1、第三章第三章 一維定態問題一維定態問題1 1 一維無限深勢阱一維無限深勢阱2 2 線性諧振子線性諧振子3 3 一維勢散射問題一維勢散射問題n在繼續論述量子力學根本原理之前，先用在繼續論述量子力學根本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程來處置一類簡單的問題方程來處置一類簡單的問題一維一維定態問題。其益處有四：定態問題。其益處有四：n1 1有助于詳細了解已學過的根本原理；有助于詳細了解已學過的根本原理；n2 2有助于進一步闡明其他根本原理；有助于進一步闡明其他根本原理；n3 3處置一維問題，數學簡單，從而能對結果進展處置一維問題，數學簡單，從而能對結果進展細致討論，

2、量子細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現出來；維問題中展現出來；n4 4一維問題還是處置各種復雜問題的根底。一維問題還是處置各種復雜問題的根底。1 1 一維無限深勢阱一維無限深勢阱n一一維運動一一維運動n二一維無限深勢阱二一維無限深勢阱n三宇稱三宇稱n四討論四討論一一 一維運動一維運動所謂一維運所謂一維運動就是指在動就是指在某一方向上某一方向上的運動。的運動。此方程是一個二階偏微分方程。假設勢可寫成：此方程是一個二階偏微分方程。假設勢可寫成：V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)V(x,y,z) = V1(x) + V2(

3、y) + V3(z)方式，那么方式，那么 S- S-方程可在直角坐標系中分別變量。方程可在直角坐標系中分別變量。令令(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez E = Ex + Ey + Ez于是于是S-S-方程化為三個常微分方程：方程化為三個常微分方程：當粒子在勢場當粒子在勢場 V(x,y,z) 中運動時，其中運動時，其 Schrodinger 方程為：方程為：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyY

4、yVdydxXExXxVdxdzyx ),(),(),(222zyxEzyxzyxV ),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 設設：)()()(),zZyYxXzyx （等等式式兩兩邊邊除除以以 )()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzV

5、dzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE )()()(),(zZyYxXzyx 令令：二一維無限深勢阱二一維無限深勢阱n求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： n1 1列出各勢域的一維列出各勢域的一維SS方程方程n2 2解方程解方程n3 3運用波函數規范條件定解運用波函數規范條件定解n4 4定歸一化系數定歸一化系數 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII1 1列出各勢域的列出各勢域的 S S 方程方程方程可方程可簡化為：簡化為： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(222

6、2222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 勢勢V(x)V(x)分為三個區域，分為三個區域，用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示，其上的波函數分別為其上的波函數分別為I(x),II(x) I(x),II(x) 和和III (x)III (x)。那么方程為：。那么方程為： 2 2 xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxdd

7、xddxd 3 3運用波函數規范條件運用波函數規范條件xIeC 1 從物理思索，粒子不能透過無窮高的勢壁。從物理思索，粒子不能透過無窮高的勢壁。根據波函數的統計解釋，要求在阱壁上和阱壁根據波函數的統計解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數為零，特別是外波函數為零，特別是(-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 則則解解為為：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。單值，成立；。單值，成立；2 2。有限：當。有限：當x x - - ， 有限條件要求有限條件要求 C2=

8、0C2=0。運用規范條件運用規范條件 3 3。延續：。延續： 2 2波函數導數延續：波函數導數延續：在邊境在邊境 x = -a x = -a，勢有無窮騰躍，波函數微商不延續。這是由于：，勢有無窮騰躍，波函數微商不延續。這是由于：假設假設I(-a) = II(-a)I(-a) = II(-a)， 那么有，那么有，0 = A cos(-a + 0 = A cos(-a + )與上面波函數延續條件導出的結果與上面波函數延續條件導出的結果 A sin(-a + )= 0 A sin(-a + )= 0 矛盾，矛盾，二者不能同時成立。所以波函數導數在有無窮騰躍處不延續。二者不能同時成立。所以波函數導數在

