1、2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.4 正態分布正態分布2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)X01P1-pp111nnC p q0nnnC p q00nnC p qkkn knC p qX01knP0nMN MnNC CC11nMN MnNC CCkn kMN MnNC CC0nMN MnNC CCX01knP2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)復習與思考1.由函數由函數 及直線及直線 圍成的曲邊梯形的面積圍成的曲邊梯形的面積S=_； ( )baf x dxxyOab( ),0yf xxa xb y 2. 在我班同學身高在我

2、班同學身高頻率分布直方圖頻率分布直方圖中中區間（區間（a,b）對應的圖形的面積表示）對應的圖形的面積表示_， 在頻率分布直方圖中，在頻率分布直方圖中，所有小矩形的面積的和所有小矩形的面積的和為為_1 身高在區間身高在區間(a,b) 內取值的頻率內取值的頻率a b2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.4225.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.4325.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.3

3、625.38 25.31 25.43 25.40 25.38 25.37 25.4425.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.3725.35 25.32 25.45 25.40 25.43 25.54 25.3925.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.3725.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.4625.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.3225.38 25.42 25.40 25.33 25.37

4、 25.41 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.4025.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.3925.42 25.47 25.38 25.39 某鋼鐵加工廠生產內徑為某鋼鐵加工廠生產內徑為25.40mm25.40mm的鋼管的鋼管, ,為了為了檢驗產品的質量檢驗產品的質量, ,從一批產品中任取從一批產品中任取100100件檢測件檢測, ,測測得它們的實際尺寸如下得它們的實際尺寸如下: :( (一一) )創設情境創設情境1 12.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-

5、3)2-3)列出頻率分布表列出頻率分布表 分組分組頻數頻數頻率頻率累積頻率累積頻率頻率頻率/組距組距25.23525.26510.010.010.000925.26525.29520.020.030.001825.29525.32550.050.080.004525. 32525.355120.120.200.010925.35525.385180.180.380.016425.38525.415250.250.630.022725.41525.445160.160.790.014525.44525.475130.130.920.011825.47525.50540.040.960.00362

6、5.50525.53520.020.980.001825.53525.56520.021.000.0018合計合計1001.002.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)100件產品尺寸的頻率分布直方圖25.23525.29525.35525.41525.47525.535產品內徑尺寸產品內徑尺寸/ /mm頻率頻率組距組距25.26525.32525.38525.44525.50525.565o2468頻率分布直方圖頻率分布直方圖2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)xy0 頻數組距200件產品尺寸的頻率分布直方圖2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2

7、-3)2-3)產品內徑尺寸產品內徑尺寸/ /mm頻率頻率組距組距o2468樣本容量增大時樣本容量增大時頻率分布直方圖頻率分布直方圖正態曲線 可以看出可以看出, ,當樣本容量無限大當樣本容量無限大, ,分組的組距分組的組距無限縮小時無限縮小時, ,這個頻率直方圖上面的折線就會無這個頻率直方圖上面的折線就會無限接近于一條光滑曲線限接近于一條光滑曲線-正態曲線正態曲線. .2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)引入引入 正態分布在統計學中是很重要的分布。我們知正態分布在統計學中是很重要的分布。我們知道，離散型隨機變量最多取可列個不同值，它等于道，離散型隨機變量最多取可列個不同值，

8、它等于某一特定實數的概率可能大于某一特定實數的概率可能大于0，人們感興趣的是，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續型隨機變量可能取某個區間上的任何值，它等連續型隨機變量可能取某個區間上的任何值，它等于任何一個實數的概率都為于任何一個實數的概率都為0，所以通常感興趣的，所以通常感興趣的是它落在某個區間的概率。是它落在某個區間的概率。離散型隨機變量的概率離散型隨機變量的概率分布規律用分布列描述，而連續型隨機變量的概率分布規律用分布列描述，而連續型隨機變量的概率分布規律用密度函數（曲線）描述。分布規律用密度函數（曲線）描述。2.4

9、2.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)14.2圖圖.,.,.14.2?的的某某一一球球槽槽內內最最后后掉掉入入高高爾爾頓頓板板下下方方與與層層層層小小木木塊塊碰碰撞撞程程中中小小球球在在下下落落過過通通道道口口落落下下上上方方的的讓讓一一個個小小球球從從高高爾爾頓頓板板前前面面擋擋有有一一塊塊玻玻璃璃隙隙作作為為通通道道空空小小木木塊塊之之間間留留有有適適當當的的木木塊塊形形小小柱柱互互平平行行但但相相互互錯錯開開的的圓圓排排相相在在一一塊塊木木板板上上釘釘上上若若干干圖圖板板示示意意所所示示的的就就是是一一塊塊高高爾爾頓頓圖圖你你見見過過高高爾爾頓頓板板嗎嗎?.,.,球槽的個數

