1、圓錐曲線大綜合第一部分圓錐曲線?？碱}型和熱點問題一常考題型題型一：數形結合確定直線和圓錐曲線的位置關系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點共線問題題型十：范圍為題（本質是函數問題）題型十一： 存在性問題 （存在點， 存在直線ykxm ，存在實數， 三角形（等邊、 等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓 ）二熱點問題1. 定義與軌跡方程問題2. 交點與中點弦問題3. 弦長及面積問題4. 對稱問題5. 范圍問題6. 存在性問題7. 最值問題8. 定值，定

2、點，定直線問題第二部分知識儲備一與一元二次方程 ax2bxc0(a0) 相關的知識（三個“二次”問題）1.判別式：b24ac2.韋達定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有兩個不等的實數根x1, x2 ，則x1x2b， x1 x2caa3.求根公式：若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有兩個不等的實數根x , x，則12x1, 2bb24 ac2a二與直線相關的知識1. 直線方程的五種形式：點斜式，斜截式，截距式，兩點式，一般式2. 與直線相關的重要內容：傾斜角與斜率：y tan ，0, ) ；點到直線的距離公式：dAx0By0C （一般式）或dkx012y0b （斜截式）A2B2k

3、23.弦長公式：直線ykxb 上兩點 A( x1 , y1), B( x2 , y2) 間的距離：AB1 k2x1x2(12)( x1x2 )24x1 x2 ( 或 AB11y1y2 )kk24.兩直線 l1 : y1k1x1b1 ,l2 : y2k2 x2b2 的位置關系： l1 l2k1 k21 l1 / / l2k1k2且b1 b25.中點坐標公式：已知兩點A( x1 , y1 ), B( x2, y2 )，若點 Mx, y線段AB的中點，則xx1x1 , yy1y222三圓錐曲線的重要知識考綱要求：對它們的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線

4、；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質。2. 圓錐曲線的標準方程：橢圓的標準方程雙曲線的標準方程拋物線的標準方程3.圓錐曲線的基本性質：特別是離心率，參數a,b,c 三者的關系，p 的幾何意義等4.圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓2b2，雙曲線2b2，拋物線 2 paa焦點三角形的面積：p 在橢圓上時 S F1PF2b2tan2p 在雙曲線上時 S F1PF2b2 / tan2四常結合其他知識進行綜合考查1 圓的相關知識：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關系2 導數的相關知識：求導公式及運算法則，特別是與切線方程相關的知識3

5、向量的相關知識：向量的數量積的定義及坐標運算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4 三角函數的相關知識：各類公式及圖像與性質5 不等式的相關知識：不等式的基本性質，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題（ 1）圓錐曲線與圓例 1.（本小題共14 分）223已知雙曲線 C : xy21(a0, b 0) 的離心率為3 ，右準線方程為2xab3（）求雙曲線 C 的方程；（）設直線 l 是圓 O : x2y22 上動點 P( x0 , y0 )( x0 y00) 處的切線， l 與雙曲線 C交于不同的兩點A, B ，證明AOB 的大小為定值,【解法 1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等

6、基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力a23（）由題意，得c3 ，解得 a 1, c3 ，c3a b2c2a22 ，所求雙曲線C 的方程為 x2y21 .2（）點 P x0, y0x0 y00在圓 x2y22 上，圓在點 Px0 , y0 處的切線方程為yy0x0xx0 ，y0化簡得 x0 xy0 y2.由 x2y21及x2y22 得 3x024 x24 x0 x 8 2x020 ，200x0 x y0 y 2切線 l 與雙曲線 C 交于不同的兩點A、 B，且0x022 ， 3x0240 ，且16x024 3x02482x020，設 A、 B 兩點的坐標分別

7、為x1, y1 , x2 , y2，則 x1x24x0, x1 x28 2x02，3x0243x024 cosAOBOA OB，且OAOBOA OB x1 x2y1y2 x1x212 x0 x12 x0 x2 ，2y0x1x21 2 4 2x0 x1 x2 x02 x1 x22x08 2x02148x02x02 8 2x022224243x04 2 x03x03x082 x0282x020 .3x0243x024 AOB 的大小為 90 .【解法 2】（）同解法1.（）點Px0 , y0x0 y00在圓 x2y22 上，圓在點 Px0 , y0 處的切線方x02 . 由 x2y21及 x02y