9、有無窮騰躍處不延續。, 0)sin()()( aAaaIII1 1波函數延續：波函數延續： .0),sin(,0IIIIIIxA . 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII 0)sin(0)sin( aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina 0sin0cosa 兩種情況：兩種情況：1cos00sin. 則則I由由4 4式式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE

10、 22222222222 所所以以xanAxAIIn sinsin 22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n討論討論 00sin00000 xAEnII ，時時：當當xakAxakAknIIk sinsin 時時：當當形狀不存在形狀不存在描寫同一形狀描寫同一形狀所以所以 n n 只取正整數，即只取正整數，即),2,1( n于是：于是： ,2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或22228)2(anEn 于是波于是波函數：函數： xanAxanAxAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(0211sin20cos. 則則II由

11、由3 3式式0cos a ),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所所以以類似類似 I I 中關于中關于 n = n = m m 的討論可知：的討論可知：),2,1 ,0( n 0sin0cosa )3(0sin)cos( a 奇奇數數。的的偶偶數數mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 綜合綜合 I I 、II II 結果，最后得：結果，最后得：對應對應 m = 2 nm = 2 n對應對應 m = 2n+1m = 2n+1 axxaAaxaEm|sin|02, 22222 第第一一激激

12、發發態態： axxaAaxaEm|23cos|089, 33223 第二激發態：第二激發態：能量最低的態稱為基態，其上為第一激發態、第二激發態依次類推。能量最低的態稱為基態，其上為第一激發態、第二激發態依次類推。 axxaAaxaEm|2cos|08,11221 基基態態： -a 0 a1 -a 0 a|1|2 -a 0 a2 -a 0 a|2|2 -a 0 a3 -a 0 a|3 |2由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠處，圍，在無限遠處， = 0 = 0 。這樣的形狀，稱為束縛態。一維有限運。這樣的形狀，稱為束

13、縛態。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。動能量本征值是分立能級，組成分立譜。4 4由歸一化條件定系數由歸一化條件定系數 A AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos|12sin|2222 （取取實實數數）得得：aAaA11|2 小結小結 由無窮深方勢阱問題的求解可以看由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解出，解SS方程的普通步驟如下：方程的普通步驟如下：n一、列出各勢域上的一、列出各勢域上的SS方程；方程；n二、求解二、求解SS方程；方程；n三、利用波函數的規范條件單值、有限、三、利用波函

14、數的規范條件單值、有限、延續定延續定未知數和能量本征值；未知數和能量本征值；n四、由歸一化條件定出最后一個待定系數四、由歸一化條件定出最后一個待定系數歸一化系歸一化系數。數。三宇稱三宇稱),(),(trtrrr 1 1空間反射：空間矢量反向的操作。空間反射：空間矢量反向的操作。2 2此時假設有：此時假設有： ),(),(trtr 稱波函數具有正宇稱或偶宇稱；稱波函數具有正宇稱或偶宇稱；),(),(trtr 稱波函數具有負宇稱或奇宇稱；稱波函數具有負宇稱或奇宇稱；),(),(trtr 3 3假設在空間反射下，假設在空間反射下，),(),(trtr 那么波函數沒有確定的宇稱。那么波函數沒有確定的宇

15、稱。四討論四討論一維無限深一維無限深勢阱中粒子勢阱中粒子的形狀的形狀,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征值值為為：2n = 0 , E = 0, = 0，態不存在，無意義。，態不存在，無意義。而而n = k, k=1,2,. xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin 可見，可見，n n取負整數與正整數描寫同一形狀。取負整數與正整數描寫同一形狀。1 1n = 1, n = 1, 基態，基態，與經典最低能量為零不同，與經典最低能量為零不同， 這是微觀粒子動搖性的表