10、多少球槽的個數多少球掉入各球掉入各槽的堆積高度反映了小槽的堆積高度反映了小各個球各個球會越來越高會越來越高堆積的高度也堆積的高度也越來越多越來越多數就數就各個球槽內的小球的個各個球槽內的小球的個掉入掉入隨著試驗次數的增加隨著試驗次數的增加重復進行高爾頓板試驗重復進行高爾頓板試驗中中第幾號球槽第幾號球槽就可以考察到底是落在就可以考察到底是落在如果把球槽編號如果把球槽編號2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3

11、)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3).34.2,圖圖線線會會越越來來越越像像一一條條鐘鐘形形曲曲這這個個頻頻率率直直方方圖圖的的形形狀狀隨隨著著重重復復次次數數的的增增加加:)(下下列列函函數數的的圖圖象象或或近近似似地地這這條條曲曲線線就就是是 ,x,e21x222x, .,x.0,簡簡稱稱圖圖象象為為的的我我們們稱稱為為參參數數和和其其中中實實數數正正態態分分布布密密度度曲曲線線正正態態曲曲線線34.2圖圖Oxy2.42.4正態分布正態分布( (選修選

12、修2-3)2-3)xyo44.2圖圖 dxxbXaPb, aX.X,1X,ba,的概率為的概率為落在區間落在區間個隨機變量個隨機變量是一是一則則接觸時的坐標接觸時的坐標次與高爾頓板底部次與高爾頓板底部球第球第表示落下的小表示落下的小用用寬度寬度其刻度單位為球槽的其刻度單位為球槽的軸軸底部建立一個水平坐標底部建立一個水平坐標并沿其并沿其中最下邊的球槽中最下邊的球槽如果去掉高爾頓板試驗如果去掉高爾頓板試驗.b, aX),44.2(x,x0 , b0 , a,的的概概率率的的近近似似值值落落在在區區間間就就是是分分的的面面積積中中陰陰影影部部圖圖面面積積軸軸所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的及及軸

13、軸的的垂垂線線的的兩兩條條和和點點過過點點即即由由正正態態曲曲線線2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3) ., NX,X., N,).ondistributinormal(X,dxxbXaPX, ba,22ba,為為則則記記服服從從正正態態分分布布如如果果隨隨機機變變量量記記作作因因此此正正態態分分布布常常確確定定和和態態分分布布完完全全由由參參數數正正的的分分布布為為則則稱稱滿滿足足隨隨機機變變量量如如果果對對于于任任何何實實數數一一般般地地正正態態分分布布 .,;,計計可可以以用用樣樣本本標標準準差差去去估估小小的的特特征征數數動動大大是是衡衡量量隨隨機機變變量量總總體

14、體波波用用樣樣本本均均值值去去估估計計可可以以平平的的特特征征數數是是反反映映隨隨機機變變量量取取值值水水參參數數2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)221(1)( ),(,)2xxex 2(1)81(2)( ),(,)2 2xxex 例例1 1給出下列兩個正態總體的函數表達式，請找出給出下列兩個正態總體的函數表達式，請找出其均值其均值m m和標準差和標準差s s 說明：當說明：當m m0 , 0 , s s 11時，時，X 服從標準正態分布服從標準正態分布記為記為XN (0 , 1)m m0 , 0 , s s 11m m1 , 1 , s s 22變式訓練變式訓練1

15、1若一個正態分布的密度函數是一個偶函數且該函數與若一個正態分布的密度函數是一個偶函數且該函數與y軸交于點軸交于點 ，求該函數的解析式。，求該函數的解析式。 1(0,)4 22321( ),(,)4 2xxex 2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)例例2、下列函數是正態密度函數的是（、下列函數是正態密度函數的是（ ） A. B. C. D.22()21( ), ,(0)2xf xemsm s ss都是實數222( )2xf xe2(1)41( )2 2xf xe221( )2xf xeB2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3).,X1,.,布布所所以以它它

