1、習題二3.1 一質量為M,邊長為L的等邊三角形薄板，求繞垂直于薄板平面并通過其頂點的轉軸的 轉動慣量。解：三角形的頂點與質心的距離為 L ,設所求轉動慣量為|0 ,垂直于薄板平面并通過其3x=0, y 3 L 處,3質心的轉軸的轉動慣量為I1，利用平行軸定理，- ML2。取直角坐標系原點位于轉軸與邊的交點，三角形的一個頂點位于等邊三角形薄板的面密度為M3L2，4貝H 屛二 x2 y2 dm 二x2ys4dS二蟲M3Lx2 y2 dxdys由于該積分區域是對y軸對稱的，y積分區間從一至 ,x的積分區間從 3y _ 1到3于（單位均為L）。將上述積分化為Il=1 21 3，其中，I243：M !&

2、quot;2dxdy , I33L s43|32M .y2dxdy3L s4 . 3M , 4 2 L 3L233_匚J31 _3ydy 嘉 x2dx3（L4是由于積分號內的單位 L被提出）473ML2 口323家< 3丿dy2_6_3nML23亍31-.3y dy 令 t = 1 -，3yf22433t32* 二守 L4 »64,3ML2223.1.3 -_6 ML224所以：1 ML2 二仝 ML2312解2:在薄板平面內取直角坐標系，原點即為通過轉軸的三角形頂點，另兩個頂點分別位于I = x2 y2 dm = xss4>/5mt 22、dS3L廠x y dxdy而由

3、于該積分區域是對y軸對稱的，y積分區間從0到一色，x的積分區間從-旦 到23+ ®3'（單位均為L）。將上述積分化為3葺M仇*2 y2dx23 連 y3dy273.2 一質量為M、半徑為R的均勻球體，求對于通過球心轉軸的轉動慣量。解：I 二 r2dm 二 r2dV = ;?rVVV2r22下下Rsin "drdd o sii ； r4drn M將代入上式，即得I3 3 _R43.3 一個輪子裝在固定軸上，整個系統無摩擦地自由轉動。一條質量可忽略的帶子纏繞在軸上，并以已知恒定的力F拉之，以測定輪軸系統的轉動慣量。當帶子松開的長度為L時,2mr25繞B點的力矩和角加速度

4、各是多少? 桿的質心加速度是多少？B解: （ 1 ）繞B點的力矩由重力產生，設桿的線密度為t，則繞B點的力矩為桿繞1 1° xdG 二 ° gxdm 二 °gx：dx mg lmgB點的轉動慣量為m 21212° x dm xdxml角加速度為I 2l（2）桿的質心加速度為1 ：3ag2 43.6飛輪的質量為 60kg，直徑為0.50m，轉速為1000r/min，現要求在5s內使其制動，求制 動力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數=0.4，飛輪的質量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。習題3.&圖解：設在飛輪接觸點上所需要的壓力為dL由t =本題中

5、，摩擦力力矩不變為dtd丄d d_F t = m2 2 2dd時2，角動量由mv2變化到0，所以系統轉動的角速度為-.0，求系統的轉動慣量I。1解：外力做功為FL ,帶子松開的長度為 L時，系統動能為1 .2，所以2I壬2 oA端用手支住，問在突然撒手的瞬3.4質量為m長為l的均質桿，其B端水平的放在桌上, 時，（1）（2）解得 f = m d =785.4牛2MtF 二竺F =314.2牛1.253.7如圖所示，兩物體 1和2的質量分別為 m1與m2，滑輪的轉動慣量為 J,半徑為r。如物體2與桌面間的摩擦系數為，求系統的加速度 a及繩中的張力T1與T2 （設繩子與滑輪間無相對滑動）；如物體2

6、與桌面間為光滑接觸，求系統的加速度a及繩中的張力T1與T2。解：先做受力分析，物體 1受到重力 gg和繩的張力T1，對于滑輪，受到張力 T1和T2，對于物體2,在水平方向上受到摩擦力m2g和張力T2，分別列出方程mig -T)= ga(T1 - mi g - a )T2 - m2g = m2a(T2 =m2 ag )a=J r通過上面三個方程，可分別解出三個未知量“1Eg JgE m2 r JT2f吋2 叮Jg(m + m2 r + J在的解答中，取 J = 0即得2mgrg皿J吶 +m2 r +J20口2g2mim2 r J3.8電動機帶動一個轉動慣量為J=50kg m2的系統作定軸轉動。在

7、0.5s內由靜止開始最后達到120r/min的轉速。假定在這一過程中轉速是均勻增加的，求電動機對轉動系統施 加的力矩。解：由于轉速是均勻增加的，所以角加速度為=8： rad / s2120r / min 2 ：rad / r0.5s 60s/ min從而力矩為=J2 =50 8恵=1.257 103kgm2s，3.9 求題3.6中制動力矩在制動過程中所作的功。 解：制動力矩在制動過程中所作的功等于系統動能的變化1 2 24W m，r 2.06 10 J2本題也可以先求出摩擦力做功的距離以及摩擦力的大小來求解。3.10 一飛輪直徑為0.30m，質量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現用恒力拉繩子的一