16、這是微觀粒子動搖性的表現，由于現，由于“靜止的波是沒靜止的波是沒有意義的。有意義的。aEn 822 4 4nn* *(x) = n(x) (x) = n(x) 即波函數是實函數。即波函數是實函數。 .|,2cos1;|,2sin1;|0)(),(/axoddnxeanaaxevennxeanaaxextxtiEtiEtiEnnnnn 5 5定定 態態 波波 函函 數數 偶偶宇宇稱稱當當奇奇宇宇稱稱當當)()()()()()(oddnxxevennxxnnnn 3 3波函數宇稱波函數宇稱 , 3 , 2 , 1|)(2sin1|0/naxeaxanaaxtiEn 亦亦可可合合并并寫寫成成：例題1

17、 一粒子在一維勢場axaxxxU，0 00)(中運動，求粒子的能級和對應的波函數。解：txU與)(無關，是定態問題。其定態S方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各區域的詳細方式為 1 )()()()(2 0111222xExxUxdxdmx 2 )()(2 0 22222xExdxdmax 3 )()()()(2 333222xExxUxdxdmax由于(1)、(3)方程中，由于 )(xU，要等式成立，必需 0)(1x0)(2x即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程(2)可變為 0)(2)(22222xmEdxxd令 222mEk，得 0)()(22222xkdxxd其解為 kx

18、BkxAxcossin)(2根據波函數的規范條件確定系數A，B，由延續性條件，得 )0()0(12 )()(32aa0 B0sinkaA), 3 , 2 , 1( 0sin0nnkakaA xanAxsin)(2 由歸一化條件1)(2dxx得 1sin022axdxanAxanaxaAsin2)(22222mEk), 3 , 2 , 1( 22222nnmaEn可見E是量子化的。 對應于 nE的歸一化的定態波函數為 axaxaxxeanatxtEinn , , 0 0 ,sin2),(例題2例題2作作 業業n周世勛：周世勛：第二章第二章n2.3、 2.4、 2.82 2 線性諧振子線性諧振子一

19、引言一引言1何謂諧振子何謂諧振子2為什么研討線性諧振子為什么研討線性諧振子二線性諧振子二線性諧振子1方程的建立方程的建立2求解求解3運用規范條件運用規范條件4厄密多項式厄密多項式5求歸一化系數求歸一化系數6討論討論三實例三實例一引言一引言1 1何謂諧振子何謂諧振子2221xV dxdVF 因因為為量子力學中的線性諧振量子力學中的線性諧振子就是指在該式所描畫子就是指在該式所描畫的勢場中運動的粒子。的勢場中運動的粒子。 kxxkxdtxd 其其中中0222在經典力學中，當質量為在經典力學中，當質量為 的粒的粒子，受彈性力子，受彈性力F = - kxF = - kx作用，由牛作用，由牛頓第二定律可以

20、寫出運動方程為：頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為其解為 x = Asin( t + ) x = Asin( t + )。這種運動稱為。這種運動稱為簡諧振動，簡諧振動， 作這種運動的粒子叫諧振子。作這種運動的粒子叫諧振子。假設取假設取V0 = 0V0 = 0，即平衡位置處于即平衡位置處于勢勢 V = 0 V = 0 點，點，那么那么kxdxV 所所以以0221Vkx 02221Vx 2 k因因：2 2為什么研討線性諧振子為什么研討線性諧振子n自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核外表振動以及輻

21、射場動，例如分子振動、晶格振動、原子核外表振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成假設干彼此獨立的一維簡諧振動。的振動等往往都可以分解成假設干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研討，無論在實際上還是在運用上都是很重要的。研討，無論在實際上還是在運用上都是很重要的。n例如雙原子分子，兩原子間的勢例如雙原子分子，兩原子間的勢V V是二者相對間隔是二者相對間隔x x的函數，的函數，如下圖。在如下圖。在 x = a x = a 處，處，V V 有一極小值有一極小值V0 V0 。在。在 x = a x = a 附

22、近勢附近勢可以展開成泰勒級數：可以展開成泰勒級數： 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V00)(0 axxVVaV2220)(!21axxVVax 20)(21axkV axxVk 22其其中中：取新坐標原點為取新坐標原點為(a, V0)(a, V0)，那么勢可表示為規范，那么勢可表示為規范諧振子勢的方式：諧振子勢的方式：可見，一些復雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動可見，一些復雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描畫。來近似描畫。221)(kxxV 二線性諧振子二線性諧振子1 1方程的建立方程的建立2 2求解求解3 3運用規范條件