8、02程為 yy0xx0 ，化簡得 x0 xy0 y22y0x0 xy0 y2得3x024 x24x0 x 8 2x0203x024 y28 y0 x 8 2x020切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點A、 B，且 0x022， 3x0240，設 A、B 兩點的坐標分別為 x1 , y1,x2 , y2，則 x1 x282x02 , y1 y22x028 ，3x0243x024OAOBx1x2y1 y20 ，AOB 的大小為90.（ x02y022 且 x0 y00， 0x022,0y022 ，從而當 3x0240時，方程和方程的判別式均大于零） .練習 ：已知點 A 是橢圓x2y20的左頂點，

9、 直線 l : xmy 1(m R ) 與橢1C :t1 t9圓 C 相交于 E, F 兩點，與 x 軸相交于點 B . 且當 m160 時， AEF 的面積為.3（）求橢圓C 的方程；（）設直線AE， AF與直線x3分別交于M ， N兩點，試判斷以MN為直徑的圓是否經過點B？并請說明理由.（ 2）圓錐曲線與圖形形狀問題例 2.1 已知 A， B， C 是橢圓 W：x224 y 1 上的三個點， O 是坐標原點(1)當點 B 是 W 的右頂點，且四邊形OABC 為菱形時，求此菱形的面積；(2)當點 B 不是 W 的頂點時，判斷四邊形OABC 是否可能為菱形，并說明理由解： (1) 橢圓 ：x2

10、y2B的坐標為 (2,0) 1 的右頂點W4因為四邊形 OABC為菱形，所以AC與 OB相互垂直平分所以可設 A(1 ，m) ，代入橢圓方程得123.m 1，即 m所以菱形 OABC的面積是 14 1 ×2×2| m| 2| OB|·|AC|3 .22(2) 假設四邊形 OABC為菱形因為點 B 不是 W的頂點，且直線 AC不過原點，所以可設 AC的方程為 y kx m( k0，m0) x24 y24,222由消 y 并整理得 (1 4k ) x 8kmx 4m 4 0.y kx m設 A( x1，y1) ， C( x2，y2) ，則 x1 x214km 2， y

11、1y2kx1 x2m1m2 .24k224k所以 AC的中點為 M4km,1m.1 4k 24k 2因為 M為 AC和 OB的交點，所以直線OB的斜率為1.14k因為k· 1，所以與不垂直4kACOB所以 OABC不是菱形，與假設矛盾所以當點 B 不是 W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形x2y21(a b 0) 過點 (2 ， 1)，且以橢圓短軸的兩個端點和練習 1：已知橢圓 C ：b2a2一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形.( )求橢圓的標準方程；( )設 M （ x, y) 是橢圓 C 上的動點，P（ p,0) 是 X 軸上的定點，求MP 的最小值及取最小值時點 M 的坐

12、標 .（ 3）圓錐曲線與直線問題例 3.1 已知橢圓 C : x22y24，（1）求橢圓 C 的離心率 .（2）設 O 為原點， 若點 A在橢圓 C 上，點 B 在直線 y2 上，且 OAOB ，求直線 AB與圓 x2y22 的位置關系，并證明你的結論 .解析：橢圓的標準方程為：x2y241 ，2a 2 ， b2則 c2 ，離心率c2;e2a直線 AB 與圓 x2y22 相切 . 證明如下：法一：設點 AB 的坐標分別為x0y0t2 ，其中 x00 .因為 OA OB ，所以 OAOB0 ，即 tx02 y00 ，解得 t2 y0 .x0當 x0t 時， y0t2，代入橢圓 C 的方程，得 t

