1、一、物理實驗的重要性一、物理實驗的重要性v物理學物理學是自然科學的基礎學科，也是自然科學的基礎學科，也是一門以是一門以實驗為基礎的學科。實驗為基礎的學科。 實驗物理與理論物理實驗物理與理論物理 科學的理論來源于科學的實驗，并受到科學的理論來源于科學的實驗，并受到實驗的檢驗。沒有實驗的理論是空洞的理論，實驗的檢驗。沒有實驗的理論是空洞的理論，沒有理論的實驗是盲目的實驗。沒有理論的實驗是盲目的實驗。物理實驗是物理實驗是理論的源泉和檢驗標準。理論的源泉和檢驗標準。物理學的理論，就物理學的理論，就是通過是通過觀察、實驗、抽象、假說等研究方法，觀察、實驗、抽象、假說等研究方法，并通過實驗的檢驗而建立起來

2、的。并通過實驗的檢驗而建立起來的。 引 言 實驗物理與理論物理相輔相成，相互相輔相成，相互依賴，互相促進，依賴，互相促進，恰如鳥之雙翼，人之雙足，缺一不可缺一不可。物理學正是靠著實驗物理和理論物理的相互配合、相互激勵、相互完善而不斷向前發展的。 物理實驗在物理學的產生、發展和應物理實驗在物理學的產生、發展和應用過程中起著重要作用。用過程中起著重要作用。物理學理論的建立，離不開物理現象的發現、研究和大量的物理實驗。從力學、熱學、電磁學、光學到相對論、量子力學，都是以實驗奠定了理論的基礎。 阿基米德在澡盆里發現了浮力定律。經典物理學的奠基人牛頓在大量實驗的基礎上，總結出牛頓運動定律。 20世紀初期

3、邁克爾遜-莫雷實驗，黑體輻射實驗，光電效應實驗，導致了相對論和量子論的誕生。v物理實驗在培養學生獨立從事科學研究工作的能力、理論聯系實際的分析綜合能力與思維和表達能力、團結協作精神等方面具有獨特的優勢。是要使學生二、物理實驗課的主要目的二、物理實驗課的主要目的 1. 學習實驗知識學習實驗知識v學習物理實驗的基本理論、典型的實驗方法及其物理思想。在物理實驗的基本知識、基基本知識、基本方法、基本技能本方法、基本技能方面受到較系統的訓練。 包括：有關儀器的選擇和使用、基本的測量技能和方法、實驗數據的處理、對結果的誤差做出分析和判斷、完成實驗報告等。 2. 培養實驗能力培養實驗能力v科學實驗能力包括：

4、 自學能力、動手實踐能力、創新思維能力、書面表達能力、簡單設計能力等。 3. 提高實驗素養提高實驗素養v科學實驗素養包括： 理論聯系實際和實事求是的科學態度， 嚴謹踏實的工作作風， 勇于探索、堅韌不拔、不斷創新的鉆研精神 遵守紀律、團結協作和愛護公物的優良品德。三、物理實驗課的基本程序三、物理實驗課的基本程序（1）實驗預習）實驗預習（3）寫出實驗報告）寫出實驗報告 閱讀教材閱讀教材寫出預習報告寫出預習報告（2）上實驗課）上實驗課攜帶攜帶預習報告預習報告、按實驗室課表指定的時間到按實驗室課表指定的時間到實驗室上課實驗室上課認真聽老師講授，之后按要求、按時完成實驗認真聽老師講授，之后按要求、按時完

5、成實驗實驗數據簽字實驗數據簽字、整理儀器、打掃衛生、整理儀器、打掃衛生教師簽字后，教師簽字后，才算完成實驗才算完成實驗教師簽字紙要教師簽字紙要隨報告上交。隨報告上交。如丟失則需補如丟失則需補做做該實驗。該實驗。 1. 測量測量v物理實驗是以測量為基礎的。所謂測量測量，就是將待測的物理量與一個選來作為標準的同類量進行比較，得出它們的倍數關系的過程。選來作為標準的同類量稱之為單位單位，倍數稱為測量數值測量數值。一個物一個物理量的理量的測量值測量值等于等于測量數值與單位的乘測量數值與單位的乘積積。一、誤差分析與數據處理一、誤差分析與數據處理 測量的分類：測量的分類： 按測量方法：直接測量、間接測量按

6、測量方法：直接測量、間接測量 按測量條件：等精度測量、非等精度測量按測量條件：等精度測量、非等精度測量 按測量次數：多次測量、單次測量按測量次數：多次測量、單次測量 1) 直接測量與間接測量直接測量與間接測量v直接測量直接測量，即直接將待測物理量與選定的同類物理量的標準單位進行比較而得到測量值。如用尺測量長度、以秒表計量時間、用天平稱衡質量、用電流表測電流等。2242TlgglT v間接測量間接測量，是指被測量與直接測量量之間需要通過一定的函數關系的運算，才能得到被測量的量值。如用單擺測重力加速度時，需先直接測量單擺的擺長l 和周期T，再應用公式求得重力加速度g。2) 等精度測量與不等精度測量

