1、1第八章 專題拓展8.1 觀察歸納型中考數學中考數學 (廣東專用)2一、選擇題好題精練1.(2016重慶,10,4分)下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規律所組成的,其中第個圖形中一共有4個小圓圈,第個圖形中一共有10個小圓圈,第個圖形中一共有19個小圓圈,按此規律排列下去,第個圖形中小圓圈的個數為()A.64B.77C.80D.853答案答案D通過觀察,第個圖形中小圓圈的個數為+12=4,第個圖形中小圓圈的個數為+22=10,第個圖形中小圓圈的個數為+32=19,第個圖形中小圓圈的個數為+42=31,以此類推,第個圖形中小圓圈的個數為+n2,當n=7時,+72=85,故第個圖形中小圓圈的個

2、數為85.故選D.(12)22(1 3) 32(14)42(1 5) 52(2)(1)2nn(72) (7 1)242.(2015內蒙古包頭,10,3分)觀察下列各數:1,.按你發現的規律計算這列數的第6個數為()A.B.C.D.4397161525313635476263答案答案C由這列數的特點可知,第n(n1,且n為正整數)個數的分母是第(n-1)個數分母的2倍加1,分子為n2,所以第5個數為=,第6個數為=.故選C.2515 2 125312631 2 136634753.(2015河南,8,3分)如圖所示,在平面直角坐標系中,半徑均為1個單位長度的半圓O1,O2,O3,組成一條平滑的曲

3、線.點P從原點O出發,沿這條曲線向右運動,速度為每秒個單位長度,則第2015秒時,點P的坐標是()A.(2014,0)B.(2015,-1)C.(2015,1)D.(2016,0)26答案答案B半圓的半徑r=1,一個半圓的弧長=,又每兩個半圓為一個循環,一個循環內點P運動的路程為2.2=5033,點P位于第504個循環的第二個半圓弧的中點位置(即第1008個半圓弧的中點),此時點P的橫坐標為5034+3=2015,縱坐標為-1,第2015秒時,點P(2015,-1).故選B.2015274.(2017貴州黔東南,10,3)我國古代數學的許多創新和發展都位居世界前列,如南宋數學家楊輝(約13世紀

4、)所著的詳解九章算術一書中,用如圖的三角形解釋二項和(a+b)n的展開式的各項系數,此三角形稱為“楊輝三角”.根據“楊輝三角”請計算(a+b)20的展開式中第三項的系數為()A.2017B.2016C.191D.1908答案答案D找規律發現(a+b)3的展開式中第三項的系數為3=1+2;(a+b)4的展開式中第三項的系數為6=1+2+3;(a+b)5的展開式中第三項的系數為10=1+2+3+4;不難發現(a+b)n的展開式中第三項的系數為1+2+3+(n-2)+(n-1),(a+b)20的展開式中第三項的系數為1+2+3+19=190,故選D.95.(2017重慶A卷,10,4分)下列圖形都是

5、由同樣大小的菱形按照一定規律所組成的,其中第個圖形中一共有3個菱形,第個圖形中一共有7個菱形,第個圖形中一共有13個菱形,按此規律排列下去,第個圖形中菱形的個數為()A.73B.81C.91D.10910答案答案C第個圖形中有12+2個菱形,第個圖形中有22+3個菱形,第個圖形中有32+4個菱形,第個圖形中有92+10個菱形,92+10=81+10=91,故選C.11二、填空題6.(2016綏化,19,3分)古希臘數學家把數1,3,6,10,15,21,叫做三角數,它有一定的規律性.若把第一個三角數記為a1,第二個三角數記為a2,第n個三角數記為an,計算a1+a2,a2+a3,a3+a4,由

6、此推算a399+a400=.答案答案160000解析解析a1+a2=1+3=4=22,a2+a3=3+6=9=32,a3+a4=6+10=16=42,an+=(n+1)2,a399+a400=4002=160000.1na127.(2016山東威海,18,3分)如圖,點A1的坐標為(1,0),A2在y軸的正半軸上,且A1A2O=30.過點A2作A2A3A1A2,垂足為A2,交x軸于點A3;過點A3作A3A4A2A3,垂足為A3,交y軸于點A4;過點A4作A4A5A3A4,垂足為A4,交x軸于點A5;過點A5作A5A6A4A5,垂足為A5,交y軸于點A6;,按此規律進行下去,則點A2016的縱坐

7、標為.13答案答案-()20153解析解析A1(1,0),A2(0,()1),A3(-()2,0),A4(0,-()3),A5()4,0),A4n在y軸負半軸上,A4n+1在x軸的正半軸上,A4n+2在y軸的正半軸上,A4n+3在x軸的負半軸上,OAn=()n-1,其中n為正整數,20164=504,A2016在y軸的負半軸上,縱坐標為,故答案為-()2015.333332015( 3)3148.(2015河北,20,3分)如圖,BOC=9,點A在OB上,且OA=1.按下列要求畫圖:以A為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點A1,得第1條線段AA1;再以A1為圓心,1為半徑向右畫弧交OB于點A2,