23、運用規范條件4 4厄密多項式厄密多項式5 5求歸一化系數求歸一化系數6 6討論討論1 1方程的建立方程的建立0)(2120)(2122222222222 xxEdxdxxEdxd 或或：則則方方程程可可改改寫寫為為：，其其中中令令： x22222222212212xdxdxpH 線性諧振子的線性諧振子的 Hamilton Hamilton量：量：那么那么 Schrodinger 方程可寫為方程可寫為 ：為簡單計，為簡單計，引入無量綱變量引入無量綱變量替代替代x x， Exdd20)(222 其其中中此式是一變系數此式是一變系數二階常微分方程二階常微分方程2 2求解求解0222 dd2/22/1

24、22 ecec 所所以以為求解方程，我們先看一下它的漸為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當近解，即當 時波函數時波函數的行為。在此情況下，的行為。在此情況下， 2 2 1 1其中其中 H() H() 必需滿足波函數的單值、有限、延續必需滿足波函數的單值、有限、延續的規范條件。即：的規范條件。即： 當當有限時，有限時，H()H()有限；有限； 當當時，時，H()H()的行為要保證的行為要保證() 0() 0。0)1(2 HHH 2/2)()( eH將將()()表達式代入方程得表達式代入方程得關于關于 待求函數待求函數 H() H() 所滿足的方程：所滿足的方程：令令：漸漸近近形形式式，我我們

25、們自自然然會會在在無無窮窮遠遠處處有有的的波波函函數數為為了了使使方方程程2/22220)( exdd2. H()2. H()滿足的方程滿足的方程3.3.級數解級數解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkbkkbHkbHkbH 0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb kkkbH 0我們以級數方式我們以級數方式來求解。來求解。 為此令：為此令：kkkkkbHkk )2)(1(220則則：令令kkkkkb )2)(1(20 用用 k k 替代替代 kk變變成成：則則方方程程0)1(2 HHH 由上式可以看出：由上式可以看出： b0 b0 決議一切角標決議一切角標k

26、k為偶數的系數；為偶數的系數； b1 b1 決議一切角標決議一切角標k k為奇數的系數。為奇數的系數。由于方程是二階微分方程，應有兩個由于方程是二階微分方程，應有兩個線性獨立解。可分別令：線性獨立解。可分別令：b0 0, b1=0. Heven();b1 0, b0=0. Hodd().kkbkkkb)2)(1(122 即：即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0 bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0從而導出系數從而導出系數 bk bk 的遞推公式：的遞推公式：0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb 該式對恣意該式對恣

27、意都成立，都成立，故故同次冪前的系數均應為零，同次冪前的系數均應為零，只含偶次冪項只含偶次冪項只含奇次冪項只含奇次冪項那么通解可記為：那么通解可記為：H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/23 3運用運用規范條件規范條件(I)=0exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限皆有限(II) 需求思索無窮級數需求思索無窮級數H()的收斂性的收斂性為此調查相鄰為此調查相鄰兩項之比：兩項之比：22222)2)(1(12 kkkkbbkkkkk 調查冪級數調查冪級數exp2exp2的

28、的展開式的收斂性展開式的收斂性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 比較二級數可知：比較二級數可知：當當時，時， H()H()的漸近的漸近行為與行為與exp2exp2一樣。一樣。單值性和延續性二條件自然滿足，單值性和延續性二條件自然滿足，只剩下第三個有限性條件需求進展討論。只剩下第三個有限性條件需求進展討論。由于由于H()H()是一個冪級數，故應思索他的收斂性。思索一些特殊點，是一個冪級數，故應思索他的收斂性。思索一些特殊點，即勢場有騰躍的地方以及即勢場有騰躍的地方以及x=0, x x=0, x 或或=0, =0, 。2222222222)1(1)!1()!()!()!1( k