7、等精度測量與不等精度測量v同一個人，用同樣的方法，使用同樣的儀同一個人，用同樣的方法，使用同樣的儀器，在相同的條件下對同一物理量進行多器，在相同的條件下對同一物理量進行多次測量次測量，盡管各次測量并不完全相同，但我們沒有任何充足的理由來判斷某一次測量更為精確，只能認為各次測量的精確程度是完全相同的。把這種具有同樣精確程具有同樣精確程度的測量度的測量稱之為等精度測量等精度測量。v在所有的測量條件中(方法、儀器、環境方法、儀器、環境等等)，只要有一個發生變化只要有一個發生變化，這時所進行的多次多次測量即為不等精度測量不等精度測量。v在物理實驗中，在物理實驗中，凡是要求多次測量均凡是要求多次測量均指

8、等精度測量，指等精度測量，應盡可能保持測量條應盡可能保持測量條件不變。嚴格地說，在實驗過程中保件不變。嚴格地說，在實驗過程中保持測量條件不變是很困難的。但當某持測量條件不變是很困難的。但當某一條件的變化對測量結果的影響不大一條件的變化對測量結果的影響不大時，可視為等精度測量。時，可視為等精度測量。2. 誤差誤差 1) 誤差的定義誤差的定義 物理量在客觀上有著確定的數值客觀上有著確定的數值，稱為真值真值。 由于測量儀器精度的局限性、測量方法或理論公式的不完善性和實驗條件的不理想、測量人員不熟練等原因，使得測量結果與客觀真值有一定的差異。 測量值與真值之差 ，稱為為誤差誤差。 任何測量都不可避免地

9、存在誤差。誤任何測量都不可避免地存在誤差。誤差存在于一切測量之中。差存在于一切測量之中。在誤差必然存在的條件下，物理量的真值是不可知的。物理量的真值是不可知的。 分析測量過程中產生的各種誤差，將其影響降低到最低程度，并對測量結果中未能消除的誤差做出估計，是實驗中的一項重要工作，也是實驗的基本技能。隨著科技水平的不斷提高，測量誤差可以被控誤差可以被控制得越來越小，但一般不會是零。制得越來越小，但一般不會是零。2) 誤差的表示形式誤差的表示形式 誤差的表示形式分為誤差的表示形式分為和和。v絕對誤差是測量值與真值之差絕對誤差是測量值與真值之差 x=xx0。 僅僅根據絕對誤差的大小還難以評價一個測量結

10、果的可靠程度，還需要考慮被測量本身的大小。v相對誤差相對誤差E定義為絕對誤差與被測量真值的絕對誤差與被測量真值的比值，比值，即：% 100 xxE. 相對誤差表示絕對誤差在整個物理量中所占的比重，所以既可以評價量值不同的同類物理量的測量，也可以評價不同物理量的測量，從而判斷它們之間的優劣。 % 100 0公認值公認值測量值百分差Ev如果待測量有理論值或公認值或標準值，也可用來表示測量的好壞。即: 測量誤差按誤差產生的原因及誤差產生的原因及其性質其性質分類可分為 系統誤差、隨機誤差和過失誤差系統誤差、隨機誤差和過失誤差3) 誤差的分類誤差的分類 ）系統誤差）系統誤差 在一定條件下（指儀器、方法和

11、環境）（指儀器、方法和環境）對同一物理量進行多次測量時，其誤差按一定的規律變化，測量結果總是向一個方向偏離，都大于真值或都小于真值。系統誤差的特征是它的規律的確定性。 系統誤差產生的原因可能是已知的，也可能是未知的。產生系統誤差的原因主要有：儀器誤差、理論誤差、觀測誤差。 v（1）由于儀器儀器本身存在一定的缺陷或使用不當造成的。如儀器零點不準、儀器水平或鉛直未調整、砝碼未校準、停表走時不準等。 v（2）實驗方法方法不完善或這種方法所依據的理論理論本身具有近似性，或實驗條件不能達到理論公式所規定的要求。例如用單擺測量重力加速度時，忽略空氣對擺球的阻力的影響，用安培表測量電阻時，不考慮電表內阻的影

12、響等所引入的誤差。v（3）實驗者實驗者生理或心理特點或缺乏經驗所引入的誤差。例如有人讀數時，頭習慣性的偏向一個方向，按動秒表時，習慣性的提前或滯后等。）隨機誤差隨機誤差v在對同一物理量進行多次測量時，誤差的誤差的大小和符號以不可預知的方式變化大小和符號以不可預知的方式變化。隨機誤差產生的原因很多，歸納起來大致可分為以下兩個方面： （1）由于觀測者在對準目標、確定平衡(如天平)、估讀數據時所引入的誤差。 （2）實驗中各種微小因素的變動。例如，實驗裝置和測量機構在各次調整操作上的變動性，實驗中電源電壓的波動、環境的溫度、濕度、照度的變化所引起的誤差。v隨機誤差的出現，單就某一次觀測來說是沒有規律的

