以 f(x

6、2) f(x1)0即f(x2) f( x1)因為 x1x2 是 I 上任意兩點所以上面的等式表明f( x)在 I 上的函數值總是相等的這就是說f(x)在區間I 上是一個常數例 2證明當 x0 時1xln(1x) xx證設 f(x) ln(1x)顯然 f(x)在區間 0x 上滿足拉格朗日中值定理的條件根據定理 就有f(x)f(0)f( )( x 0) 0< <x。由于 f(0)0f(x)1因此上式即為1xln(1x)x1又由 0x有xln(1x)x1x三、柯西中值定理設曲線弧 C 由參數方程XF( x)(ax b)Yf (x)表示 其中 x 為參數如果曲線 C 上除端點外處處具有不垂

7、直于橫軸的切線那么在曲線 C 上必有一點 x使曲線上該點的切線平行于連結曲線端點的弦AB曲線 C 上點 x 處的切線的斜率為dYf()dXF ()弦 AB 的斜率為f (b)f (a)F (b)F (a)于是f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()柯西中值定理如果函數 f(x)及 F(x)在閉區間 ab 上連續在開區間 (ab)內可導且 F (x)在 (a b)內的每一點處均不為零那么在 (ab)內至少有一點使等式f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()成立顯然如果取 F(x) x那么 F(b)F(a)b a F (x)1 因而柯西中值公式就可以寫成f(b)f(

8、a)f ( )( b a)( a< <b)這樣就變成了拉格朗日中值公式了§3. 3泰勒公式對于一些較復雜的函數為了便于研究往往希望用一些簡單的函數來近似表達由于用多項式表示的函數只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算便能求出它的函數值因此我們經常用多項式來近似表達函數在微分的應用中已經知道當 |x|很小時有如下的近似等式xe1 x ln(1 x)x這些都是用一次多項式來近似表達函數的例子但是這種近似表達式還存在著不足之處首先是精確度不高這所產生的誤差僅是關于x 的高階無窮小其次是用它來作近似計算時不能具體估算出誤差大小因此對于精確度要求較高且需要估計誤差時候就必須用高次

9、多項式來近似表達函數 同時給出誤差公式設函數 f(x) 在含有 x0 的開區間內具有直到(n 1)階導數 現在我們希望做的是找出一個關于( x x0 )的 n 次多項式p n(x)a 0a 1(x x0 ) a 2(x x0 ) 2a n (x x0 ) n來近似表達 f(x)要求 p n(x)與 f(x)之差是比 (xx0 ) n 高階的無窮小并給出誤差 | f (x)p n (x)|的具體表達式我們自然希望p n(x)與 f(x)在 x0的各階導數 (直到 (n 1)階導數 )相等 這樣就有p n(x)a 0a 1(x x0 ) a 2(x x0 ) 2a n (x x0 ) np n (

10、x)a 1 2 a 2( x x0 )na n ( xx0 ) n 1p n(x)2 a 23 2a 3( x x0 )n (n 1)a n (xx0 ) n 2p n(x)3!a 34 3 2a 4(x x0 )n (n 1)(n2)a n (xx0 ) n 3p n (n )(x) n! a n于是pn (x0 ) a 0p n (x0 )a 1p n(x0 )2! a 2p n( x)3! a 3p n (n)(x) n! a n按要求有f(x0) p n(x0)a0 f (x0)p n (x0)a 1f(x0)p n(x0)2! a 2f( x0)p n(x0)3! a 3(n) (n

11、)f (x0) p n (x0) n! a n從而有a 0 f(x0 ) a 1f (x0 ) a1f (x )a1 f( x )a1 f ( n)( x )22!033!0nn!0ak1f (k)( x0) (k 0 1 2n)k!于是就有pn(x) f(x0)f (x0) (xx0)1 f(x) (xx0) 21f(n) (x ) (x x0) n2!0n!0泰勒中值定理如果函數 f(x) 在含有 x0 的某個開區間 (ab)內具有直到 (n 1) 的階導數則當 x在 (a b)內時 f(x)可以表示為 (x x0 )的一個 n 次多項式與一個余項R n(x)之和f (x)f ( x0 )

12、f ( x0 )( x x0) 1 f (x0)(xx0 )21 f (n)( x0 )(xx0)nRn( x)2!n!其中Rn (x)f (n1) ()(xx0 )n 1 (介于 x0 與 x 之間 )(n1)!這里多項式pn (x) f (x0 )f (x0 )(xx0) 1 f (x0)(x x0 )21 f (n)( x0 )( x x0)n2!n!稱為函數 f(x)按 (xx0 )的冪展開的 n 次近似多項式公式f (x)f (x0 )f ( x0)(xx0 ) 1 f (x0)( x x0) 21 f ( n) (x0 )(x x0 )nRn(x)2!n!稱為 f(x)按 (x x