29、kkkkkkkk 相相繼繼兩兩項項之之比比：所以總波函數有如下發散行為：所以總波函數有如下發散行為：為了滿足波函數有限性要求，冪級為了滿足波函數有限性要求，冪級數數 H() H() 必需從某一項截斷變成一必需從某一項截斷變成一個多項式。換言之，要求個多項式。換言之，要求 H() H() 從從某一項比如第某一項比如第 n n 項起項起 以后各以后各項的系數均為零，即項的系數均為零，即 bn 0, bn 0, bn+2 = 0.bn+2 = 0.0)2)(1(122 nnbnnnb 代入遞推關系代入遞推關系)得：得：結論結論基于波函數基于波函數在無窮遠處的在無窮遠處的有限性條件導致了有限性條件導致

30、了能量必需取能量必需取分立值。分立值。 expexpexpexp)()(2212212221H 212 EE因因為為012,0 nbn所所以以有有：因因為為,2,1 ,0)(21 nnE 于于是是最最后后得得：4 4厄密多項式厄密多項式附加有限性條件得到了附加有限性條件得到了 H()H()的的一個多項式，該多項式稱為厄密一個多項式，該多項式稱為厄密多項式，記為多項式，記為 Hn()Hn()，于是總波，于是總波函數可表示為：函數可表示為：)(exp221 nnnHN 022 nnnnHHH 0)1(2 HHH expexp)1()(22 nnnnddH由上式可以看出，由上式可以看出，Hn() 的

31、最高次冪是的最高次冪是 n 其系數是其系數是 2n。歸一化系數歸一化系數Hn() Hn() 也可寫成封鎖方式：也可寫成封鎖方式： = 2n+1 = 2n+1厄密多項式調和振子波函數的遞推關系：厄密多項式調和振子波函數的遞推關系：從上式出發，可導出從上式出發，可導出厄密多項式的遞推關系：厄密多項式的遞推關系：022)(2111 nnnnnnHHHnHddH 應應用用實實例例例：知例：知 H0 = 1, H1=2 H0 = 1, H1=2，那么，那么根據上述遞推關系得出：根據上述遞推關系得出：H2 = 2H1-2nH0 H2 = 2H1-2nH0 = 42-2 = 42-2下面給出前幾個厄密下面給

32、出前幾個厄密多項式詳細表達式：多項式詳細表達式：H0=1 H0=1 H2=42-2H2=42-2H4 = 164-482+12H4 = 164-482+12H1=2H1=2H3=83-12H3=83-12H5=325-1603+120H5=325-1603+120基于厄密多項式的遞推關系可以導出諧振子波函數基于厄密多項式的遞推關系可以導出諧振子波函數(x)(x)的遞推關系：的遞推關系： )()2)(1()() 12()() 1()()()()()()2)(1()() 12()() 1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxx

33、xxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn 5 5求歸一化系數求歸一化系數 ( 分 步 積 分 )該式第一項為哪一項一個多項式與該式第一項為哪一項一個多項式與 exp-2 exp-2 的的乘積，當代入上下限乘積，當代入上下限=后，該項為零。后，該項為零。繼續分步積分究竟繼續分步積分究竟由于由于HnHn的最高次項的最高次項nn的系數是的系數是2n2n，所以，所以dnHn /dn = 2n n!dnHn /dn = 2n n!。于是歸一化系數于是歸一化系數那么諧振子那么諧振子波函數為：波函數為： 其其中中：)(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122 (

34、I)(I)作變量代換，由于作變量代換，由于=x=x，所以所以d= dxd= dx；(II)(II)運用運用Hn()Hn()的封鎖方式。的封鎖方式。 deHeHnnnnnnddnddNnddnNn)() 1()() 1(21122112 deHnnnddnddNn)() 1(21121 !2 nnnN 所所以以 deHdeHnnnnnnddddnNnddnnN)()1()()1(211222 deHnddNnnnnn22)() 1( !2!2) 1(2222ndennNnNnnn 6 6討論討論3. 3. 對應一個諧振子能級只需一個本征函數，即一個形狀，所以能對應一個諧振子能級只需一個本征函數，