13、，其大小和方向是不可預知的。但對某一物理量進行足夠多次測足夠多次測量時，量時，則會發現隨機誤差顯示出明顯的規律性。實踐和理論都證明，隨機誤差隨機誤差服從一定的統計規律。隨機誤差可用統服從一定的統計規律。隨機誤差可用統計方法進行估算。計方法進行估算。v通常是由測量儀器的故障、測量條件的失常及測量者的失誤，如實驗方法不合理、操作不當、讀錯刻度、記錯數據等引起的。這是一種明顯超出明顯超出統計規律預期值的誤差。這類誤差具有異常值統計規律預期值的誤差。這類誤差具有異常值，會導致錯誤的結論和帶來不必要的麻煩。帶有過失誤差的實驗數據是不可靠的。v只要測量者采取嚴肅認真的態度，過失誤只要測量者采取嚴肅認真的態

14、度，過失誤差一般是可以避免的。差一般是可以避免的。v一旦發現測量數據中有粗大誤差數據存在一旦發現測量數據中有粗大誤差數據存在應進行應進行重測重測！如條件不允許重新測量，應！如條件不允許重新測量，應在能夠確定的情況下，在能夠確定的情況下，剔除剔除含有粗大誤差含有粗大誤差的數據。但必須十分慎重。的數據。但必須十分慎重。）過失（粗大）誤差過失（粗大）誤差v消除系統誤差，避免過失誤差，減小消除系統誤差，避免過失誤差，減小隨機誤差隨機誤差。 () 系統誤差的處理系統誤差的處理 在實驗前對儀器進行校準，對實驗方法進行改進，在實驗時采取一定的措施對系統誤差進行補償和消除，實驗后對結果進行修正等。4) 誤差的

15、處理誤差的處理 從實驗者對系統誤差掌握的程度來分，可分為 （1）已定系統誤差: 是指絕對值和符號都已確定的，可以估算出的系統誤差分量。 （2）未定系統誤差: 是指符號或絕對值未經確定的系統誤差分量，一般指估計其限值。 對于未定系統誤差對于未定系統誤差在物理實驗中在物理實驗中一般一般只考慮儀器的（最大）允許誤差只考慮儀器的（最大）允許誤差儀儀（簡稱儀器誤差）。（i）隨機誤差的正態分布規律 對某一物理量在相同條件下進行多次重復測量，測量結果為x1，x2，x3，xn。如果該物理量的真值為x0，則根據誤差的定義，各次測量的誤差為各次測量的誤差為),(nixxii210 () 隨機誤差的估算隨機誤差的估

16、算* 大量實踐證明，隨機誤差 的出現服從一定的統計分布正態分布正態分布(高斯分布) 。i 圖中橫坐標為誤差，縱坐標為誤差的概率密度分布函數 遵從正態分布的隨機誤差具有以下特征特征： （1）單峰性。單峰性。絕對值大的誤差出現的可能性(概率)小，絕對值小的誤差出現的概率大。 （2）對稱性。對稱性。絕對值相等的正負誤差出現的機會均等，對稱分布于真值的兩側。 （3）有界性。有界性。在一定的條件下，誤差的絕對值不會超過一定的限度。絕對值非常大的正、負誤差出現的概率趨近于零 。 （4）抵償性。抵償性。當測量次數很多時，各誤差的代數和趨近于零，即niinLim10（ii）近真值（約定真值）近真值（約定真值）

17、v如何得到一個物理量真值的最佳測量結果，或者說得到一個最接近真值的測量數值呢？根據隨機誤差具有抵償性特點，可以求得真值的最佳估計值真值的最佳估計值近真值。近真值。 niixnx11 i=1,2,3,v設在相同條件下對一個物理量進行多次測量，測量值分別為x1，x2，x3，xn ，則該測量值的算術平均值算術平均值 而各次測量的隨機誤差為 i = xi x0 對n次測量的絕對誤差求和有 當測量次數n，由隨機誤差具有抵償性 所以n時, 由此可知，測量次數愈多，算術平均值接近真值的可能性愈大。當測量次數足夠多當測量次數足夠多時，算術平均值是真值的最佳估計值。時，算術平均值是真值的最佳估計值。niniii

18、nxx1100性抵償011 nxxniinniinlimlim 101xxnxnii （iii）算術平均值的絕對偏差和相對偏差v由于真值不知道，誤差無法計算。 根據算術平均值是真值的最佳估計值，算術平均值是真值的最佳估計值，在實際估算誤差時，用各次測量值與算各次測量值與算術平均值的差值術平均值的差值來估算各次測量的誤差，稱為殘差（偏差偏差）：xxii （真值近真值 誤差偏偏差差）xS)()()(1111221 nnxxnnSniiniix （1）標準偏差標準偏差置信概率p=68.3%, 它表示真值落在 內的概率為68.3%。xSxv算算術平均值術平均值的絕對偏差對于不同置信概率的表示形式)(x