13、0 )的冪展開的 n 階泰勒公式 而 R n(x)的表達式其中 Rn (x)f (n1) () (xx0 )n 1 (介于 x 與 x0 之間 )(n1)!稱為拉格朗日型余項當 n0 時泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x) f( x0 )f ()(x x0 )( 在 x0 與 x 之間 )因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣如果對于某個固定的 n 當 x 在區間 ( a b)內變動時|f (n 1)(x)|總不超過一個常數M 則有估計式及可見|Rn( x) | |f (n 1) ()(x x0)n 1 |M|x x0|n 1(n 1)!(n 1)!limRn(x)0x x0(x x0 )n

14、妝 xx0 時 誤差 |R n (x)|是比 (x x0 )n 高階的無窮小即R n (x) o(x x0 ) n 在不需要余項的精確表達式時n 階泰勒公式也可寫成f (x) f (x0 ) f ( x0)(xx0 )1f (x0)( x x0) 21f ( n)( x0 )(x x0 )no( x x0) n2!n!當 x00 時的泰勒公式稱為麥克勞林公式f (x)f (0) f (0) xf (0) 2x2!或f (x)f (0)x2f (0) f (0)x2!其中 Rn (x)f (n1) ( ) xn 1(n1)!就是f (n) (0)xnR (x)n!nf (n) (0) n(n )

15、xo xn!由此得近似公式f (x) f (0) f (0)xf (0) x2f (n) (0) xn2!n!誤差估計式變為|R ( x) |M|x |n 1n(n1)!例 1寫出函數f(x) ex 的 n階麥克勞林公式解 因為 f(x)f(x) f(x)f ( n) (x) e x所以 f(0) f (0) f (0)f ( n) (0)1于是ex 1x1 x21 xne xxn 1 (0<2!n!(n 1)!并有ex 1 x1 x21 xn2!n!這時所產性的誤差為|R n(x)|e xx n1 |<e|x| x | n1(n1)!(n1)!當 x1 時可得 e 的近似式ex

16、1 112!其誤差為|R n |<e3(n1)!(n1)!)1n!例 2求 f( x) sin x 的 n 階麥克勞林公式解 因為f (x) cos x f(x)sinxf (x)cos xf (4) (x)sin xf (n) (x)sin(xn)2f (0) 0f (0) 1f(0)0f(0)1 f ( 4)(0) 0于是1315(1) m 12m 1R2 m( x)sin xx3! x5! x(2m 1)! x當 m 1、2、 3 時 有近似公式sin x xs i nxx1 x3s i nxx1 x31 x53!3!5!§3 4函數單調性與曲線的凹凸性一、函數單調性的判

17、定法如果函數 yf(x)在 ab上單調增加 （單調減少）那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升 （下降）的曲線這時曲線的各點處的切線斜率是非負的（是非正的）即 y f(x) 0(y f (x) 0) 由此可見函數的單調性與導數的符號有著密切的關系反過來能否用導數的符號來判定函數的單調性呢？定理 1(函數單調性的判定法)設函數 y f(x)在 a b上連續在 (a b)內可導(1) 如果在 (a b)內 f (x)0那么函數 y f(x)在 ab 上單調增加(2) 如果在 (a b)內 f (x) 0那么函數 yf(x)在 a b 上單調減少證明 只證 (1)在 ab上任取兩點 x1x2(x1 x2

18、 )應用拉格朗日中值定理得到f(x2 ) f( x1 )f ()(x2 x1)(x1x2 )由于在上式中x2 x10因此 如果在 (ab)內導數 f( x)保持正號即 f(x) 0 那么也有 f()0于是f(x2 ) f(x1 )f ( )( x2x1 ) 0即f(x1 )f(x2 )這函數 y f(x) 在 ab 上單調增加注判定法中的閉區間可換成其他各種區間例 1 判定函數 y x sin x 在 0 2 上的單調性解 因為在(0 2 )內y1 cos x0所以由判定法可知函數y x cos x 在 0 2 上的單調增加例 2討論函數 y ex的單調性（沒指明在什么區間怎么辦？ )x 1解

