1、函數(shù)的凸性與拐PPT課件5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的凸性與拐PPT課件定義定義1.)1(),()1()()1()1 , 0(,212121上上的的凸凸函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱總總有有和和任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)兩兩點(diǎn)點(diǎn)上上的的任任意意若若對(duì)對(duì)上上的的函函數(shù)數(shù)為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)IfxfxfxxfxxIIf .)1(),()1()()1(,2121上上的的凹凹函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱若若有有反反之之Ifxfxfxxf .,)2(),1(數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格凸凸函函數(shù)數(shù)和和嚴(yán)嚴(yán)格格凹凹函函則則相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)稱稱為為不不等等式式改改為為嚴(yán)嚴(yán)格格不不等等式式函數(shù)的凸性與拐PPT課件xyOxyOBA

2、C1xx2xA1xCBx2x凸函數(shù)凸函數(shù))(a凹函數(shù)凹函數(shù))(b.)1(),(),(,)1(,2121BACxfBxfAxxx 其其中中.,上上的的凹凹函函數(shù)數(shù)為為區(qū)區(qū)間間則則上上的的凸凸函函數(shù)數(shù)為為區(qū)區(qū)間間若若IfIf 注意注意:函數(shù)的凸性與拐PPT課件引理引理:)3(.)()()()(,:23231212321xxxfxfxxxfxfxxxIIf 總總有有任任意意三三點(diǎn)點(diǎn)上上的的對(duì)對(duì)于于是是上上的的凸凸函函數(shù)數(shù)的的充充要要條條件件為為)4.()()()()()()(,:232313131212321xxxfxfxxxfxfxxxfxfxxxIIf 總總有有上上的的任任意意三三點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于是

3、是上上的的凹凹函函數(shù)數(shù)的的充充要要條條件件為為函數(shù)的凸性與拐PPT課件定理定理6.13)5().)()()(,3;2;1:,1211221xxxfxfxfxxIIfIfIf 總總有有上上的的任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)上上的的增增函函數(shù)數(shù)為為上上凸凸函函數(shù)數(shù)為為則則下下述述論論斷斷等等價(jià)價(jià)上上的的可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)注意注意:.).()(:3也也是是凸凸函函數(shù)數(shù)的的幾幾何何特特征征如如圖圖任任一一切切線線的的上上方方總總在在它它的的曲曲線線的的幾幾何何意意義義是是論論斷斷xfy xyO)(xfy )()(000 xxxfxfy 0 x函數(shù)的凸性與拐PPT課件定理定理6.14.),0)(0)(:)(

4、,IxxfxffIIf 函函數(shù)數(shù)的的充充要要條條件件是是凹凹凸凸為為上上則則在在上上的的二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)詹森詹森(Jensen)不等式不等式)6().()(, 1), 2 , 1(0,111iniiiniiniiiixfxfnibaxbaf 有有則則對(duì)對(duì)任任意意上上凸凸函函數(shù)數(shù)為為若若函數(shù)的凸性與拐PPT課件例例1解解:函數(shù)的凸性與拐PPT課件例例2. 0)(,)(),(,)(),(000 xffxfbaxbaf即即的的穩(wěn)穩(wěn)定定點(diǎn)點(diǎn)為為充充要要條條件件是是值值點(diǎn)點(diǎn)的的大大的的極極小小為為則則函函數(shù)數(shù)凹凹凸凸內(nèi)內(nèi)的的可可導(dǎo)導(dǎo)的的為為定定義義在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)證證:.為為

5、凸凸函函數(shù)數(shù)的的情情形形證證f.,下下證證充充分分性性必必要要性性由由費(fèi)費(fèi)馬馬定定理理得得到到).)()()(),(),(,13. 600000 xxxfxfxfxxxba 一一起起有有它它與與內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)任任取取由由定定理理).(),()()(),(, 0)(000而而且且為為最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)在在為為即即有有故故對(duì)對(duì)任任何何因因?yàn)闉閎afxxfxfbaxxf 函數(shù)的凸性與拐PPT課件例例3.,)(3均均為為正正數(shù)數(shù)其其中中證證明明不不等等式式cbacbaabccbacba 證證:. 0,ln)( xxxxf設(shè)設(shè).0ln)(1)(, 1ln)()(時(shí)時(shí)為為嚴(yán)嚴(yán)格格凸凸函

6、函數(shù)數(shù)在在得得的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)由由 xxxxfxxfxxfxf),()()(31)3(cfbfafcbaf 由由詹詹森森不不等等式式有有函數(shù)的凸性與拐PPT課件),lnlnln(313ln3ccbbaacbacba 從從而而,)3(cbacbacbacba 即即所所以以又又因因,33cbaabc .)(3cbacbacbaabc 函數(shù)的凸性與拐PPT課件例例4.,)(0都都存存在在左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)在在證證明明函函數(shù)數(shù)凹凹內(nèi)內(nèi)的的凸凸為為開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)xIfIf證證:.0存存在在右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在下下證證凸凸函函數(shù)數(shù)xf.)()()()()4().,(,0

7、202010102022010021hxfhxfhxfhxfIhxhhxhxxhh 式式得得由由引引理理使使取取充充分分小小得得這這里里則則對(duì)對(duì)設(shè)設(shè).)()()(00為為增增函函數(shù)數(shù)故故由由上上式式可可見(jiàn)見(jiàn)令令FhxfhxfhF 函數(shù)的凸性與拐PPT課件).()()()()(, 0,000000hFhxfhxfxxxfxfIhxhxxIx 有有只只要要?jiǎng)t則對(duì)對(duì)任任何何且且任任取取.)(,)(10. 3.0)(,0存存在在即即存存在在極極限限由由定定理理有有下下界界上上在在因因而而函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)由由于于上上式式左左端端是是一一個(gè)個(gè)定定xfhFhhF .為為凹凹函函數(shù)數(shù)的的情情形形和和同同理理可可證

8、證也也存存在在左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)f函數(shù)的凸性與拐PPT課件定義定義1.)()(,(,.)(,()(0000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲線線這這時(shí)時(shí)稱稱點(diǎn)點(diǎn)的的分分別別是是嚴(yán)嚴(yán)格格凸凸和和嚴(yán)嚴(yán)格格凹凹曲曲線線的的切切線線的的兩兩側(cè)側(cè)且且在在切切點(diǎn)點(diǎn)近近旁旁曲曲線線的的切切線線處處有有穿穿過(guò)過(guò)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)曲曲線線xfyxfxxfxxfy .M如如圖圖中中分分界界點(diǎn)點(diǎn)拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是凸凸和和凹凹曲曲線線的的xyO0 xM函數(shù)的凸性與拐PPT課件定理定理6.15. 0)()()(,(,0000 xfxfyxfxxf的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的必必要要條條件件是是為為曲曲線線則則二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若定理定理6.16.)()(,(,)()()(,)(,000000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲線