1、第五節第五節 對面積的曲面積分對面積的曲面積分二、對面積曲面積分的計算法二、對面積曲面積分的計算法一、曲面面積一、曲面面積（第十章（第十章 第四節）第四節）g 表示的幾種表示的幾種幾何形體以及其上的積分幾何形體以及其上的積分：d閉區間閉區間a,bl(平面有界平面有界 閉區域閉區域)（平面有限平面有限 曲線段）曲線段）（有限曲（有限曲 面片）面片）( (空間有界空間有界 閉區域閉區域) )( (空間有限空間有限 曲線段曲線段) )二重積分二重積分三重積分三重積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分幾何形體上的積分幾何形體上的積分 gfp dg ,;dfx y d ,

2、,fx y z dv ,;lfx y ds , ,fx y z ds 重積分重積分對弧長的（第一類）曲線積分對弧長的（第一類）曲線積分對面積的（第一類）曲面積分對面積的（第一類）曲面積分( , , )f x y z ds 當幾何形體當幾何形體g為一光滑曲面為一光滑曲面 時時,相應相應的積分的積分 ( , , )f x y z ds 曲面面積元素曲面面積元素積分曲面積分曲面 , ,fx y z 就就是是函函數數在在曲曲面面 上上的的對面積的曲面積分對面積的曲面積分( (或或第一類曲面積分第一類曲面積分) )若積分曲面是封閉的，則相應的曲面積分若積分曲面是封閉的，則相應的曲面積分記為記為( , ,

3、 )f x y z ds ( , , )f x y z ds 計算對面積的曲面積分計算對面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分 , ,x y z 在在 上上變變化化？曲面曲面面積元素面積元素設設有有界界閉閉曲曲面面xydxoy 為為 在在面面上上投投影影區區域域， ,xyz x yd在在上上偏偏導導數數連連續續. .對應的投影區域為對應的投影區域為,d ,ds 在在 上上任任取取小小曲曲面面塊塊m xyzoxydds一、曲面的面積一、曲面的面積 d),(yx :,xyzz x yx yd ，( , , ( , ),m x y z x yds為為上上任任一一點點( , , ( , ).tdsm

4、 x y z x y為為上上過過的的切切平平面面z 以以邊邊界界為為準準線線，母母線線平平行行于于 軸軸的的( , )zz x y d),(yxmdsxyz to tda截截切切平平面面為為， .dsda 曲面塊曲面塊切平面塊切平面塊ds 小小柱柱面面截截曲曲面面 為為；da()dsdaxoy 與與在在面面上上的的投投影影均均為為當當 很小時，很小時， 則有則有 的的面積元素面積元素： ,ddaxoy 為為在在面面上上的的投投影影cos ,dda221cos,1xyzz 221xydszz d a n z 221xydazz d 切平切平(曲曲)面的法向量面的法向量(,1),xynff (02

5、 ）dsda sds 221xydszz d 的的面積元素面積元素： 曲面曲面 的面積公式為：的面積公式為： 221xyxydzzd 計算對面積的曲面積分計算對面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分 , ,x y z 在在 上上變變化化( , , )f x y z ds ？ ,zz x y 221xydszz d xyxoyd 向向面面投投影影曲面積分元素為曲面積分元素為對面積的曲面積分的計算公式為對面積的曲面積分的計算公式為化為二重積分化為二重積分 22, , ,1xyxydfx y z dsfx y z x yzz d 221,xydszx yzx y d :,zz x y 如果曲面如果

6、曲面 的方程由的方程由 x=x(y,z) 或或 y=y(x,z)給出，也可類似地把對面積的曲面積分化給出，也可類似地把對面積的曲面積分化為為yoz面或面或xoz面上的二重積分面上的二重積分。 22, , ,1yzyzdfx y z dsfx y zy zxx d 22, ,1xzxzdf x y z dsfx y x zzyy d :,xx y z :,yy x z22221dsxyzaz 計計算算，其其中中 ：hoxyzaaaxyd例例1 1被平面被平面 截出的頂部截出的頂部. . , 0zhha曲面面積元素曲面面積元素它在它在xoy面上的投影區域面上的投影區域222zaxy的的方方程程為為

7、解解2222:xydxyah222221xyadszz ddaxyoxyzaaahxyd222adsdaxy 的面積元素=22222211xydadsdzaxyaxy 222xydadxdyaxy 2222200ahadda 22dad da 2lnaah 2222:xydxyah222:,zaxyxyz111oxyd,xyzds 計計算算其其中中 是是三三個個坐坐標標面面和和1xyz平平面面圍圍成成的的四四面面體體的的整整個個邊邊界界曲曲面面. .例例2解解 邊界曲面邊界曲面 由四塊組成：由四塊組成：1234 它們的表達式分別是它們的表達式分別是1200:,:,xy1 3 2 4 3401:

8、,:zxyz于是于是1234xyzdsxyzds 由于在由于在 , ,0fx y zxyz所以所以30:z 上上, ,1230 xyzds 10:,x20:,yxyz111oxyd1 3 2 4 圍成的三角形圍成的三角形.41,zxy在在上上：2213xydszz dd4又又 在在xoy面上的投影區域面上的投影區域xyd001,xyxy是由是由xyz111oxyd4 1xy10 ,10: xxydxy4xyzdsxyzds 110031xxdxyxy dy 1231003123xyyxxdx 3101336120 xxdx 2213xydszz dd41,zxy在在上上：0101:,xydyx

9、x 13xydxyxyd 例例3 計算計算 ，其中，其中 為圓柱面為圓柱面 介于平面介于平面 z =0 和和 z =h(h0)yzd222dsxyz 這樣就需投影到這樣就需投影到yoz面上面上，解解 由于由于 不能表示成不能表示成 z=z(x,y) 的形式的形式,且在第一卦限的部分且在第一卦限的部分. 22xry現寫成現寫成xyzohr投影區域投影區域 為矩形為矩形:yzdhzry 0 ,0222ryx 又又有有于是于是0,22 zyxyryx22221yzrdsxx ddydzry 22: xry22222221yzddsrdydzxyzrzry 2222001rhrdydzrzry 022

10、01arctanrhrzdyrrry 2201arctanrhdyrry 而而所以所以2201rdyry 2arcsinlim11 rrrr222arctan.2dshxyzr 瑕積分瑕積分1112201lim()rrrdy rrry 小小 結結計算對面積的曲面積分計算對面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分1.1.把積分曲面把積分曲面 代入代入被積函數；被積函數； 2.2.根據積分曲面根據積分曲面 的不同的表示形式，的不同的表示形式，求出曲面面積元素求出曲面面積元素. . 3. 3. 將將 向相應的坐標面向相應的坐標面投影投影，得到二重，得到二重積分的積分的積分區域積分區域. . ( , , )f x y z ds ,zz x y 代代入入221xydszz d xyxoyd 向向面面投投影影 :,zz x y若若 22, , ,1xyxydf x y z dsf x y z x yzz d 22, , ,1yzyzdf x y z dsf x y zy z