8、得第2條線段A1A2;再以A2為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點A3,得第3條線段A2A3;這樣畫下去,直到得第n條線段,之后就不能再畫出符合要求的線段了,則n=.15答案答案9解析解析由題意可知:AO=A1A,A1A=A2A1,則AOA1=OA1A,A1AA2=A1A2A,BOC=9,A1AB=29=18,A2A1C=27,A3A2B=36,A4A3C=45,9(n+1)=90,解得n=9.169.(2017東營,18,4分)如圖,在平面直角坐標系中,直線l:y=x-與x軸交于點B1,以OB1為邊長作等邊三角形A1OB1,過點A1作A1B2平行于x軸,交直線l于點B2,以A1B2為邊長作等邊

9、三角形A2A1B2,過點A2作A2B3平行于x軸,交直線l于點B3,以A2B3為邊長作等邊三角形A3A2B3,則點A2017的橫坐標是.333317答案答案2017212解析解析設直線l與y軸交于點D.由直線l:y=x-與x軸交于點B1,可得B1(1,0),D,OB1=1,OB1D=30.如圖,過A1作A1AOB1于A,則OA=OB1=,即A1的橫坐標為=.由題可得A1B2B1=OB1D=30,B2A1B1=A1B1O=60,A1B1B2=90,A1B2=2A1B1=2.過A2作A2BA1B2于B,則A1B=A1B2=1,即A2的橫坐標為+1=.過A3作A3CA2B3于C,同理可得,A2B3=

10、2A2B2=4,A2C=A2B3=2,333330,3121212121212123222121218即A3的橫坐標為+1+2=.同理可得,A4的橫坐標為+1+2+4=,由此可得,An的橫坐標為,點A2017的橫坐標為.12723212121524212212n20172121910.(2014北京,12,4分)在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y),我們把點P(-y+1,x+1)叫做點P的伴隨點.已知點A1的伴隨點為A2,點A2的伴隨點為A3,點A3的伴隨點為A4,這樣依次得到點A1,A2,A3,An,.若點A1的坐標為(3,1),則點A3的坐標為,點A2014的坐標為;若點A1的坐標

11、為(a,b),對于任意的正整數n,點An均在x軸上方,則a,b應滿足的條件為.20答案答案(-3,1);(0,4);-1a1,0b2解析解析由題意可知,點A2的坐標為(0,4),點A3的坐標為(-3,1),點A4的坐標為(0,-2),點A5的坐標為(3,1),所以每四個點坐標為一個循環.20144=5032,點A2014的坐標與點A2的坐標一致,為(0,4).因為每四個點坐標為一個循環,所以要求a,b應滿足的條件,只需要知道前4個點的坐標即可.點A1的坐標為(a,b),點A2、A3、A4的坐標依次為(-b+1,a+1)、(-a,-b+2)、(b-1,-a+1).點An均在x軸上方,-1a1,0

12、b2.0,10,20,10,baba 21三、解答題11.(2018安徽,18,8分)觀察以下等式:第1個等式:+=1,第2個等式:+=1,第3個等式:+=1,第4個等式:+=1,第5個等式:+=1,按照以上規律,解決下列問題:(1)寫出第6個等式:;(2)寫出你猜想的第n個等式:(用含n的等式表示),并證明.110211021213121313241324143514351546154622解析解析(1)+=1.(2分)(2)+=1.(4分)證明:左邊=1=右邊.(8分)165716571n11nn1n11nn1(1)(1)(1)nn nnn n 2(1)nnn n(1)(1)n nn n思

13、路分析思路分析(1)分析給出的5個等式發現,等式左邊是三個分數的和,第1個分數的分子都是1,分母與等式的序號相同;第2個分數的分子比等式的序號小1,而分母比等式的序號大1;第3個分數正好是前兩個分數的乘積,等式的右邊均為1.據此可寫出第6個等式.(2)根據(1)中發現的規律可寫出第n個等式,并根據分式的運算進行證明.2312.(2017安徽,19,10分)【閱讀理解】我們知道,1+2+3+n=,那么12+22+32+n2結果等于多少呢?在圖1所示三角形數陣中,第1行圓圈中的數為1,即12;第2行兩個圓圈中數的和為2+2,即22;第n行n個圓圈中數的和為,即n2.這樣,該三角形數陣中共有個圓圈,

14、所有圓圈中數的和為12+22+32+n2.(1)2n nnnnnn個(1)2n n24圖1【規律探究】將三角形數陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數陣,觀察這三個三角形數陣各行同一位置圓圈中的數(如第n-1行的第一個圓圈中的數分別為n-1,2,n),發現每個位置上三個圓圈中數的和均為.由此可得,這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和為:3(12+22+32+n2)=.因此,12+22+32+n2=.圖2【解決問題】根據以上發現,計算的結果為.222212320171232017 25解析解析【規律探究】2n+1;.【解決問題】1345.(前兩空各3分,后兩空各2分)(10分)(1)(21)2n nn(1)(21)6n nn思路分析思路分析第一個空只需將n-1,2,n相加即可;因為每個三角形數陣中共有個圓圈,而每個位置上三個