1、全國中考數學（續61 套）壓軸題分類解析匯編專題 9：幾何綜合問題24. （2012 湖北恩施12 分）如圖，ab 是 o 的弦， d 為 oa 半徑的中點， 過 d 作 cdoa交弦 ab 于點 e，交 o 于點 f，且 ce=cb （1）求證： bc 是 o 的切線；（2）連接 af，bf，求 abf 的度數；（3）如果 cd=15，be=10，sina=513，求 o 的半徑【答案】 解： （1）證明：連接ob，ob=oa ，ce=cb ， a= oba ， ceb=abc 。又 cdoa， a+ aed= a+ ceb=90 。 oba+ abc=90 。 obbc。bc 是 o 的切

2、線。（2）連接 of，af，bf，da=do ，cdoa ， oaf 是等邊三角形。 aof=60 。 abf=12 aof=30 。（3）過點 c 作 cgbe 于點 g，由 ce=cb ，eg=12be=5。易證 rtade rtcge，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -sinecg=sin a=513，eg5ce=135sinecg13。2222cgceeg13512。又 cd=15，ce=13， de=2，由 rtade rtcge 得addecgge，即ad2125，解得

3、24ad5。 o 的半徑為2ad=485。【考點】 等腰（邊）三角形的性質，直角三角形兩銳角的關系，切線的判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數定義。【分析】（1）連接 ob，有圓的半徑相等和已知條件證明obc=90 即可證明 bc 是 o 的切線。（2）連接 of，af，bf，首先證明oaf 是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出abf 的度數。（3）過點 c 作 cgbe 于點 g，由 ce=cb，可求出eg=12be=5，由rt ade rtcge 和勾股定理求出de=2 ，由 rtade rtcge 求出 ad 的長，從而求

4、出 o 的半徑。25. （2012 黑龍江哈爾濱10 分）已知： 在 abc 中，acb=900 ，點 p 是線段 ac 上一點，過點 a 作 ab 的垂線，交 bp 的延長線于點m， mn ac 于點 n， pqab 于點 q， a0=mn （1）如圖 l，求證： pc=an ；（2） 如圖 2，點 e是 mn 上一點，連接ep 并延長交bc 于點 k，點 d 是 ab 上一點，連接 dk ， dke= abc ，efpm 于點 h，交 bc 延長線于點f，若 np=2，pc=3，ck ：cf=2：3，求 dq 的長精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

5、- - - 第 2 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）證明： ba am ，mn ap， bam=anm=90。 paq+man= man+ amn=90 ， paq=amn 。pqab mn ac， pqa= anm=90 。 aq=mn。 aqp mna （asa） 。an=pq ，am=ap 。 amb= apm 。 apm= bpcbpc+pbc=90 ，amb+ abm=90 ， abm= pbc。pqab，pcbc， pq=pc（角平分線的性質） 。 pc=an 。（2） np=2 pc=3，由（ 1）知 pc=an=3 。 ap=nc=5

6、，ac=8 。am=ap=5 。22aqmnaman4。 paq=amn ， acb= anm=90 ， abc= man 。mn 4tan abctanmanan3。actan abcbc， bc=6。ne kc， pen=pkc。又 enp=kcp， pne pck 。nenpckpc。ck ：cf=2： 3，設 ck=2k ，則 cf=3k。ne22k3，4nek3。過 n 作 nt ef 交 cf 于 t，則四邊形ntfe 是平行四邊形。ne=tf=4k3， ct=cf tf=3k 45k=k33。ef pm， bfh+ hbf=90 =bpc+hbf 。 bpc=bfh。ef nt，

7、 ntc= bfh= bpc。bctan ntctanbpc2pc。nctan ntc2ct，15ctnc=22。ct=55k=32。3k=2。 ck=232=3，bk=bc ck=3 。 pkc+ dkc= abc+ bdk ， dke= abc ， bdk= pkc。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -pctan pkc1kc。 tanbdk=1 。過 k 作 kg bd 于 g。tanbdk=1 ，tanabc=43，設 gk=4n ，則 bg=3n，gd=4n 。bk=5n=