13、2 ,2故直線 AB 的方程為 x2 . 圓心 O 到直線 AB 的距離 d2 .222相切.此時直線 AB 與圓 xy當 x0t 時，直線 AB 的方程為 y2y02xt，x0t即 y02 xx0t y 2x0ty00 .圓心 O 到直線 AB 的距離2 x0ty0.dy02x022t又 x022 y024 ， t2 y0 ，故x02 y24 x22x000x0x0d2 .4y2x48x21622x0y00400x022x02此時直線 AB 與圓 x2y22相切.法二：由題意知，直線 OA 的斜率存在，設為k ，則直線 OA 的方程為ykx，OAOB，當k0時， A20，易知B02 ，此時直

14、線AB的方程為 xy2或xy 2 ，原點到直線 AB 的距離為2，此時直線 AB與圓x2y22相切；當 k0 時，直線 OB 的方程為 y1，xk22k22k聯立ykx得點 A 的坐標12k21 2k2或12k212k2；x22 y24聯立y1 x得點 B 的坐標，k2k2y2由點 A 的坐標的對稱性知，無妨取點A22k進行計算，12k212 k22k2212k2k1于是直線 AB 的方程為： y2x2k2kx2k，21 k 12k 22k12k2即 k1 2k2 x 1 k 1 2k2y2k22 0 ，原點到直線 AB 的距離 d2k222 ,k12k 221 k122k 2此時直線 AB

15、與圓 2y22相切。x綜上知，直線AB 一定與圓x2y22相切 .法三：當k0時， A20，易知B02 ，此時 OA2OB2 ，22OAOBAB2 222 ，原點到直線AB 的距離 d222 ，、AB22此時直線 AB 與圓 x2y22 相切；當 k0 時，直線 OB 的方程為 y1x ，k設A x1y1B x2y2，則OA 1 k2 x1， OB122 1 k2k y2，ykx22k22k聯立得點 A 的坐標12k21 2k212k21 2k2x22 y24或；于是 OA1 k 2 xA2 1 k2， OB 2 1 k2 ,12k24 1222 1k2ABk4 1k2，12k2122kOA

16、OB21k221k 2d12k2k22222 相切；AB22 1所以, 直線 AB 與圓 xy12k2綜上知，直線AB 一定與圓 x2y22相切x2y21(ab0) 過點 (0,1)2倍. 過橢練習1：已知橢圓 C :22，且長軸長是焦距的ab圓左焦點 F 的直線交橢圓 C 于 A，B 兩點， O 為坐標原點 .（）求橢圓 C 的標準方程；（）若直線 AB 垂直于 x 軸，判斷點 O 與以線段 AB 為直徑的圓的位置關系，并說明理由；（）若點 O 在以線段 AB 為直徑的圓內，求直線AB 的斜率 k 的取值范圍 .（ 4）圓錐曲線定值與證明問題例 4.1 已知橢圓 C 的中心在原點 O ，焦點

17、在 x 軸上，離心率為3 ，且橢圓 C 上的點到兩2個焦點的距離之和為4（）求橢圓 C 的方程；（）設 A 為橢圓 C 的左頂點，過點A 的直線 l 與橢圓交于點M ，與 y 軸交于點 N ，過原點與 l 平行的直線與橢圓交于點P證明： |AM | |AN|2| OP|2解：（）設橢圓 C 的標準方程為x2y21(ab 0) ，a2b2a2b2c2 ,由題意知c3 ,解得 a2 ， b1a22a4,所以橢圓 C 的標準方程為x2y21 ,5 分4（）設直線AM 的方程為： yk( x2) ，則 N (0,2 k) yk( x，2)2 ) x216k 2 x16k24 0（*）由4 y2得 (1

18、+4kx24,設 A( 2,0) ， M ( x1 , y1) ，則 2 ， x1 是方程（ * ）的兩個根，所以 x128k 214k 228k 2,4k2 ) 所以 M(4k24k1128k228k224k21616k24 1 k 2|AM |(1 4k 2)(1 4k 2 )(1 4k 2 )21 4k 2 |AN |4 4k 22 1 k 2 |AM |AN|41k 22 1k28(1k 2 )14k214k 2設直線 OP 的方程為： ykx y，kx得 (1 4k 2 ) x24 0 由4y2x24,設 P( x0 , y0 )，則 x0 214， y0 214k 24k 24k