8、端，使其由 靜止均勻的加速，經0.50s轉速達到10r/s。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：飛輪的角加速度及在這段時間內轉過的轉數；拉力及拉力所作的功；從拉動后t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。解： 飛輪的角加速度為Ago ：t10r/s 2 二 rad/r0.5s2二 1 2 57rad / s轉過的圈數為1 n 10r /s 0.5s = 2.5r2飛輪的轉動慣量為1 2 I mr2所以，拉力的大小為T1R 10.3斗Fmr - =5125.7 =47.1 牛rr 222拉力做功為W=FS=F n二d =47.1 2.5 3.14 0.3 =111J從拉動后t=10s時飛

9、輪角速度為> -1-125.7 10=1.257 103rads輪邊緣上一點的速度為3v = r =1.257 100.15 =1 8m/s輪邊緣上一點的加速度為a 十 =125.7 0.15 = 18.8m/s23.11彈簧、定滑輪和物體的連接如題 3.11圖所示，彈簧的勁度系數為 2.0N m-1 ;定滑輪的 轉動慣量是0.5kg m2，半徑為0.30m,問當6.0kg質量的物體落下0.40m時，它的速率為多 大？假設開始時物體靜止而彈簧無伸長。習題3 11圖解：當物體落下 0.40m時，物體減少的勢能轉化為彈簧的勢能、物體的動能和滑輪的動能, 即1 2 12 IV2mgh kh m

10、v 2，2 22r2 2將 m = 6kg， g = 9.8kgm/ s ， h = 0.4m，I = 0.5kgm ， r = 0.3m 代入，得v = 2.01m/ s3.12 一均勻鉛球從高為 h，與水平面夾角為 a的固定斜面頂上由靜止無滑動的滾下，求滾 到底端時球心的速度。試用下述幾種方法求解：（1）轉動定理，以球和斜面的接觸點為瞬時轉軸；（2）質心運動定理；（3）機械能守恒定律；（4）角動量定理。3.13質量為m、半徑為R的自行車輪，假定質量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉動。另 一質量為m°的子彈以速度V0射入輪緣（如題2-31圖所示方向）。（1）開始時輪是靜止的，在質點打

11、入后的角速度為何值？（2）用m,m0和二表示系統（包括輪和質點）最后動能和初始動能之比。3.14在自由旋轉的水平圓盤上， 站一質量為 m的人。圓盤的半徑為 R，轉動慣量為J,角速 度為3。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統動能的變化。解：系統的角動量在整個過程中保持不變，人在盤邊時，角動量為L = I = J mR2人走到盤心時L = I = JJ mR2因此,CuJ人在盤邊和在盤心時，系統動能分別為Wi = 1 m 2R22mR22©J系統動能增加W =W2 -W1m 2R21 m2R42o2 J3.15在半徑為R1,質量為m的靜止水平圓盤上，站一質量為m的人。圓盤可無

12、摩擦地繞通 過圓盤中心的豎直軸轉動。當這人開始沿著與圓盤同心，半徑為R2（ < R1）的圓周勻速地走動時，設他相對于圓盤的速度為 v，問圓盤將以多大的角速度旋轉？解：整個體系的角動量保持為零，設人勻速地走動時圓盤的角速度為 ，則mR12= 02解得-2R2R2 2R；V3.16如題3.16圖示，轉臺繞中心豎直軸以角速度3 o作勻速轉動。轉臺對該軸的轉動慣量j=5 >10-5 kg m2。現有砂粒以1g/s的速度落到轉臺，并粘在臺面形成一半徑r=0.1m的圓。、 1試求砂粒落到轉臺，使轉臺角速度變為0所花的時間。21解：要使轉臺角速度變為-'0，由于砂粒落下時不能改變體系角動

13、量，所以必須要使體系2的轉動慣量加倍才行，即m沙粒r . J將 J =5 10kg m2和 r =0.1m代入得m沙粒=510”kg所以t5"0<kg1g/s=5s參量），如習題3.17圖所示。質子的動能為M pv02 ：2，重核的質量非常大，可以略去其反沖能量，即可以把重核看作是靜止的。求質子能接近重核的最近距離解：設質子在離核最近處，速度為v分別列出體系的角動量守恒方程和能量守恒方程M pv0b 二 M pVS1 212 Ze2M pv0M pv2 p 2 p4-oS通過這兩個方程可解出其中的未知變量v和S （解答略）3.18 一脈沖星質量為 1.5X 1030kg,半徑為

14、20km。自旋轉速為2.1 r/s,并且以1.0X 10-15r/s 的變化率減慢。問它的轉動動能以多大的變化率減?。咳绻@一變化率保持不變，這個脈沖星經過多長時間就會停止自旋？設脈沖星可看作勻質球體。解：脈沖星的轉動慣量為2 mr轉動動能為= mr=0.4匯1.5匯 1030 乂（2肚104 ） 乂2.1乂2乂兀匯1.0匯10_15><2 乂兀=1.99>< 1025 J/sdt 5dt單位時間內，能量的變化百分比為：dW od2152= 0.95 105sdt / dt _2 1.0 1045r/s2W 2.1r/s因此，停止自旋所需要的時間為=1.05 1015s