35、即一個形狀，所以能級是非簡并的。值得留意的是，基態能量級是非簡并的。值得留意的是，基態能量 E0=1/2 E0=1/2 0 0，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態能量不為零是類稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態能量不為零是類似的，是微觀粒子波粒二相性的表現，能量為零的似的，是微觀粒子波粒二相性的表現，能量為零的“靜止的靜止的波是沒有意義的，零點能是量子效應。波是沒有意義的，零點能是量子效應。expexp)1()(22 nnnnddH1 1。上式闡明，。上式闡明，Hn()Hn()的最高次項是的最高次項是(2)n(2)n。所以：。所以： 當當 n= n=偶，那么厄密多項式只含偶，那么厄

36、密多項式只含的偶次項；的偶次項； 當當 n= n=奇，那么厄密多項式只含奇，那么厄密多項式只含的奇次項。的奇次項。2. n2. n具有具有n n宇稱宇稱)(!2)(2/22xHenxnxnn 上式描寫的諧振子波函數所包含的上式描寫的諧振子波函數所包含的 exp-2/2 exp-2/2是是的偶函數，的偶函數，所以所以nn的宇稱由厄密多項式的宇稱由厄密多項式 Hn() Hn() 決議為決議為 n n 宇稱。宇稱。n = 0n = 1n = 24. 4. 波函數波函數然而，量子情況與此不同然而，量子情況與此不同對于基態，其幾率密度是：對于基態，其幾率密度是：0() = |0()|2 = 0() =

37、|0()|2 = = N02 exp-= N02 exp-22分析上式可知：一方面闡分析上式可知：一方面闡明在明在= 0= 0處找到粒子的處找到粒子的幾率最大；幾率最大；另一方面，在另一方面，在|1|1處，處，即在阱外找到粒子的幾率即在阱外找到粒子的幾率不為零，不為零，與經典情況完全不同。與經典情況完全不同。以基態為例，在經典情形下，粒子將被限制在以基態為例，在經典情形下，粒子將被限制在| x| 1| x| 1范圍中運動。這是由于振子在這一點范圍中運動。這是由于振子在這一點(|x| = 1)(|x| = 1)處，其勢處，其勢能能V(x)=(1/ 2)2 x2 = 1/2 V(x)=(1/ 2)

38、2 x2 = 1/2 = E0= E0，即勢能等于總，即勢能等于總能量，動能為零，粒子被限制在阱內。能量，動能為零，粒子被限制在阱內。)(!2)(2/22xHenxnxnn -3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2分析波函數可知量子力學的諧振子波函數分析波函數可知量子力學的諧振子波函數nn有有 n n 個節個節點，在節點處找到粒子的幾率為零。而經典力學的諧振點，在節點處找到粒子的幾率為零。而經典力學的諧振子在子在 -a, a -a, a 區間每一點上都能找到粒子，沒有節點。區間每一點上都能找到粒子，沒有節點。-1 0 10()n()n=2n=1n=0-11 -22-44|10|2 5. 5

39、. 幾率分布幾率分布三實例三實例解：解：1 1三維諧振子三維諧振子 Hamilton Hamilton 量量zyxHHHzyxdzddyddxdH)(22222212222222 例例1. 1. 求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況 222122222212222221222222zdzdHydydHxdxdHzyx 其其中中2 2本征方程及其能量本征值本征方程及其能量本征值 )()()()()()(333222111zEzHyEyHxExHnnnznnnynnnx 321232332121)()(3 , 2 , 1)(nnnNNnnnEinENini 其其