8、3 ， n=35。 bd=4n+3n=7n=215。22abacbc10，aq=4 ， bq=ab aq=6 。dq=bq bd=6 219=55。【考點】 相似形綜合題，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，解直角三角形。【分析】（1）確定一對全等三角形aqp mna ，得到 an=pq ；然后推出bp 為角平分線，利用角平分線的性質得到pc=pq；從而得到pc=an 。（2）由已知條件，求出線段kc 的長度，從而確定pkc 是等腰直角三角形；然后在 bdk 中，解直角三角形即可求得bd 、dq 的長度。26. （2012 湖北

9、十堰10 分） 如圖 1， o 是 abc 的外接圓， ab 是直徑， odac，且cbd= bac ，od 交 o 于點 e（1）求證： bd 是 o 的切線；（2）若點 e 為線段 od 的中點，證明：以o、a、c、e 為頂點的四邊形是菱形；（3）作 cfab 于點 f，連接 ad 交 cf 于點 g（如圖 2） ，求fgfc的值【答案】 解： （1）證明： ab 是 o 的直徑， bca=90 。 abc+ bac=90 。又 cbd= bac， abc+ cbd=90 。 abd=90 。obbd 。 bd 為 o 的切線。（2）證明：如圖，連接ce、oc，be，精品學習資料 可選擇p

10、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -oe=ed ， obd=90 ， be=oe=ed 。 obe 為等邊三角形。boe=60 。又 odac， oac=60 。又 oa=oc ， ac=oa=oe 。 acoe 且 ac=oe 。四邊形oace 是平行四邊形。而 oa=oe ，四邊形oace 是菱形。（3） cfab， afc= obd=90 。又 odac， caf= dob 。 rtafc rt obd。fcafbdob，即bd affcob。又 fgbd， afg abd 。fgafbdab，即b

11、d affgab。fgob1fcab2。【考點】 圓的綜合題，圓周角定理，直角三角形兩銳角的關系，切線的判定，直角三角形斜邊上的中線性質，等邊三角形的判定和性質，平行的判定和性質，菱形的判定，相似三角形的判定和性質。【分析】（1）由ab 是 o 的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到bca=90 ，則abc+ bac=90 ，而 cbd= ba，得到 abc+ cbd=90 ，即ob bd ，根據切線的判定定理即可得到bd 為 o 的切線。（ 2）連接ce 、 oc， be，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到be=oe=ed ，則 obe 為等邊三角形，于是boe=60 ，又因為 a

12、cod，則 oac=60 ，ac=oa=oe ，即有 ac oe 且 ac=oe ， 可得到四邊形oace 是平行四邊形， 加上 oa=oe ，即可得到四邊形oace 是菱形。（3）由 cfab 得到 afc= obd=90 ，而 odac，則 caf= dob，根據相似三角形的判定易得rtafc rtobd ，則有fcafbdob，即bd affcob，再由fgbd 易證得afg abd ，則fgafbdab，即bd affgab，然后求 fg 與 fc 的比即可。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 26 頁 - - - -

13、 - - - - -27. （2012 江蘇鎮江11 分）等邊 abc 的邊長為2，p 是 bc 邊上的任一點（與b、c 不重合） ，連接 ap，以 ap 為邊向兩側作等邊apd 和等邊 ape，分別與邊ab、ac 交于點m、n（如圖 1） 。（1）求證： am=an ；（2）設 bp=x。若， bm=38，求 x 的值；記四邊形adpe 與 abc 重疊部分的面積為s，求 s 與 x 之間的函數關系式以及s 的最小值；連接 de，分別與邊ab、ac 交于點 g、h（如圖 2） ，當 x 取何值時， bad=150？并判斷此時以 dg、gh、he 這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請

