1、通項公式及其求和方法歸納【遞推公式求通項式】已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題 型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構造的 技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本 文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便于學生學習和老 師的教學，不涉及具體某一題目的獨特解法與技巧。一、ani an f(n)型數列，(其中f(n)不是常值函數)此類數列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項變形為ani an f(n)，從而就有a2 ai f (1), a3 a? f (2), K , a. a. i f (n 1)

2、.將上述n 1個式子累加，變成an ai f (1) f(2) K f (n 1)，進而求解。 例 1.在數列a.中,a1 2,an 1 an 2n 1,求an.類似題型練習：已知an滿足ai小小1an 1 an-、1，n(n 1)求an的通項公式ani an f(n)型數列，(其中f(n)不是常值函數)an 1an此類數列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項變形為f (n)，從而就有a3a2將上述n 1個式子累乘，變成色ai例2.已知數列an中ai丄，an3f(1),更 f(2), K K ,旦-an 1f(1)2n 32n 1f(n1)f(2) Kan i(nf(n1)，進而求解。2)，求

3、數列an的通項公式。精選類似題型練習：在數列an中,an >0, ai2,n a“2(n1)ani2an咼，求an.提示：依題意分解因式可得(n 1)an i nan(ani務)0,而an >0,所以(n 1)an i nan 0，即 。ann i三、an i pan q型數列此類數列解決的辦法是將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解，構造的辦法有兩種，一是待定系數法構造，設ani m p(an m)展開整理an i pan pm m，比較系數有pm man 是等比數列，公比為P，首項為 p ian i pan q ， an pan i公比為p的等比數列。例3.在

4、數列an中，aiq，兩式相減有b aiP ian i anb，所以m ，所以P i二是用做差法直接構造,p(an an i)，所以 an i an是i，當n 2時，有an3an i 2，求an的通項公類似題型練習：已知數列an 滿足 ai i,an i 2an i(n N ).求數列 a“ 的 通項公式.四.an 1 pan 1n型數列（p為常數）此類數列可變形為勺1勺fnn1，則勺可用累加法求出，由此求得PPPPan -例4已知數列an滿足 a11,an 1 3an 2n 1,求 an.1例5.已知數列an滿足ai 1當n 2時,a. -an 1 2n 1,求2類似題型練習：（1）已知 an

5、 滿足 a12,an1 2a.2n 1，求 an。（2） 已知數列an , Sn表示其前n項和，若滿足Sn an n2 3n 1，求數 列an的通項公式。提示：（2）中利用anSSnn 1Sn 1, n2,把已知條件轉化成遞推式Aanan ""-五、 Ban C型數列（A,B,C為非零常數）這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數，把數列的倒數看成是一個新數列，便可順利地轉化為an 1 pan q型數列。例6.已知數列an滿足a1 2,am公匚，求 .an 2類似題型練習：數列an中，an 12n 1 a八嚴2，求a"的通項類似題型練習：已知數列an滿足,2,an+

6、2=乩嚴2構造等比數2，求 an.六.an 2 pan 1 qan型數列(p, q為常數)這種類型的做法是用待定糸數法設an 2 am am an列。例 7.數列 an 中，ai 2,a2 3,且 2an an 1 an 1 n N ,n令bn an1 an，證明：bn是等比數列;(n)求aJ的通項公式數列通項求法2r七、對數變換法適用于an 1pan(其中p,r為常數)型p>0 ，an 0設正項數列an滿足a1,an 2an 1 (n>2).求數列an的通項公式.an2n 1 122 1數列an中,2 22 n答案：an 2練習1 an2Wn1 (n>2),求數列an的通項

7、公式.2、對無窮遞推數列例已知數列an滿足a11,ana12a2 3as L (n 1応 1(n 2)，求an的通項公式。八：形如an 1a an bc an d分析：遞歸函數為f(x)c(1)若有兩個相異的不動點x dp,q時,將遞歸關系式兩邊分別減去不動點p,q ,將兩式相除得an 1an 1kJ ,其中k z ,an qa qcanq pq)kn 1 佝 p pq) p)kn 1 佝 q)(2)若有兩個相同的不動點 p,則將遞歸關系式兩邊減去不動點p,然后用1除,an 1 pk，其中kan p2ca d例設數列an滿足a12,an14'求數列的通項公式-4 3n 124 3n 1

8、1 .例 已知數列an滿足an 121a24亠一,a1 4，求數列an的通項公式。4an 1練習1:已知an滿足a12, an也二(n 2)，求an的通項an2an i 1答案：3n ( 1)n an3n ( 丫0練習2已知數列a.滿足ai2, an 12an 1(n N*)，求數列an的通項a4a n 6答案:13 5nan 10n 6數列求和一、利用常用求和公式求和等差數列求和公式:Snn(aian)2nain(n 1)d2(q 1)2、等比數列求和公式:Sna1 (1nq )qanqOh1 q(q 1)Snk 11k n(n 1)、Snk2k 11n(n 1)(2 n 1)6二、錯位相減

9、法求和 這種方法是在推導等比數列的前 nbn的前n項和，其中 a n 、 b n 分別是等差數列和等比數列。項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列a n 例3求和:Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn1的通項是等差數列2n 1的通項與等比數列 xn 1 的通項之積設 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn (設制錯位)一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn(錯位相減)1 n 1再利用等比數列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x(2n 1)xn1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)x

10、n (1 x)(1 x)2例4求數列2,_4篤，算 前n項的和.2 2 2 2 3 2 nn 22n i練習：求：S=1+5x+9x2+(4n -3)xn-1三、倒序相加法求和這是推導等差數列的前 n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列(反序)，再把它與原數列相加，就可以得到 n個(ai an).例 5求證：C0 3C； 5C2(2n1)C； (n 1)2n證明：設 Sn C0 3c： 5C2(2n 1)C；.把式右邊倒轉過來得Sn(2n 1)C； (2n 1)C： 13c： C：(反序)又由cm C：m可得Sn(2n 1)C0(2n1)C：3C； 1C；. + 得2Sn (2n2)

11、(C0 C1C： 1C：)2(n 1) 2n(反序相加)Sn (n 1) 2n例 6求 sin21sin2 2 sin2 3sin2 88 sin2 89 的值例 12 求 cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可 分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例7求數列的前n項和：1 1,1 4,4 7,，訃3n 2，a aa1 1 1 1練習：求數列12,24,38,?,(

12、n 2?),?的前n項和。五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解(裂項)如：ann(n 1) n n 11例9 求數列,1V2 J2,的前n項和.1例10在數列an中，an1，又 bn22，求數列b nan an 1的前n項的和.練習例1:求下列數列的前n項和:(3)1,2,8，V1 1 1_91 5'3 7'5(2n 1) (2n3)1 1(5)1,1 2,1 24l,(1212* 11 數列an的前n項和為Sn，若 an2.an的通項an，則 S100一 n 1 一 n3.數列an滿足:an ( 2)n 2n 1,求前 n 項和 Sn4、若函數X1f (x),求 f(1) f(2) L f(2008)f(1 x2001f(20o7 Lf(1) ?5. 10029929