19、xSxSx 到即x（2）平均偏差1nniix置信概率p=57.4%,它表示真值落在 內的概率為57.4%。xx（3）極限(最大)偏差xS3置信概率p=99.7% 由此可見，偏差的不同估算方法表明真值落入在該區間內的概率不同。若不指明置信概率就無法判斷一個測量結果的優劣。置信概率不同的，不能進行比較或合成！置信概率不同的，不能進行比較或合成！算術平均值的相對偏差的定義為絕對偏差除以算術平均值再乘以100%，因此有 （1）相對標準偏差%100 xSExx（2）相對平均偏差 %100 xExx v算算術平均值術平均值的相相對偏差對于不同置信概率的表示形式（iv）均勻分布均勻分布時的誤差估算時的誤差估

20、算 3xS多次測量由于儀器精度不夠或其它原因，結果各次測量的測量數值都相等。按照算術平算術平均值的絕對偏差均值的絕對偏差公式無法估算誤差。這時可以用儀器的極限誤差，或用儀器的最小分度值作為極限誤差，認為測量的隨機誤差在這個極限內均勻分布。根據均勻分布均勻分布理論，標準偏差與極限誤差的關系為 式中代表極限誤差 近年來，引入了不確定度這一概念來評價測量結果的可靠程度。3. 不確定度不確定度1) 不確定度的基本概念不確定度的基本概念 測量結果的不確定度也稱實驗不確定度，給出在被測量的平均值附近的一個范圍，真值以一定的概率落在此范圍中。 不確定度越小，標志著測量結果與真值的誤差可能值越小；不確定度越大

21、，標志著測量結果與真值的誤差可能值越大。 2) 不確定度分量的分類及其性質不確定度分量的分類及其性質（1）可以用可以用統計方法計算的統計方法計算的A類不確定度，類不確定度，或或不確不確定度的定度的（2）不能用統計方法處理，而需要用其他方不能用統計方法處理，而需要用其他方法處理法處理的B類不確定度，類不確定度，或或不確定度的不確定度的 設對物理量進行多次測量得到的測量列設對物理量進行多次測量得到的測量列為為 ，則物理量，則物理量 x 的不確定度的的不確定度的A分量可由下式計算分量可由下式計算Au),(21nixxxx niixAxxxnnSu12)(11)(vA類不確定度分量類不確定度分量 根據

22、誤差來源，先估算出此項的根據誤差來源，先估算出此項的極限誤差極限誤差 ，然后再根據該項誤差服從的分布規律確定出置信系然后再根據該項誤差服從的分布規律確定出置信系數數C，最后求出所對應的標準偏差作為該項誤差的最后求出所對應的標準偏差作為該項誤差的B分量。即分量。即j B B分量在物理實驗課中主要體現在對未定分量在物理實驗課中主要體現在對未定系統誤差系統誤差( (簡化為只考慮儀器誤差）簡化為只考慮儀器誤差）的處理上。的處理上。 vB類不確定度分量類不確定度分量BuCujB/ 儀器誤差服從儀器誤差服從正態分布正態分布規律時，取規律時，取 C3 ， 服從服從均勻分布均勻分布規律時規律時，取取 C 32

23、2BAcuuu cu3) 合成合成不確定度不確定度4) 總不確定度總不確定度ccuU c 是置信因子U的置信概率的置信概率: c =1 c =2 c =3 p= 68.3% 95.5% 99.7% 一般來說，在測量結果的后面都要標明一般來說，在測量結果的后面都要標明所對應的置信概率。所對應的置信概率。 在本課中一般取在本課中一般取c =1，則則 00100 xUEcuU v相對不確定度相對不確定度4. 直接測量量的結果表示與評價直接測量量的結果表示與評價)(單位Uxx00100 xUE)(p(mm)(P=0.683)9.515 0.005x置信概率P表示真值 以68.3%的概率落在區間內。9.

24、510mm,9.520mm0 x)(單位 xx或或其中其中表示表示絕對偏差絕對偏差例：例：00100 xE)( p 設間接測量量 Y 是一組相互獨立的相互獨立的直接測量量 X1, X2, Xn 的函數，一般可寫為 ),(21nXXXFY ),.,(21nXXXFY 1）間接測量量的平均值：）間接測量量的平均值： 即：將各直接測量量的算術將各直接測量量的算術平均值平均值代入代入函數式中，計算得出間接測量函數式中，計算得出間接測量量量的的平均值。平均值。5. 間間接測量量的結果表示與評價接測量量的結果表示與評價2222222121nXnXXySXFSXFSXFS 2）測量量的誤差估算：測量量的誤差