14、說明理由。【答案】 解： （1）證明：abc 、 apd 和 ape 都是等邊三角形，ad=ap，dap= bac=600，adm= apn=600。 dam= pan。 adm apn（ asa ） ， am=an 。（2）易證 bpm cap，bmbpcpca，bn=38， ac=2 ，cp=2x，3x82x2，即24x8x+3=0。解得 x=12或 x=32。四邊形 ampn 的面積即為四邊形adpe 與 abc 重疊部分的面積。 adm apn，admapnss。apmanpapmadmadpampnsss sss四形邊。如圖，過點p 作 psab 于點 s，過點 d 作 dtap 于

15、點 t，則精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -點 t 是 ap 的中點。在 rtbps 中， p=600，bp=x，ps=bpsin600=32x， bs=bpcos600=12x。ab=2 ， as=ab bc=212x。22222213apas ps2x+x=x2x+422。2adp1133sap dtapap=ap2224。222adpampn3333 3sssapx2x+4x1+0 x24444四形邊。當 x=1 時， s 的最小值為3 34。連接 pg，設 de 交 ap

16、于點 o。若 bad=150， dap =600， pag =450。 apd 和 ape 都是等邊三角形，ad=dp=ap=pe=ea 。四邊形adpe 是菱形。do 垂直平分ap。gp=ag 。 apg = pag =450。 pga =900。設 bg=t ，在 rtbpg 中， b=600， bp=2t，pg=3t。 ag=pg=3t。3t+t=2，解得 t=31。 bp=2t=232。當 bp=232 時， bad=150。猜想：以 dg、gh、he 這三條線段為邊構成的三角形是直角三角形。四邊形adpe 是菱形， ao de， ado= aeh=300。精品學習資料 可選擇p d

17、f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 26 頁 - - - - - - - - - bad=150，易得 ago=450， hao=150， eah=450。設 ao=a，則 ad=ae=2 a ，od=3a。dg=do go=（3 1）a。又 bad=150，bac=600，ado=300， dha= dah=750。dh=ad=2a ，gh=dh dg=2a（31） a=（33）a，he=2do dh=23a2a=2（3 1）a。22222dggh31 a+33 a= 168 3 a，222he231 a= 168 3 a，222dgghhe。以 dg

18、、gh、he 這三條線段為邊構成的三角形是直角三角形。【考點】 等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程， 銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，二次函數的最值， 菱形的判定和性質，勾股定理和逆定理。【分析】 （1） 由 abc 、 apd 和 ape 都是等邊三角形可得邊角的相等關系，從而用 asa證明。（2）由 bpm cap ，根據對應邊成比例得等式，解方程即可。應用全等三角形的判定和性質，銳角三角函數和勾股定理相關知識求得adpampnss四形邊，用 x 的代數式表示s，用二次函數的最值原理求出s 的最小值。由 bad=150得到四邊形adpe

19、是菱形，應用相關知識求解。求出 dg、 gh、he 的表達式，用勾股定理逆定理證明。28. （2012 福建三明14 分） 在正方形abcd 中，對角線ac ，bd 交于點 o，點 p 在線段bc 上（不含點b） ， bpe12acb ，pe交 bo 于點 e，過點 b 作 bfpe，垂足為f，交 ac 于點 g（1） 當點 p 與點 c 重合時（如圖） 求證： bog poe； （ 4分）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -（2）通過觀察、測量、猜想：bfpe= ，并結合圖證明你的

20、猜想；（5 分）（3）把正方形abcd 改為菱形，其他條件不變（如圖），若 acb= ，求bfpe的值 （用含 的式子表示）（5 分）【答案】 解： （1）證明：四邊形abcd 是正方形， p 與 c 重合，ob=op ， boc=bog=90 。pfbg ， pfb=90 ， gbo=90 bgo，epo=90 bgo。 gbo=epo 。 bog poe（aas ） 。（ 2）bf1pe2。證明如下：如圖，過p 作 pm/ac 交 bg 于 m，交 bo 于 n， pne= boc=900， bpn= ocb。 obc=ocb =450， nbp= npb。 nb=np 。 mbn=900