19、 y e x 1函數 y exx1 的定義域為 () 因為在(0)內 y0所以函數 y e x x 1 在 (0 上單調減少因為在 (0)內 y 0 所以函數 ye xx 1 在0)上單調增加例 3討論函數 y3 x2 的單調性解 函數的定義域為 ()當時函數的導數為y2(x 0)函數在 x0 處不可導x33當 x0 時 函數的導數不存在因為 x0時 y0所以函數在 ( , 0 上單調減少因為 x0時 y0所以函數在 0,) 上單調增加如果函數在定義區間上連續除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續那么只要用方程 f(x) 0 的根及導數不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間就能保證 f (

20、x)在各個部分區間內保持固定的符號因而函數 f(x)在每個部分區間上單調例 4 確定函數 f(x) 2x3 9x2 12x 3 的單調區間解這個函數的定義域為 : ()函數的導數為 : f (x) 6x2 18x126(x1)(x2) 導數為零的點有兩個x1 1、 x22列表分析(11 22)f (x)f(x)函數 f(x)在區間 (1和 2)內單調增加在區間 1 2上單調減少例 5討論函數 y x3 的單調性解函數的定義域為 ()函數的導數為 y3x2 除當 x 0 時 y0 外 在其余各點處均有 y 0因此函數y x 3 在區間 (0 及0)內都是單調增加的從而在整個定義域()內是單調增加

21、的在 x 0 處曲線有一水平切線一般地如果 f (x)在某區間內的有限個點處為零在其余各點處均為正 （或負） 時那么 f(x)在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的例 6 證明 當 x 1 時2 x 3 1x證明 令 f (x) 2x(31 )則xf ( x)111 (xx 1)xx2x2因為當 x1 時 f(x)0因此 f(x)在 1,) 上 f(x)單調增加 從而當 x 1時 f(x) f(1)由于 f(1)0故 f(x)f(1)0即2 x(3 1x )0也就是 2 x3 1x (x 1)二、曲線的凹凸與拐點凹凸性的概念yyf ( x1 )f ( x2 )f ( x1 ) f ( x2

22、)22fx1 x2fx1 x222f(x1)f(x2)f( x1)f(x2 )Ox1x1 x2x 2xOx1x1 x2x 222定義設 f(x)在區間 I 上連續如果對 I 上任意兩點 x 1 x 2恒有f ( x1 x2 )f (x1)f ( x2 )22那么稱 f(x)在 I 上的圖形是 (向上 )凹的 (或凹弧 )如果恒有f ( x1 x2 )f (x1)f ( x2 )22x那么稱 f(x)在 I 上的圖形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )定義設函數 y f(x)在區間 I 上連續如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間I 上是凹的； 如果函數的曲線位于其上任意一點的

23、切線的下方，則稱該曲線在區間 I 上是凸的凹凸性的判定定理設 f(x)在 a b 上連續在 (a b)內具有一階和二階導數那么(1) 若在 (a b)內 f(x)>0則 f(x) 在a b上的圖形是凹的(2) 若在 (a b)內 f(x)<0則 f(x) 在a b上的圖形是凸的簡要證明只證 (1)設 x1, x2 x1x2ab 且 x1x2記 x0x1 x22由拉格朗日中值公式得f (x )f (x )f (1)(xx)f () x1x2x1x01010121f (x2)f (x0)f (2 )(x2x0)f(2) x2x1x02x22兩式相加并應用拉格朗日中值公式得f (x1)

24、f (x2) 2 f (x0) f ( 2 ) f ( 1) x2 x12f ()(2)x2x101212即 f ( x1) f ( x2 )f ( x1 x2 )所以 f(x)在 ab上的圖形是凹的22拐點 連續曲線 y f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點確定曲線 y f(x)的凹凸區間和拐點的步驟(1) 確定函數 y f(x)的定義域(2) 求出在二階導數 f (x)(3) 求使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點(4) 判斷或列表判斷 確定出曲線凹凸區間和拐點注 根據具體情況（ 1）（ 3）步有時省略例 1 判斷曲線 y ln x 的凹凸性解y1y1xx2因為在函數 yln

25、x 的定義域 (0)內y <0 所以曲線 y ln x 是凸的例 2判斷曲線 y x3 的凹凸性解y3x 2 y6x由 y 0 得 x 0因為當 x<0 時 y <0所以曲線在 (0內為凸的因為當 x>0 時 y >0所以曲線在 0)內為凹的例 3求曲線 y 2x 33x 2 2x 14 的拐點解 y26x 6x 12y12x6 12(x1)2令 y0得 x12因為當 x1時 y0 當 x1 時 y0所以點( 120 1 )是曲線的拐點2222例 4求曲線 y 3x 44x 31 的拐點及凹、凸的區間解(1)函數 y 3x 4 4x3 1 的定義域為 ()(2)y