25、估算：22222221)(ln)(ln)(ln21nXnXXySXFSXFSXFYSE (1)測量公式為和差形式，直接取全微分直接取全微分； 測量公式為乘除、指數形式，先取對數先取對數再取全微分再取全微分(2)變微分號為誤差號變微分號為誤差號(3)取取“方和根方和根”得間接測量量的誤差傳遞公式間接測量量的誤差傳遞公式。當測量公式為乘除、指數形式，時：YESy或或“絕對值和絕對值和”當測量公式為和差形式時：(2)變微分號為誤差號變微分號為誤差號例例224Tlg Tlgln2ln)4ln(ln2 TTllggddd2 (1)(1)先先取對數取對數，TSlSgSTlg2 22222141TgSTSl

26、gS 或或TlgTlg 2 或或(3) 取取“方和根方和根”或或 “絕對值和絕對值和”TlgTlg 2 再取全微分再取全微分2222222121nnUXFUXFUXFU 3）間接測量量的）間接測量量的不確定度不確定度傳遞公式傳遞公式：2222222121nnUXFUXFUXFYUE )(ln)(ln)(ln當間接測量量Y是各直接測量量的和差函數時：當間接測量量Y是各直接測量量的積商函數時：YEU (1)計算各直接測量量的平均值計算各直接測量量的平均值 nXXX,.,21(2)計算出各直接測量量的總不確定度計算出各直接測量量的總不確定度 nUUU,.,21 (3)將各直接測量量的平均值代入函數關

27、系式中算將各直接測量量的平均值代入函數關系式中算 出間接測量量的平均值出間接測量量的平均值 Y(4)將各直接測量量的平均值與總不確定度代入間將各直接測量量的平均值與總不確定度代入間接測量量的不確定度傳播公式中，計算間接測量接測量量的不確定度傳播公式中，計算間接測量量的不確定度和相對不確定度量的不確定度和相對不確定度 (5) 寫出測量結果，并標明測量結果的置信概率。寫出測量結果，并標明測量結果的置信概率。()100%UYYUEY單位4）測量量的結果表示測量量的結果表示UEU、 例1：測得金屬環的內徑D1=（2.8800.004）cm， 外徑D2=（3.6000.004）cm，厚度h=（2.575

28、0.004）cm，求環體積V的測量結果。 a直接求不確定度uv)(4 2122DDhV322cm436. 94357. 9)880. 2-600. 3(575. 241416. 3 V解：環體積公式為V 的近真(平均)值： 方法一：先求V對各變量的偏導數，對某一變量求偏導數時，把其它變量看作常數。)(21224DDhV 211hDDV 222hDDV 222122122)2()2()(421DDhNuhDuhDuDDu 32222208. 0076. 0)600. 3575. 22()880. 2575. 22()880. 2600. 3(004. 04cm - 方法二： 先求相對不確定度Ev

29、，再求不確定度uv)ln(ln4lnln2122DDhV ,1lnhhV,2ln212222DDDDV222222221221221-2-2-1)uDDD()uDDD()uh(EDDhV %81. 0)880. 2-600. 3600. 32()880. 2-600. 328802()575. 21(0.004 22222223080076081043579cm.%.EVuVV V的測量結果：V=（9.4360.076）=（9.44 0.08）cm3 2122112 DDDDV ln二、有效數字及其運算規則二、有效數字及其運算規則1. 有效數字：有效數字：由幾位可靠數字和最后一位可疑數字組成。

30、由幾位可靠數字和最后一位可疑數字組成。 用最小分度是毫米的鋼板尺測量某物體的長用最小分度是毫米的鋼板尺測量某物體的長度，測量結果記為度，測量結果記為143.5mm。其中，。其中，143三位數是三位數是準確讀得的，是可靠的，稱之為準確讀得的，是可靠的，稱之為“可靠數字可靠數字”，而而 “5”這一位是估計出來的，為這一位是估計出來的，為“可疑數字可疑數字”。可靠數字和末位的可疑數字組成有效數字。可靠數字和末位的可疑數字組成有效數字。有效數字位數越多，測量的相對誤差越小。有效數字位數越多，測量的相對誤差越小。（1）直接測量值的有效數字）直接測量值的有效數字 對于直接測量，測量結果的有效位數由測量對于

31、直接測量，測量結果的有效位數由測量儀器的精度決定。儀器的精度決定。 一般說來，必須一般說來，必須估讀到儀器最小分度值的下一估讀到儀器最小分度值的下一位上。位上。 數顯式的，最后一位為可疑數字。數顯式的，最后一位為可疑數字。 凡是儀器上讀出的，測量數凡是儀器上讀出的，測量數據據的最前一位的最前一位 非零數到最后一位非零數到最后一位數字數字均算作有效數字。均算作有效數字。最前一位非零數字之前的最前一位非零數字之前的“0”0”不算有效數字，而不算有效數字，而在非零數字之間或在非零數字之間或末尾的末尾的“O”O”都是有效數字。都是有效數字。例如，例如，2.004cm，2.200cm均是四位有效數均是四