21、bmn ， npe=900bmn ， mbn= npe。 bmn pen（asa） 。 bm=pe 。 bpe=12 acb ， bpn=acb ， bpf=mpf。pfbm ， bfp=mfp=900。又 pf=pf， bpf mpf（asa ） 。 bf=mf ，即 bf=12bm 。 bf=12pe， 即bf1pe2。（ 3）如圖，過p作 pm/ac 交 bg 于點 m，交 bo 于點 n， bpn=acb= ， pne=boc=900。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -由（

22、 2）同理可得bf=12bm ， mbn= epn。 bnm= pne=900， bmn pen。bmbnpepn。在 rtbnp 中，bntan=pn， bm=tanpe，即2bf=tanpe。bf1=tanpe2。【考點】 幾何綜合題， 正方形和菱形的性質，平行的性質， 全等、 相似三角形的判定和性質，銳角三角函數定義。【分析】（1）由正方形的性質可由aas 證得 bog poe。（2）過 p 作 pm/ac 交 bg 于 m，交 bo 于 n，通過 asa 證明 bmn pen得到 bm=pe ，通過 asa 證明 bpf mpf 得到 bf=mf ，即可得出bf1pe2的結論。（3）過

23、 p 作 pm/ac 交 bg 于點 m，交 bo 于點 n，同（ 2）證得 bf=12bm ，mbn= epn，從而可證得bmn pen，由bmbnpepn和 rtbnp 中bntan=pn即可求得bf1=tanpe2。29. （2012 遼寧沈陽12 分） 已知，如圖，mon=60 ，點 a， b 為射線 om，on 上的動點（點 a，b 不與點 o 重合），且 ab=34，在 mon 的內部、 aob 的外部有一點p，且 ap=bp ， apb=120 . （1）求 ap 的長；（2）求證：點p 在 mon 的平分線上；（3） 如圖，點c，d，e，f 分別是四邊形aobp 的邊 ao，

24、ob，bp，pa 的中點，連接 cd， de，ef，fc，op. 當 ab op 時，請直接寫出四邊形cdef 的周長的值；若四邊形cdef 的周長用t 表示，請直接寫出 t 的取值范圍精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -【答案】 解：(1) 過點 p 作 pqab 于點 q pa=pb， apb=120 ，ab=43，aq=12ab=12 43=23， apq=12 apb=12 120 =60 。在 rtapq 中，sin apq=aqapap= aq2 32 3sinapqs

25、in60324。（2） 證明：過點 p 分別作 psom 于點 s， pton 于點 t， osp=otp=90 。在四邊形ospt中，spt=360 -osp-sot-otp=360 -90 -60 -90 =120 ， apb= spt=120 。 aps=bpt。又 asp=btp=90 ， ap=bp， aps bpt （ aas ） 。 ps=pt。點 p 在 mon 的平分線上。（3） 8+43 4+43t 8+43。【考點】 等腰三角形的，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，多邊形內角和定理，全等三角形的判定和性質，點在角平分線上的判定，三角形中位線定理【分析】 （1）過點p

26、作pqab于點q根據等腰三角形的“ 三線合一” 的性質推知aq=bq=12ab ，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數的定義可以求得ap 的長度。（2）作輔助線ps、pt（過點 p 分別作 psom 于點 s，pton 于點 t）構建全等三角形 aps bpt； 然后根據全等三角形的性質推知ps=ot；最后由角平分線的性質推知點 p在 mon 的平分線上。（3）利用三角形中位線定理知四邊形cdef 的周長的值是op+ab 。當 ab op 時，根據直角三角形中銳角三角函數的定義可以求得op 的長度；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1

27、1 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -當 abop 時， op 取最大值，即四邊形cdef 的周長取最大值；當點a 或 b與點 o 重合時，四邊形cdef 的周長取最小值，據此寫出t 的取值范圍。30. （2012 遼寧大連12 分） 如圖 1，梯形 abcd 中，ad bc， abc 2bcd 2 ，點e 在 ad 上，點 f 在 dc 上，且 bef= a. （1） bef=_( 用含 的代數式表示 )；（2）當 ab ad 時，猜想線段ed、ef 的數量關系，并證明你的猜想；（3）當 ab ad 時，將 “ 點 e 在 ad 上” 改為 “ 點 e 在 ad 的延長線上