26、12x3 12x222y36x24x 36x( x3 )(3) 解方程 y 0得 x10x223(4) 列表判斷(0)0(02/3)2/3(2/3)f (x)00f(x)111/27在區間 (0 和2/3)上曲線是凹的在區間 02/3 上曲線是凸的點 (0 1)和 (2/311/27)是曲線的拐點例 5問曲線 y x 4 是否有拐點？3 2解 y 4x y 12x當 x0 時 y >0在區間 () 內曲線是凹的因此曲線無拐點例 6求曲線 y3 x 的拐點解(1)函數的定義域為 ()(2) y1y23 3 x23x29x(3) 無二階導數為零的點二階導數不存在的點為 x 0(4) 判斷當

27、x<0 當 y >0當 x>0 時 y <0因此點 (0 0)曲線的拐點§3 5 函數的極值與最大值最小值一、函數的極值及其求法極值的定義定義 設函數 f(x)在區間 (a, b)內有定義x0(a, b) 如果在 x0 的某一去心鄰域內有 f(x) f(x0)則稱 f(x0) 是函數 f(x)的一個極大值如果在 x0 的某一去心鄰域內有f(x) f(x0 )則稱 f(x0)是函數 f(x)的一個極小值設函數 f(x)在點 x0的某鄰域 U (x0)內有定義如果在去心鄰域U (x0)內有 f(x)f(x0) ( 或 f(x) f( x0)則稱 f(x0)是函數

28、f(x)的一個極大值 (或極小值 )函數的極大值與極小值統稱為函數的極值使函數取得極值的點稱為極值點函數的極大值和極小值概念是局部性的如果 f(x0)是函數 f(x)的一個極大值那只是就 x0 附近的一個局部范圍來說f(x0)是 f(x)的一個最大值如果就 f(x)的整個定義域來說f(x0 )不一定是最大值 關于極小值也類似極值與水平切線的關系在函數取得極值處曲線上的切線是水平的但曲線上有水平切線的地方函數不一定取得極值定理 1 (必要條件 )設函數 f( x)在點 x0處可導 且在 x0 處取得極值那么這函數在 x0 處的導數為零即 f (x0) 0證為確定起見假定 f(x0)是極大值 (極

29、小值的情形可類似地證明) 根據極大值的定義在x0 的某個去心鄰域內對于任何點 x f( x)f(x0)均成立 于是當 x x0 時f ( x)f (x0)0xx0因此f (x0)limf (x)f (x0 )xx00xx0當 xx0時f ( x)f (x0)0xx0因此f(x0)limf (x)f (x0)0xx0xx0從而得到f (x0)0簡要證明假定 f(x0)是極大值根據極大值的定義在 x0 的某個去心鄰域內有 f(x)f(x0) 于是f (x0 )f(x0)limf (x)f (x0 )0xx0xx0同時f (x0 )f(x0)limf (x)f (x0)0x x0xx0從而得到 f(

30、x0)0駐點使導數為零的點 (即方程 f(x)0 的實根 )叫函數 f(x)的駐點 定理就是說可導函數f(x)的極值點必定是函數的駐點但的過來函數 f(x)的駐點卻不一定是極值點考察函數 f(x) x3 在 x 0 處的情況定理 (第一種充分條件 )設函數 f(x)在點 x0 的一個鄰域內連續在 x0 的左右鄰域內可導(1) 如果在 x0 的某一左鄰域內f(x)0在 x0 的某一右鄰域內f(x) 0那么函數 f(x)在 x0 處取得極大值(2) 如果在 x0 的某一左鄰域內f(x)0在 x0 的某一右鄰域內f(x) 0那么函數 f(x)在 x0 處取得極小值(3) 如果在 x0 的某一鄰域內f

31、(x)不改變符號那么函數 f(x)在 x0 處沒有極值定理 (第一種充分條件)設函數 f(x)在含 x0 的區間 (a, b)內連續在 (a, x0)及 (x0, b)內可導(1) 如果在 (a, x0)內 f(x)0在 (x0, b)內 f(x)0那么函數 f(x) 在 x0 處取得極大值(2) 如果在 (a, x0)內 f(x)0在 (x0, b)內 f(x)0那么函數 f(x) 在 x0 處取得極小值(3) 如果在 (a, x0)及 (x0, b)內 f(x)的符號相同那么函數 f(x)在 x0 處沒有極值定理 2(第一充分條件 )設函數 f(x)在 x0 連續且在 x0 的某去心鄰域 (x0x0 ) (x0 x0)內可導(1) 如果在 (x0x0)內 f (x)0在 (x0x0) 內 f (x) 0那么函數 f(x)在 x0 處取