40、中中 )()()(zyxEEEEzyx 解得能量本征值為：解得能量本征值為：那么波函數三方向的分量那么波函數三方向的分量分別滿足如下三個方程：分別滿足如下三個方程：因此，設能量本征方程的解為：因此，設能量本征方程的解為：)()()(321111321zyxEEEEnnnnnnnnn 假設系統假設系統 Hamilton Hamilton 量可以寫成量可以寫成 那么必有：那么必有：zyxHHHH 3 3簡并度簡并度 對對給給定定 N N= = n n1 1 + + n n2 2 + + n n3 3 的的組組合合方方式式數數列列表表分分析析如如下下： n n1 1 n n2 2 組組合合方方式式數

41、數 0 0 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N N N+ +1 1 1 1 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N- -1 1 N N 2 2 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N- -2 2 N N- -1 1 . . . ., , . . . ., , . . . ., , . . . ., , . . . . . . . . N N 0 0, , 1 1 對對給給定定 N N ( ( N N= = n n1 1 + + n n2 2 + + n n3 3 ) ), , n n1 1 , , n n2 2, , n n3 3 的的

42、組組合合方方式式數數 ( (1 1/ /2 2) )( (N N+ +1 1) )( (N N+ +2 2) ) 32123)(nnnNNEN 其其中中 )()()()(321321zyxrnnnnnn 當當 N N 確定后，能量本征值確定，但是對應同一確定后，能量本征值確定，但是對應同一N N值的值的 n1, n2, n3 n1, n2, n3 有有多種不同組合，相應于假設干不同量子形狀，這就是簡并。其簡并度可決議如下：多種不同組合，相應于假設干不同量子形狀，這就是簡并。其簡并度可決議如下：當當n1 , n2 n1 , n2 確定后，確定后， n3 = N - n1 - n2 n3 = N

43、- n1 - n2，也就確定了，不添加不同，也就確定了，不添加不同組合的數目。故對給定組合的數目。故對給定N N，n1 , n2, n3 n1 , n2, n3 能夠組合數即簡并度為：能夠組合數即簡并度為：)2)(1(211)1()1( NNNNN0)()(2)(222 xxVExdxd 解：解：SchrodingerSchrodinger方程：方程：求能量本征值和本征函數。求能量本征值和本征函數。xqxxV 2221)(例例2. 2. 荷電荷電 q q 的諧振子，遭到沿的諧振子，遭到沿 x x 向外電場向外電場 的作用，其勢場為：的作用，其勢場為：1 1解題思緒解題思緒勢勢V(x)V(x)是

44、在諧振子勢上疊加上是在諧振子勢上疊加上-q -q x x項，該項是項，該項是x x 的一的一次項，而振子勢是二次項。假設我們能把這樣的勢場重新整理成次項，而振子勢是二次項。假設我們能把這樣的勢場重新整理成坐標變量平方方式，就有能夠利用知的線性諧振子的結果。坐標變量平方方式，就有能夠利用知的線性諧振子的結果。2 2改寫改寫 V(x)V(x)xqxxV 2221)(222222221 qqx 2220202 qVqx 其其中中：0202)(21Vxx 3 3HamiltonHamilton量量進展坐標變換：進展坐標變換： pxddidxdipxxx 0那么那么 Hamilton Hamilton

45、量變為：量變為：02221202022122)(2VxpVxxpH 4 4SchrodingerSchrodinger方程方程02221222022212220)(2)(0)(2)(VEExxExxddxVxExxdd 其其中中 該式是一新坐標下一維該式是一新坐標下一維線性諧振子線性諧振子SchrodingerSchrodinger方程，于是可以利用已方程，于是可以利用已有結果得：有結果得：, 2 , 1 , 02)()(22221021 nqnVEEnEnnn )()()(02/)(2/20222xxHeNxHeNxnxxnnxnn 新坐標下新坐標下 Schrodinger Schrodin