28、，且aeab ，ab mde，ad nde” ，其他條件不變（如圖2） ，求ebef的值（用含m、 n 的代數式表示） 。【答案】 解： （1）180 2 。（2）eb=ef 。證明如下：連接 bd 交 ef 于點 o，連接 bf。ad bc， a=180 -abc=180 2 ，adc=180 c=180 - 。ab=ad ， adb=12（180 a）= 。 bdc= adc adb=180 2 。由（ 1）得： bef=180 2=bdc。又 eob=dof， eob dof。oeob=odof，即oeo d=obo f。 eod=bof， eod bof。 efb=edo= 。 ebf

29、=180 bef efb= = efb。 eb=ef 。（3） 延長 ab 至 g，使 ag=ae ，連接 be，ge，則 g= aeg=1801802180a=22。ad bc， edf= c= ， gbc= a， deb= ebc。 edf= g。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 26 頁 - - - - - - - - - bef= a， bef= gbc。 gbc+ebc= deb+ bef，即 ebg=fed。 def gbe 。ebbg=efde。ab=mde ， ad=nde ， ag=ae= （n+1）de

30、。bg=ag ab= （n+1）demde=（n+1m）de。ebn1mde=n1mefde（）。【考點】 梯形的性質，平行線的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質。【分析】（1）由梯形 abcd 中，ad bc， abc=2 bcd=2 ，根據平行線的性質，易求得 a 的度數，又由bef= a，即可求得 bef 的度數：梯形 abcd 中，ad bc， a+abc=180 。 a=180 abc=180 2 。又 bef= a， bef=a=180 2 。（2）連接 bd 交 ef 于點 o，連接 bf，由 ab=ad ，易證得 eob dof，根據相似三角形的對應邊成比例，可得o

31、eob=odof，從而可證得 eod bof，又由相似三角形的對應角相等，易得ebf= efb= ，即可得eb=ef 。（3）延長ab 至 g，使 ag=ae ，連接 be，ge，易證得 def gbe，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得ebef的值。31. （2012 遼寧鞍山12 分）如圖， 正方形 abco 的邊 oa、oc 在坐標軸上， 點 b 坐標（3，3） ，將正方形abco 繞點 a 順時針旋轉角度 （0 90 ） ，得到正方形adef ，ed 交線段 oc 于點 g，ed 的延長線交線段bc 于點 p，連 ap、ag（1）求證： aog adg ；（2）求 pag 的度數

32、；并判斷線段og、pg、bp 之間的數量關系，說明理由；（3）當 1=2 時，求直線pe 的解析式精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）證明：aog= adg=90 ，在 rtaog 和 rtadg 中， ao=ad ，ag=ag ， aog adg （hl ） 。（2） pag =45 ,pg=og+bp 。理由如下：由（ 1）同理可證adp abp，則 dap= bap。由（ 1） aog adg ， 1=dag 。又 1+dag+ dap+ bap=90

33、，2dag+2 dap=90 ，即 dag+ dap=45 。 pag= dag+ dap=45 。 aog adg ， adp abp ， dg=og ，dp=bp。pg=dg+dp=og+bp 。（3） aog adg ， ago= agd 。又 1+ago=90 ， 2+pgc=90 ， 1=2， ago= agd= pgc。又 ago+ agd+ pgc=180 ， ago= agd= pgc=60 。 1=2=30 。在 rt aog 中， ao=3， og=aotan30 =3，g 點坐標為：（3，0） ，cg=33。在 rt pcg 中，pc=0cg33=31tan3033， p

34、點坐標為： （3，31） 。設直線 pe的解析式為y=kx+b ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -則3k+b=03k+b=31，解得3k=3b=1。直線 pe的解析式為y=33x1。【考點】 一次函數綜合題，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，待定系數法， 直線上點的坐標與方程的關系，解二元一次方程組。【分析】（1）由 ao=ad ，ag=ag ，利用 “hl ” 可證 aog adg 。（2） 利用 （1） 的方法，同理可證 adp