32、位有效數字字，而，而0.563m是三位有效數是三位有效數字字， 0.01050 的的有效有效位數為四位數為四位。位。注意注意（2）非測量值的有效數字非測量值的有效數字 非測量數據的位數可認為有無窮多位。如圓非測量數據的位數可認為有無窮多位。如圓周長周長L=2 R，在公式中，在公式中2和和 都不是測量結果，可都不是測量結果，可以認為是無窮多位。以認為是無窮多位。（3）絕對誤差的有效位數）絕對誤差的有效位數規定：規定：絕對誤差絕對誤差（或不確定度）的有效位數（或不確定度）的有效位數只取只取 1位或位或 2位。位。 相對誤差相對誤差（或相對不確定度）（或相對不確定度）的有效位數的有效位數通常取通常取

33、 2位。位。（4）有效數字的）有效數字的單位換算單位換算規則規則 在十進制單位換算中在十進制單位換算中， 改變有效數字單位時，只改變有效數字單位時，只能改變有效數字中的小數點位置，而能改變有效數字中的小數點位置，而有效數字的有效數字的位數不變位數不變。如。如 m.m.m.mm.100501100501010500501042 為避免單位換算中位數很多時寫一長串，或計位時錯位，常用科學表達法：通常在小數點前保留一位整數，再乘以1On表示，這樣既簡單明了，又便于計算和定位。通常用于數值很大或很小的測量結果。 在在非十進制非十進制單位換算中單位換算中， 改變有效數字單位時，改變有效數字單位時，有效數

34、字的位數有效數字的位數可能改變也可能不變可能改變也可能不變。 基本原則基本原則：可靠可靠數字與可靠與可靠數字的運算結果仍結果仍為可靠可靠數字。可靠可靠數字與可疑與可疑數字或可疑可疑數字與可疑與可疑數字運算的結果為可結果為可疑疑數字。 運算結果中可疑數字只保留一位。 2. 有效數字的運算規則有效數字的運算規則（1 1）有效數字的加減法）有效數字的加減法 a. 其和或差的結果的可疑位置與參與運算的各量中的可疑位置最高者相同。 b. 測量結果是若干個觀測量進行加、減法計算而得時，選用精度相同的儀器作測量最為合理。 14.614.61 1 + 2.21 + 2.216 6 + 0.0067 + 0.0

35、0672 2 = 16.8 = 16.832723272 = 16.8 = 16.83 314.14.6 6 + 2.21 + 2.216 6 + 0.00 + 0.007 7 = 16. = 16.823823 = 16. = 16.8 8 。 4567 45678 8 23 231 1 4567845678 1370 13703434 913 9135656 10 10551618551618=1.06=1.0610107 7 a.積或商結果的有效位數一般與參與運算的各量中有效位數最少者相同。b.測量結果是若干個觀測量進行乘除法運算而得時，應按使測量值有效位數相同的原則來選擇測量儀器。c.

36、 可先將位數較多的數據位數保留到比位數最少的多一位參與運算。（2 2）有效數字的乘除法）有效數字的乘除法 （3 3）有效數字的乘方開方）有效數字的乘方開方 結果的位數與相應的底數的位數相同。如23.42的結果取為548。（4 4）有效數字的對數）有效數字的對數 結果的位數與真數的位數相同。如ln23.4的結果取為3.15。 舉例：15.0min=( )s 25.0min=( )s 15. 15.0 0 60 60 00 000 0 + 90 + 900 0 90 900.00.0 = 90 = 900 0 25. 25.0 0 60 60 00 000 0 + 150 + 1500 0 150

37、 1500.00.0 =150 =1500 0 v在非十進制非十進制單位換算中單位換算中， 改變有效數字單位改變有效數字單位時，時，有效數字的位數有效數字的位數可能改變也可能不變可能改變也可能不變。 v無理常數、cos(0.2)等在公式中參加運算時，參與乘除法其取的位數應比有效位數最少的多一位；參與加減法其取值最后一位應比最終結果的最后一位低一數量級。 212=2123.142 212=2123.1 其其修約原則修約原則是是: 對平均值對平均值 “四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶” 如如: : 要保留到整數位時要保留到整數位時 123.49=123 123.66=124 124.51=125 12

38、3. 50=124 124.50=1243. 有效數字的修約有效數字的修約 (運算時尾數的取舍運算時尾數的取舍)對誤差或不確定度對誤差或不確定度 “只入不舍只入不舍” 或或 “四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶” 中間結果的位數中間結果的位數 對于較為重要的測量，為了正確評定測量結果，應計算測量結果的不確定度。在這種情況下，對測量數據進行運算時，為了減少四舍五入帶來的計算誤差，可比上述規則先多保留一到兩位數，待計算完不確定度后，根據不確定度所在位確定測量結果的可疑位。 例計算平均值：(12+12+13）/3=12.33=12.3=12如果后面計算要用到平均值，可使用12.33或12.3，最好不要使用