16、近近似似服服從從正正態態分分果果撞撞的的結結是是眾眾多多隨隨機機碰碰底底部部接接觸觸時時的的坐坐標標次次與與高高爾爾頓頓板板因因此此小小球球第第向向左左或或向向右右下下落落球球隨隨機機地地每每次次碰碰撞撞的的結結果果使使得得小小木木板板碰碰撞撞多多小小小小球球下下落落過過程程中中要要與與眾眾驗驗中中爾爾頓頓板板試試例例如如高高態態分分布布它它就就服服從從或或近近似似服服從從正正之之和和然然因因素素作作用用結結果果次次的的偶偶不不相相干干的的、不不分分主主多多的的、互互一一個個隨隨機機變變量量如如果果是是眾眾經經驗驗表表明明2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3) 在實際遇到的

17、許多隨機現象都服從或近似服從正態分布：在實際遇到的許多隨機現象都服從或近似服從正態分布：在生產中在生產中，在正常生產條件下各種產品的質量指標；在正常生產條件下各種產品的質量指標； 在測量中在測量中，測量結果；測量結果； 在生物學中在生物學中，同一群體的某一特征；同一群體的某一特征； 在氣象中在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位； 總之，正態分布廣泛存在于自然界、生總之，正態分布廣泛存在于自然界、生產及科學技術的許多領域中。產及科學技術的許多領域中。正態分布在概率和統計中占有重要地位。正態分布在概率

18、和統計中占有重要地位。2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)正態曲線的特點正態曲線的特點正態曲線正態曲線.gspxyO（1 1）曲線在）曲線在x軸的上方，與軸的上方，與x軸不相交軸不相交. .（2）曲線是單峰的）曲線是單峰的,它關于直線它關于直線x=m m對稱對稱.（4）曲線與）曲線與x軸之間的面積為軸之間的面積為1（3）曲線在）曲線在x=處達到峰值處達到峰值(最高點最高點)1 1 22x=m m曲線的位置、對稱性、最高點、與曲線的位置、對稱性、最高點、與x軸圍成的面積軸圍成的面積2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)0.512O =-1 0 1O正態曲

19、線的特點正態曲線的特點（6）當）當一定時，曲線的形狀由一定時，曲線的形狀由確定確定 .越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越分散；，表示總體的分布越分散；越小，曲線越越小，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越集中，表示總體的分布越集中.2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)例例3 3 關于正態曲線性質的敘述：關于正態曲線性質的敘述：(1)(1)曲線關于直線曲線關于直線x = =m m 對稱，整條曲線在對稱，整條曲線在x軸的上方；軸的上方；(2)(2)曲線對應的正態總體概率密度函數是偶函數；曲線對應的正態總體概率密度函數是偶函數；(3)(3)曲線在曲線在x處處

20、于最高點，由這一點向左右兩側延處處于最高點，由這一點向左右兩側延伸時，曲線逐漸降低；伸時，曲線逐漸降低；(4)(4)曲線的對稱位置由曲線的對稱位置由確定，曲線的形狀由確定，曲線的形狀由確定，確定，越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，反之，曲線越，反之，曲線越“瘦高瘦高”. . 上述敘述中，正確的有上述敘述中，正確的有 . . 例題探究例題探究(1) (3) (4)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)課堂練習2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)正態總體正態總體的函數表示式的函數表示式當= 0，=1時222)(21)(smsxexf),(x2221)(

21、xexf標準正態總體標準正態總體的函數表示式的函數表示式),(x012-1-2xy-33=0=1標準正態曲線2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)21, 0(s（，（，+）（1）當 = 時,函數值為最大.(3) 的圖象關于 對稱.（2） 的值域為 （4）當 時 為增函數.當 時 為減函數.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33=0=1標準正態曲線標準正態曲線正態總體正態總體的函數表示式的函數表示式222)(21)(smsxexf),(x =x2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3) 例例3、標準正態總體的函數為、標準正態總體的函數為

22、（1）證明）證明f(x)是偶函數；是偶函數；（2）求）求f(x)的最大值；的最大值；（3）利用指數函數的性質說明）利用指數函數的性質說明f(x)的增減性。的增減性。221( ),(,).2xf xex 2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)特特別別有有周周圍圍概概率率越越大大集集中中在在即即的的概概率率越越大大落落在在區區間間越越小小這這說說明明的的減減少少而而變變大大該該面面積積隨隨著著而而言言和和對對于于固固定定的的中中陰陰影影部部分分的的面面積積為為圖圖.X,a, a(X,.,a,64.2,6826.0XP,9544.02X2P,9974.03X3Paa64.2圖圖表