35、 abp， 得出 1=dag ， dap= bap，而 1+dag+ dap+ bap=90 ，由此可求 pag 的度數； 根據兩對全等三角形的性質，可得出線段og、pg、bp 之間的數量關系。（ 3 ） 由 aog adg可 知 ， ago= agd ， 而 1+ago=90 ，2+pgc=90 ，當1= 2時，可證ago= agd= pgc，而ago+ agd+ pgc=180 ，得出 ago= agd= pgc=60 ，即 1=2=30 ，解直角三角形求 og，pc，確定 p、g 兩點坐標，得出直線pe的解析式。32. （2012 山東威海11分）探索發現： 已知：在梯形abcd 中，

36、cdab ，ad 、bc 的延長線相交于點e，ac 、bd 相交于點o，連接 eo 并延長交ab 于點 m，交 cd 于點 n。（1）如圖，如果ad=bc ，求證：直線em 是線段 ab 的垂直平分線；（2）如圖，如果ad bc，那么線段am 與 bm 是否相等？請說明理由。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -學以致用： 僅用直尺（沒有刻度） ，試作出圖中的矩形abcd的一條對稱軸。 （寫出作圖步驟，保留作圖痕跡）【答案】 解： （1）證明： ad=bc ，cdab， ac=bd

37、， dab= cba 。 ae=be 。點 e 在線段 ab 的垂直平分線上。在 abd 和 bac 中， ab=ba ，ad=bc ，ac=bd ， abd bac （sss） 。 dba= cab 。 oa=ob 。點 o 在線段 ab 的垂直平分線上。直線 em 是線段 ab 的垂直平分線。（2）相等。理由如下：cdab ， edn eam ， enc emb ， edc eab 。dndecncedeceamaebmbeaebe，。dncnambm。bmcnamdn。cdab ， ond omb ， onc oma ， ocd oab 。dnodcnocodocbmobamoaoboa

38、，。dncnbmam。amcnbmdn。bmamambm。 am2=bm2。 am=bm 。（3）作圖如下：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -作法：連接 ac ，bd ，兩線相交于點o1； 在梯形 abcd 外 dc 上方任取一點e，連接 ea， eb，分別交dc 于點 g，h； 連接 bg，ah ，兩線相交于點o2； 作直線 eo2，交 ab 于點 m； 作直線 mo1。則直線 mo1。就是矩形abcd 的一條對稱軸。【考點】 平行的性質，全等、相似三角形的判定和性質，等腰三角

39、形的判定，線段垂直平分線的判定，復雜作圖。【分析】（1）一方面由已知可得點e 在線段 ab 的垂直平分線上；另一方面可由sss證明abd bac ，從而得 dba= cab ，因此 oa=ob ，得出點o 在線段 ab 的垂直平分線上。從而直線em 是線段 ab 的垂直平分線。（2）一方面由cdab，得 edn eam ，enc emb ，edc eab ，利 用 對 應 邊 成 比 例 可 得bmcnamdn； 另 一 方 面 由cdab ， 得 ond omb ，onc oma ， ocd oab ， 利 用 對 應 邊 成 比 例 可 得amcnbmdn。 從 而 得 到bmamambm

40、，即可得到am=bm的結論。（3）按（ 2）的結論作圖即可。33. （2012 四川瀘州9 分） 如圖， abc 內接于 o，ab 是 o 的直徑， c 是的弧 ad 中點，弦 ceab 于點 h，連結 ad ，分別交ce、 bc 于點 p、q，連結 bd 。(1)求證： p 是線段 aq 的中點；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -(2)若 o 的半徑為5，aq=152，求弦 ce 的長。【答案】 解： （1）證明： ab 是 o 的直徑，弦ceab ，acae。又 c 是弧ad