46、ger 方程改寫為：方程改寫為：本本 征征 能能 量量本本 征征 函函 數數作 業n周世勛周世勛2.5n曾謹言曾謹言 3.8、3.9、3.123 3 一維勢散射問題一維勢散射問題 ( (一引言一引言二方程求解二方程求解三討論三討論四運用實例四運用實例( (一引言一引言勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的一維運動問題。典型勢壘是方勢壘，一維運動問題。典型勢壘是方勢壘，其定義如下：其定義如下： axxaxVxV, 000)(0如今的問題是知粒子以如今的問題是知粒子以能量能量 E E 沿沿 x x 正向入射。正向入射。0 aV(x)V0I II IIIE二方程求解二方程求解

47、axaxVExEE000003232022121222 202)(222221VEEkk 令令：1 1E V0 E V0 情況情況 區區區區區區IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211 由于由于 E 0, E V0, 所以所以 k1 0, k2 0. 上面的方程可改寫為：上面的方程可改寫為： xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321 解解得得：上述三個區域的上述三個區域的 Schrodinger Schrodinger方程可寫為：方程可寫為：定態波函數定態波函數1,2,3 1,2,3 分別乘以含時因子分別乘以含時因子 exp-iEt/

48、 exp-iEt/ 即可看出：即可看出：式中第一項為哪一項沿式中第一項為哪一項沿x x正向傳播的平面波，第二項是沿正向傳播的平面波，第二項是沿x x負向傳播的平面波。由于在負向傳播的平面波。由于在 x x a a 的的III III 區沒有反射波，所以區沒有反射波，所以 C=0 C=0，于是解為：，于是解為： xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321 利用波函數規范條件來定系數。利用波函數規范條件來定系數。首先，首先， 解單值、有限條件滿足。解單值、有限條件滿足。1. 波函數延續波函數延續綜合綜合整理整理記之記之BBAAx )0()0(:021 BikBikAikAi

49、kx 221121)0( )0( :0 2. 波函數導數延續波函數導數延續 001221221221221aikaikaikaikaikaikCekeBkBekAkBkBkAkCeeBBeABBA波函數意義波函數意義aikaikaikCeeBBeaaax122)()(:32 aikaikaikCeikeBikBeikaaax12212232)( )( : 3. 3. 求解線性方程組求解線性方程組4. 4. 透射系數和反射系數透射系數和反射系數求解方程組得求解方程組得: :AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik22122122122122222212212

50、1)()(sin)(2)()(4 為了定量描畫入射粒子透射勢壘的幾率和被為了定量描畫入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射系數和反射系數。勢壘反射的幾率，定義透射系數和反射系數。I I 透射系數：透射系數：透射波幾率流密度與入射波透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數幾率流密度之比稱為透射系數D = JD/JID = JD/JIII II 反射系數：反射系數： 反射波幾率流密度與入射波反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數幾率流密度之比稱為反射系數R = JR/JIR = JR/JI其物理意義是：描畫貫穿到其物理意義是：描畫貫穿到 x a x a 的的 II

51、I III區中的粒子在單位時間內流過垂區中的粒子在單位時間內流過垂直直 x x方向的單位面積的數目與入射粒子在方向的單位面積的數目與入射粒子在 x 0 x a x a 的的IIIIII區，另一部分那么被勢壘反射回來。區，另一部分那么被勢壘反射回來。同理得反射系數：同理得反射系數：AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4 2 2E V0E V0情況情況故可令：故可令： k2=ik3 k2=ik3， 其中其中k3=2(V0-E)/ k3=2(V0-E)/ 1/21/2。這樣把前面公式

52、中的這樣把前面公式中的 k2 k2 換成換成 ik3 ik3 并留意到：并留意到： sin ik3a = i sinh k3a sin ik3a = i sinh k3a2321322232132223212321322232123214sinh)(sinh)(4sinh)(4kkakkkakkkRkkakkkkkD 即使即使 E V0E V0，在普通情況下，透射系數，在普通情況下，透射系數 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k2=2(E-V0)/ k2=2(E-V0)/ 1/21/2，當當 E V0 E 1k3a 1時時444)(431331322412321241223212321 akkkkkakekkekkkkD)(2020220233133116EVakakkkkkaeDeDeD 故故4可略可略 akakakakakeeeakee33333241221