39、12；若沒有后續的計算，則平均值取12。測量結果中平均值保留的末位必須與測量結果中平均值保留的末位必須與絕絕對偏差（或對偏差（或不確定度）所在的位對齊不確定度）所在的位對齊! 如測某長度的平均值為如測某長度的平均值為 18.956mm，不確定度，不確定度為為 0.04mm，則最后結果應寫為：，則最后結果應寫為： L = 18.96 0.04 mm L = 18.956 0.04 mm L = 18.9 0.04 mm 對于對于間接測量，測量結果的有效位間接測量，測量結果的有效位數由絕對偏差數由絕對偏差(或不確定度)決定決定! 例題例題: 測圓柱體積測圓柱體積V V。用最小分度值為用最小分度值為

40、0.02mm的游標卡尺單次測量柱高的游標卡尺單次測量柱高 h=30.24mm，用，用儀儀=0.004mm的螺旋測微計重復測量圓柱的直徑的螺旋測微計重復測量圓柱的直徑D，數據為數據為8.227mm, 8.223mm, 8.228mm, 8.223mm, 8.226mm, 試給出實驗結果的正確表示。試給出實驗結果的正確表示。解解: 1. 求求D的算術平均值與偏差。的算術平均值與偏差。 D(mm) （D- D）(103 mm) （D- D）2(106 mm) 123458.2278.2238.2288.2238.226 1.6-2.4 2.6-2.4 0.6D = 8.2254 （D- D）2 =

41、2.12105 mm2.565.766.765.760.362. 求圓柱體的體積求圓柱體的體積DU求. 3hU求. 4)(././mm011603020 CcuUchh儀儀221)()()CnnDDccuUicDD儀（ )(.).()(.mm325105323004015510122 )mm(9 .160624.302254. 84141322hDV)mm(.%.31107091606 EVUVVU求.5實驗結果：實驗結果：222)()(DUhUEdh %.).().(07010265225481053222430011607232 316073mmVVVU（）%).(%.368070 PE3

42、mm).(1191606 三、實驗數據的處理方法三、實驗數據的處理方法1、列表法、列表法 優點：優點：可以粗略地看出有關量之間的變化規可以粗略地看出有關量之間的變化規律，便于檢查測量結果和運算結果是否合理。律，便于檢查測量結果和運算結果是否合理。 數據列表記錄和處理時，應遵循下列數據列表記錄和處理時，應遵循下列原則原則: (1)在表格的上方寫出在表格的上方寫出表格的標題表格的標題; (2)各欄目均應標注測量量的各欄目均應標注測量量的名稱和單位名稱和單位; (3)列入表中的主要是原始數據。有時，處理過列入表中的主要是原始數據。有時，處理過程中的一些重要的中間運算結果也可列入表中程中的一些重要的中

43、間運算結果也可列入表中; (4)若是有函數關系的測量數據，則應按自變量若是有函數關系的測量數據，則應按自變量由小到或由大到小的順序排列。由小到或由大到小的順序排列。列表法舉例 表1.不同溫度下的金屬電阻值n1234567t/C10.526.038.351.062.875.585.7R/10.42310.89211.20111.58612.02512.34412.670物理量的名稱(符號)和單位有效數字正確 1）各物理量之間的關系和變化規律可由曲線）各物理量之間的關系和變化規律可由曲線直觀地反映出來。直觀地反映出來。 2）在所作曲線上可直接讀出沒有進行測量的）在所作曲線上可直接讀出沒有進行測量的

44、某些數據，在一定條件下還可以從曲線的延伸部分某些數據，在一定條件下還可以從曲線的延伸部分外推讀得測量范圍以外的數值。外推讀得測量范圍以外的數值。 2、作圖法作圖法 a. a. 圖示法圖示法: : 利用曲線表示被測物理量以及它們利用曲線表示被測物理量以及它們之間的變化規律，之間的變化規律，這種方法稱為圖示法。這種方法稱為圖示法。優點：優點：它比用表格表示數據它比用表格表示數據更形象、更直觀。更形象、更直觀。 實驗曲線的作圖程序及注意事項實驗曲線的作圖程序及注意事項 1）選擇種類合適的坐標紙。）選擇種類合適的坐標紙。 2）選取）選取坐標軸坐標軸并標出各軸所代表的并標出各軸所代表的物理量物理量及其單

45、位及其單位，即標明坐標軸的名稱。一般以橫軸代，即標明坐標軸的名稱。一般以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。表自變量，縱軸代表因變量。 3）根據實驗數據的分布范圍確定坐標軸的）根據實驗數據的分布范圍確定坐標軸的起始點起始點(原點原點)與終值。與終值。起始點不一定從零開始起始點不一定從零開始。 4）選取各坐標軸每一小格代表物理量的數）選取各坐標軸每一小格代表物理量的數值。值。在坐標軸上應標出各整數標度在坐標軸上應標出各整數標度。一般來說，。一般來說，一般來說，應該使坐標軸的最小格所代表物理量一般來說，應該使坐標軸的最小格所代表物理量的數值與實驗數據有效數字中最后一位可靠數字的數值與實驗數據有效數字中