23、示表示上述結果可用圖上述結果可用圖74.224674.2圖圖%26.68%44.95%74.992.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3).,0026.0.3, 3,可可能能發發生生況況在在一一次次試試驗驗中中幾幾乎乎不不通通常常認認為為這這種種情情值值的的概概率率只只有有而而在在此此區區間間以以外外取取之之內內區區間間正正態態總總體體幾幾乎乎總總取取值值于于可可以以看看到到.3,)3,3(X, N,2原則原則并簡稱之為并簡稱之為之間的值之間的值只取只取的隨機變量的隨機變量布布通常認為服從于正態分通常認為服從于正態分在實際應用中在實際應用中2.42.4正態分布正態分布( (選修

24、選修2-3)2-3)例例4.4.在某次數學考試中在某次數學考試中, ,考生的成績考生的成績X X服從正態服從正態分布分布X XN(90,100).(1)N(90,100).(1)求考試成績求考試成績X X位于區間位于區間(70,110)(70,110)上的概率是多少上的概率是多少?(2)?(2)若此次考試共有若此次考試共有20002000名考生名考生, ,試估計考試成績在試估計考試成績在(80,100)(80,100)間的間的考生大約有多少人考生大約有多少人? ?解解: :依題意依題意,X,XN(90,100),N(90,100),90,10.m ms s (70110)PX (22 )0.9

25、544.PXm ms sm ms s (80100)PX ()0.6826.PXm m s sm m s s 即考試成績在即考試成績在(80,100)(80,100)間的概率為間的概率為0.6826.0.6826.考試成績在考試成績在(80,100)(80,100)間的考生大約有間的考生大約有2000 0.68261365. 2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2、已知、已知XN (0,1)，則，則X在區間在區間 內取值的概率內取值的概率等于（等于（ ）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228(, 2) D0.50.95443、若已知正態總體

26、落在區間、若已知正態總體落在區間 的概率為的概率為0.5，則，則相應的正態曲線在相應的正態曲線在x= 時達到最高點。時達到最高點。(0.3,)0.34、已知正態總體的數據落在（、已知正態總體的數據落在（-3,-1）里的概率和落）里的概率和落在（在（3,5）里的概率相等，那么這個正態總體的數學）里的概率相等，那么這個正態總體的數學期望是期望是 。1練習練習1、設離散型隨機變量、設離散型隨機變量XN(0,1),則則 = , = .(0)P X ( 22)PX 2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)5、如圖，為某地成年男性、如圖，為某地成年男性體重的正態曲線圖，請寫出體重的正態曲

27、線圖，請寫出其正態分布密度函數，并求其正態分布密度函數，并求P（|X-72|20）.(,)x xy110 272(kg)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3) 6. 已知一次考試共有已知一次考試共有60名同學參加，考生的名同學參加，考生的成績成績X ，據此估計，大約應有，據此估計，大約應有57人的分人的分數在下列哪個區間內？（數在下列哪個區間內？（ ）A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,1152(100,5 )A2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)例例5、已知、已知 ，且，且 ， 則則 等于等于( ) A.

28、0.1 B. 0.2 C. 0.3 D.0.42 (0,)ns( 20)0.4P (2)PA例例6、某年級的一次信息技術測驗成績近似的服從正、某年級的一次信息技術測驗成績近似的服從正態分布態分布 ，如果規定低于，如果規定低于60分為不及格，分為不及格，求：求：（1）成績不及格的人數占多少？）成績不及格的人數占多少？（2）成績在）成績在8090內的學生占多少？內的學生占多少？2(70,10 )N2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)例例7.若若XN(5,1),求求P(6X7).(課本課本P P7575 B B：2)2)解解: :因為因為X XN(5,1),N(5,1),5,1

29、.msms又因為正態密度曲線關于直線又因為正態密度曲線關于直線 x=5 =5 對稱對稱, ,1(57)(37)2PxPx 10.95440.4772,2 1(56)(46)2PxPx 10.68260.3413,2 (67)(57)(56)PxPxPx 0.47720.34130.1359. 1(5 2 15 2 1)2Px 2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3) 【1】某校高三男生共】某校高三男生共1000人，他們的身人，他們的身高高X(cm)近似服從正態分布近似服從正態分布 ,則則身高在身高在180cm以上的男生人數大約是以上的男生人數大約是（ B ） 683 B.159 A.C.46 D.317(176,16)N xyo2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)2.42.4正態分布正態分布( (選修選修2-3)2-3)【3】某年級的一次信息