41、的中點，accd。aecd。 acp= cap。pa=pc。ab 是直徑acb=90 。 pcq=90 acp ， cqp=90 cap 。 pcq=cqp 。pc=pq。pa=pq，即 p 是 aq 的中點。（2）accd， caq= abc 。又 acq= bcq， caq cba 。acaqbcba。又 aq=152，ba=10 ，15ac32bc104。設 ac=3k ， bc=4k ，則由勾股定理得，2223k4k10，解得 k=2。ac=6 ， bc=8。根 據 直角 三角 形的 面積公式 ，得 ： ac?bc=ab?ch ， 6 8=10ch 。ch=245。又 ch=he ，

42、ce=2ch=485。【考點】 圓的綜合題，圓周角定理。垂徑定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理。【分析】（1）首先利用等角對等邊證明：acp= cap 得到： pa=pc，然再證明pc=pq，即可得到 p 是 aq 的中點。（2）首先證明： caq cba ，依據相似三角形的對應邊的比相等求得ac、bc精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -的長度，然后根據直角三角形的面積公式即可求得ch 的長，則可以求得ce 的長。34. （2012 四川成都10 分） 如圖， ab 是 o 的

43、直徑，弦cdab 于 h，過 cd 延長線上一點 e 作 o 的切線交ab 的延長線于f切點為g，連接 ag 交 cd 于 k（1）求證： ke=ge ；（2）若2kg=kdge，試判斷ac 與 ef 的位置關系，并說明理由；（3） 在（ 2）的條件下，若sine=35， ak=2 5，求 fg 的長【答案】 解： （1）證明：如答圖1，連接 og。eg 為切線，kge+ oga=90 。cdab ， akh+ oag=90 。又 oa=og ， oga= oag。 kge= akh= gke 。 ke=ge 。（2）ac ef，理由如下：連接 gd，如答圖2 所示。kg2=kd?ge，kgk

44、dgekg。又 kge= gke ， gkd egk 。 e=agd 。又 c=agd ， e=c。 ac ef。（ 3）連接 og，oc，如答圖3 所示。由（ 2） e=ach ， sine=sinach=35。可設 ah=3t ，則 ac=5t ，ch=4t 。 ke=ge ，ac ef， ck=ac=5t 。 hk=ck ch=t 。在 rtahk 中，根據勾股定理得ah2+hk2=ak2，即（ 3t）2+t2=（2 5）2，解得 t=2。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -

45、設 o 半徑為 r，在 rtoch 中， oc=r，oh=r 3t，ch=4t ，由勾股定理得： oh2+ch2=oc2， 即 （r 3t）2+ （4t）2=r2， 解得 r=256t=2526。 ef 為切線，ogf 為直角三角形。在 rtogf 中， og=r=2526，tanofg=tancah=ch4ah3， fg=252og25624tan ofg83。【考點】 切線的性質，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行的判定，銳角三角函數定義。【 分 析 】 （ 1） 如 答 圖1 ， 連 接og 根 據 切 線 性 質 及cd ab ， 可

46、以 推 出 連 接kge= akh= gke ，根據等角對等邊得到ke=ge 。（2）ac 與 ef 平行，理由為：如答圖2 所示，連接gd，由 kge= gke，及kg2=kd?ge ，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出gkd 與 ekg 相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到c=agd ，可推知 e=c，從而得到ac ef。（3）如答圖 3 所示，連接og，oc首先求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在rtogf 中，解直角三角形即可求得fg 的長度。35. （2012 廣西欽州10 分）如圖，ab 是 o 的直徑， ac 是弦，直線 ef 經過點 c，ad ef

47、于點 d， dac= bac （1）求證： ef 是 o 的切線；（2）求證： ac2=ad?ab ；（3）若 o 的半徑為 2， acd=30 ，求圖中陰影部分的面積【答案】 解： （1）證明：連接oc，oa=oc ， bac= oca。 dac= bac ， oca= dac 。 ocad 。ad ef， ocef。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -oc 為半徑， ef 是 o 的切線。（2）證明： ab 為 o 直徑， ad ef， bca= adc=90 。 dac= b