19、2所以 |OP|244k 2，2|OP|28 8k 2 14k 214k 2所以 |AM | |AN |2| OP |2例 4.2:X 2y2（）的離心率為3已知橢圓 C：，A（ a,0 ）,B(0,b)，O（0，0），1a>b>0a2b22OAB的面積為 1.（I ）求橢圓 C 的方程；(I I) 設 P的橢圓 C上一點，直線PA 與 Y 軸交于點 M，直線 PB 與 x 軸交于點 N。求證： ANBM 為定值。練習 1：已知橢圓 C : x2y21(a b 0) 的離心率為6, 橢圓短軸的一個端點與兩個a2b23焦點構成的三角形的面積為52 .3()求橢圓 C 的方程 ;( )

20、 已知動直線 y k (x 1)與橢圓 C 相交于 A 、B兩點 . 若線段 AB 中點的橫坐標為1, 求斜率 k 的值 ; 若點M( 7,0) ,求證: MAMB 為定值 .23練習 2：已知拋物線 C : y 2 2 px （p 0），其焦點為 F，O為坐標原點，直線AB （不垂直于x軸）過點 F 且拋物線 C交于 A ， B 兩點，直線 OA 與 OB的斜率之積為p （1）求拋物線 C 的方程；（2）若 M為線段 AB的中點，射線 OM交拋物線 C 于點D ，求證：|OD | 2|OM |練習 ：動點P( x, y)到定點F (1,0)的距離與它到定直線 l : x 4的距離之比為 1

21、.32( ) 求動點 P 的軌跡 C 的方程；（）已知定點 A(2,0)， B(2,0) ，動點 Q (4, t ) 在直線 l 上，作直線 AQ 與軌跡 C 的另一個交點為M ,BQ與軌跡 C 的另一個交點為 N ，證明：M,N,F三點共線.作直線（ 5）圓錐曲線最值問題例 5：已知橢圓 C : x2y21(a b 0) 的離心率為3 ，橢圓 C 與 y 軸交于 A， B 兩點，a2b22|AB|2.（）求橢圓C 的方程；（）設點 P 是橢圓 C 上的一個動點，且點P 在 y 軸的右側 .直線 PA， PB 與直線 x4 分別相交于 M ， N 兩點 .若以 MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點

22、 E， F ，求點 P 橫坐標的取值范圍及 | EF |的最大值 .解：（）由題意可得，b1，,1 分c32 分e， ,a2a2133 分得， ,a24解 a24， ,4 分橢圓 C 的標準方程為x2y21.,5 分4（）設 P(x0 , y0 )(0x02) ， A(0,1) ， B(0,1) ，所以 kPAy0 1y0 16 分，直線 PA 的方程為 yx0x 1， ,x0同理：直線 PB 的方程為 yy0 1x 1，x0直線 PA 與直線 x 4 的交點為 M (4, 4( y01)1) ， ,7 分x0直線 PB 與直線 x4 的交點為 N (4, 4( y01)1) ，x0線段 MN

23、 的中點 (4, 4y0 ) ，,8 分x0所以圓的方程為 ( x4) 2( y4 y0 ) 2(14)2 ， ,9 分x0x0令 y 0，則 ( x 4) 216 y02(1x0 )2 ， ,10 分x024因為 x02y21y0211， ,11 分40，所以x024所以 (x4) 2850 ，x0因為這個圓與x軸相交 , 該方程有兩個不同的實數解，所以 580 ，解得 x0(8,2.,12 分x05設交點坐標 ( x1 ,0),( x2 ,0) ，則 | x1x2 | 25882（x0）x05所以該圓被 x 軸截得的弦長為最大值為2.,14 分練習 1：已知橢圓 C： x2y21 ab的一個焦點為 F(2，0)，離心率為6 。過焦a2b23點F 的直線 l 與橢圓 C交于 A，B兩點，線段 AB中點為 D，O為坐標原點，過 O，D的直線交橢圓于M，N 兩點。（1）求橢圓 C 的方程；（2）求四邊形 AMBN 面積的最大值。練習 2： 已知橢圓 C ： mx23my21(m0) 的長軸長為26 ， O 為坐標原點 .（）求橢圓C 的方