46、最后一位可靠數字對應，以保證數據中的有效數字都能在圖上得到對應，以保證數據中的有效數字都能在圖上得到正確的反映，而不至于在作圖過程中降低實驗的正確的反映，而不至于在作圖過程中降低實驗的準確度。準確度。 5）圖的布局要合理圖的布局要合理。 6）根據實驗數據，在圖上用根據實驗數據，在圖上用“ ”或或“+”+”等等符號符號標出各實驗數據點標出各實驗數據點。在繪出曲線后，這些點。在繪出曲線后，這些點仍需保留在圖上，不要擦掉。仍需保留在圖上，不要擦掉。 7）根據實驗點的分布，）根據實驗點的分布，畫出畫出曲線曲線。由。由于各實驗點代表測量得到的數據，具有一定誤差，于各實驗點代表測量得到的數據，具有一定誤差

47、，而實驗曲線具有而實驗曲線具有平均值平均值的含義，所以，曲線并的含義，所以，曲線并不一定通過所有的數據點，不一定通過所有的數據點，而應該而應該使數據點大致使數據點大致均勻地分布在所繪曲線的兩側。均勻地分布在所繪曲線的兩側。 8） 一般在橫軸的下方或圖的其它地方注明一般在橫軸的下方或圖的其它地方注明曲線名稱曲線名稱。 9）要用直尺、曲線尺或曲線板等畫圖，所）要用直尺、曲線尺或曲線板等畫圖，所畫圖線必須光滑、整潔。畫圖線必須光滑、整潔。缺點缺點： 手工繪圖受人為因素影響較大手工繪圖受人為因素影響較大b. b. 圖解法圖解法 利用圖示法得到的測量量之間的關系曲線，利用圖示法得到的測量量之間的關系曲線

48、，求出有物理意義的參數，這一實驗數據的處理方求出有物理意義的參數，這一實驗數據的處理方法稱為圖解法。在物理實驗中遇到最多的圖解法法稱為圖解法。在物理實驗中遇到最多的圖解法的例子是通過圖示的直線關系確定直線的參數的例子是通過圖示的直線關系確定直線的參數-截距和斜率。截距和斜率。（1 1）確定直線圖形的斜率和截距）確定直線圖形的斜率和截距（2）曲線的改直）曲線的改直 作圖法要點總結作圖法要點總結(1) 選紙必須采用坐標紙必須采用坐標紙!(2) 定軸因變量為縱軸因變量為縱軸, ,自變量為橫軸自變量為橫軸軸端標明物理量的符號和單位軸端標明物理量的符號和單位(3) 分度標出坐標軸分度值標出坐標軸分度值(

49、4) 描點 +、 、 、 、用用 等表示數據點等表示數據點(5) 連線應使數據點均勻分布在直線兩應使數據點均勻分布在直線兩側，曲線應光滑化側，曲線應光滑化(6) 求斜率選取的數據點應靠近直線兩端，且不取特殊點電阻電阻R 隨溫度隨溫度 t 變化曲線變化曲線)(R0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.1270012.C)(t(75.0,12.500)B(15.0,10.580)A例題：根據表1求0(1)RRt00.032BABAR

50、RbRtt010.100AARRbt3103.17 10CbR310.100(1 3.17 10)Rt解：在直線上取兩點3. 逐差法逐差法1）用逐差法處理數據的用逐差法處理數據的使用條件：使用條件： （1）測量量之間滿足）測量量之間滿足線性函數關系線性函數關系。有些雖不是線性關系，但經過數學變換可有些雖不是線性關系，但經過數學變換可以化為線性關系。以化為線性關系。 （2）自變量自變量x 的變化的變化是是等間隔等間隔的的 。 （3）測量）測量偶數組數據偶數組數據。計算每加計算每加 1克時彈簧的伸長量。克時彈簧的伸長量。如果：逐項差值如果：逐項差值990989231201LLLLLLLLLLL)(

51、)()()( 可見，只有始末兩次測量值起作用，與一次加可見，只有始末兩次測量值起作用，與一次加9克砝克砝碼的測量完全等價。碼的測量完全等價。2）逐差法的應用）逐差法的應用 以拉伸法測彈簧的倔強系數為例。設實驗中以拉伸法測彈簧的倔強系數為例。設實驗中等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加 1 克），共克），共加加 9 次，分別記下對應的彈簧下端點的位置次，分別記下對應的彈簧下端點的位置9210LLLL,55405491605iiiLLLLLLLLL)()()()(優點：優點： 簡單易懂、運算方便、充分利用了每個數據，簡單易懂、運算方便、充分利用了每個數據，比逐項差值法得到的結果誤差小。比逐項差值法得到的結果誤差小。缺點：缺點： 要求自變量等間隔變化，精度也受到限制。要求自變量等間隔變化，精度也受到限制。用用逐差法逐差法：將等間隔測量的偶數組數據值分成兩組將等間隔測量的偶數組數據值分成兩組43210LLLLL,：98765LLLLL,iGi（kg）xi（cm）xi=xi+5 -