48、ac ， acb adc 。adacacab。 ac2=ad?ab 。（3） acd=30 ， ocd=90 ， oca=60 . oc=oa ， oac 是等邊三角形。ac=oa=oc=2 ， aoc=60 。在 rtacd 中， ad=12ac=1 。由勾股定理得：dc=3，陰影部分的面積是s=s梯形ocdas扇形oca=12 （2+1）326023 3236023。【考點】 圓的綜合題，等腰（邊）三角形的判定和性質，平行的判定和性質，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，扇形面積。【分析】（1）連接 oc，根據 oa=oc 推出 bac= oca= dac ，推出

49、 ocad ，得出ocef，根據切線的判定推出即可。（2）證 adc acb ，得出比例式，即可推出答案。（3）求出等邊三角形oac ，求出 ac 、 aoc，在 rtacd 中，求出ad 、 cd，求出梯形 ocda 和扇形 oca 的面積，相減即可得出答案。36. （2012 廣西貴港11 分） 如圖， rtabc 的內切圓 o 與 ab 、bc、ca 分別相切于點d、e、f，且acb 90 ，ab5，bc3。點 p在射線 ac 上運動，過點p 作 ph ab，垂足為h。（1）直接寫出線段ac 、ad 以及 o 半徑的長；（2）設 phx，pcy，求 y 關于 x 的函數關系式；（3）當

50、ph 與 o 相切時，求相應的y 值。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -【答案】 解： （1） ac=4 ；ad=3 ， o 半徑的長為1。（2）在 rtabc 中， ab=5 ，ac=4 ，則 bc=3 。 c=90 ，phab， c=pha=90。 a= a， ahp acb 。phapacpcbcabab，即x4y35。5yx+43，即 y 與 x 的函數關系式是5yx+43。（ 3）如圖， ph與 o 相切于點m，連接 od，oe，of，om。 omh = mh d=hd

51、o=90 ，om=od ，四邊形omh d是正方形。mh=om=1 。 ce、cf 是 o 的切線， acb=90 ， cfo=fce= ceo=90 ，cf=ce 。四邊形ceof 是正方形， cf=of=1 。 ph=pm+mh=pf+fc=p c，即 x=y。又由（ 2）知，5yx+43，5yy+43，解得3y2。【考點】 圓的綜合題，圓的切線性質，勾股定理，正方形的判定和性質，相似三角形的判定和性質。【分析】（1）連接 ao、do，eo，fo，設 o 的半徑為r，在 rtabc 中，由勾股定理得ac=22abbc4， o 的半徑 r=12（ac+bc-ab ） =12（ 4+3-5）=

52、1。ce、cf 是 o 的切線， acb=90 ， cfo= fce=ceo=90 ， cf=ce 。 四 邊 形ceof是 正 方 形 。cf=of=1 。又 ad、 af 是 o 的切線，af=ad 。 af=ac-cf=ac-of=4-1=3， 即 ad=3 。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 26 頁 - - - - - - - - -（2）通過相似三角形ahp acb 的對應邊成比例知，phapacpcbcabab，將“ph=x ，pc=y ”代入求出即可求得y 關于 x 的函數關系式。（3）根據圓的切線定理證得

53、四邊形omh d 、四邊形 cfoe 為正方形；然后利用正方形的性質、圓的切線定理推知ph=pm+mh=pf+fc=p c，即 x=y ；最后將其代入（2）中的函數關系式即可求得y 值。37. （2012 貴州安順12 分） 如圖，在 o 中，直徑 ab 與弦 cd 相交于點p， cab=40，apd=65 （1）求 b 的大小；（2）已知 ad=6 ，求圓心o 到 bd 的距離【答案】 解： （1） apd= c+cab ， cab=40 ， apd=65 ， c=65 40 =25 。 b=c=25 。（2）過點 o 作 oebd 于 e，則 de=be ，又 ao=bo ， oe=12ad=12 6=3。圓心 o 到 bd 的距離為 3。【考點】 圓周角定理，三角形外角性質，垂徑定理，三角形中位線定理。【分析】（1）根據圓周定理以及三角形外角求出即可。（2）利用三角形中位線定理得出oe=12ad ，即可得出答案。38. 2012 云南省 7 分）如圖， 在矩形 abcd 中，