15、0.95 10 s3.19 兩滑冰運動員，質量分別為MA=60kg , M B=70kg，它們的速率 VA=7m/s , VB=6m/s,在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質心作圓周運 動并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時：系統的總角動量；系統的角速度；兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒，為什么？解:設兩滑冰運動員拉手后，兩人相距為s，兩人與質心距離分別為rA和rB,則系統總角動量為M AM B2L = La Lb = M AVArA M bVbb - 一 VA Vb630kgm 2M A rAM b rB /sM a * M b對系統的角速

16、度 ，由于兩人拉手后系統角動量不變2 2L = La + LB = M AVArA + M BVBrB = M ArAo + M BrB©所以,Va Vbs二 8.67r adsL兩人拉手前總動能為：1 2 1 2WiMaV： MbVB2 =2 7302 2拉手后，由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為1 221221 M a M B 丄2W2= MaZ + Mbb =(Va+Vb ) =273J02 22 M a +M b所以體系動能保持守恒可以算出，當且僅當 MaVa =MbVb時，體系能量守恒，否則能量會減小-M bVb3.20 一長l=0.40m的均勻木棒，質量 M=1.

17、00kg，可繞水平軸 0在豎直平面內轉動，開始時3棒自然地豎直懸垂?，F有質量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點與O點的距離為丨，4如圖。求： 棒開始運動時的角速度； 棒的最大偏轉角。習題320圖解：系統繞桿的懸掛點的角動量為3 2 AL mvl = 0.48kgm s -子彈射入后，整個系統的轉動慣量為12922I Ml2 ml2 =0.054kgm23 16所以，丫:- =8.88rad /sI子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統的動能為W動二 1 I / =2.13J2當桿轉至最大偏轉角 ，時，系統沒有動能，勢能的增加量為1 3W勢Mgl 1 -cosmgl 1 - cost2 4由

18、機械能守恒， W動二厶W勢得 v -94.243.22壓路機的滾筒可近似地看作一個直徑為D的圓柱形薄壁圓筒(如習題 3.22圖)，設滾筒的直徑D=1.50m，質量為10t，如果水平牽引力 F為20000N，使它在地面上作純滾動。求：滾筒的角加速度和軸心的加速度；摩擦力；從靜止開始走了 1m時，滾筒的轉動動能與平動動能。解： 采用瞬時轉軸法，通過滾筒與地面接觸點的軸，摩擦力無力矩，只有水平牽引力有 力矩，所以，FR =(mR2 mR2) '匕二 F =1.33rad/s22mR軸心的加速度為= R = 1m/s2 在水平方向上滾筒受到水平牽引力和摩擦力的作用，由牛頓第二定律，摩擦力為f

19、二 F -ma =20000-10000 1 =1 104牛由于整個體系做勻加速運動，走了一米后，滾筒的速度為v = 2as其平動動能為1W1mv2 =1 104 J2轉動動能為W4 =丄| / -mR2 - =1mv2 =1 104J22R 23.23如圖所示，一圓柱體質量為 m,長為I，半徑為R,用兩根輕軟的繩子對稱地繞在圓柱 兩端，兩繩的另一端分別系在天花板上?，F將圓柱體從靜止釋放，試求：它向下運動時的線加速度；向下加速運動時，兩繩的張力。解： 采用瞬時轉軸法，以繩和圓柱體的接觸點為瞬時轉軸，繩的張力無力矩，所以1mgR 二 H mR2 mR2廠旦3Ra 二：R = 2 g = 6.53

20、m /s23向下加速運動時，圓柱體豎直方向受到向下的重力mg，以及繩子的拉力2F，所以mg - 2F = ma2m（g _a）mg3.24半徑R為30cm的輪子，裝在一根長I為40cm的軸的中部，并可繞其轉動，輪和軸的 質量共5kg，系統的回轉半徑為 25cm，軸的一端A用一根鏈條掛起，如果原來軸在水平位 置，并使輪子以 =12rad s'的自旋角速度旋轉，方向如圖所示，求:該輪自轉的角動量；作用于軸上的外力矩；系統的進動角速度，并判斷進動方向。習題3.22®習題324圖&二0.25m所以其轉動慣量J二mR2解：本題屬于進動問題。（1）因為輪軸系統的回轉半徑為自轉角動量則為J s 二 m£ s =5 （0.25）2 12kg m2 s' =3.75kg m2 s4（2）輪軸系統對 A點的力矩為：M = G mg220.4=5 9.8N m 二 9.8N m2(3)進動的角速度為二衛9sJpJcOs3.75進動的方向俯視為逆時針方向。3.25繞有電纜的大木軸， 質量為1000kg,繞中心軸O的轉動慣量為300kg m2。如圖所示: R=1.QQm，F2=0.4