1、實驗報告一、求方程f(x)=x3-sinx-12x+1的全部根, =1e-61、 用一般迭代法; 2、 用牛頓迭代法; 并比較兩種迭代的收斂速度。一、 首先，由題可求得：.其次，分析得到其根所在的區間。 令，可得到. 用一階導數分析得到和兩個函數的增減區間；再用二階導數分析得到兩個函數的拐點以及凹凸區間. 在直角坐標軸上描摹出和的圖，在圖上可以看到他們的交點，然后估計交點所在的區間，即是所要求的根的區間。經過估計，得到根所在的區間為，和.1、 一般迭代法 （1）算法步驟：設為給定的允許精度，迭代法的計算步驟為： 選定初值.由確定函數，得等價形式. 計算.由迭代公式得. 如果，則迭代結束，取為解

2、的近似值；否則，用代替，重復步驟和步驟.（2）程序代碼： 在區間內，代碼： clcx0=-3.5; %初值iter_max=100; %迭代的最大次數ep=1e-6; %允許精度 k=0;while k<=iter_max %k從0開始到iter_max循環 x1=(sin(x0)+12*x0-1).(1/3); %代入，算出的值 if abs(x1-x0)<ep %與允許精度作比較 break; %條件成立，跳出循環 end x0=x1; %條件不成立，用代替 k=k+1; %k加1endx_star=x1, iter=k %為解的近似值，iter為迭代次數運行結果：x_star

3、 = -3.4101 ；iter =14在區間內， 代碼：clcx0=0.5; %初值iter_max=100; %迭代的最大次數ep=1e-6; %允許精度k=0;while k<=iter_max %k從0開始到iter_max循環x1=(1/12)*(x0.3-sin(x0)+1); %代入，算出的值 if abs(x1-x0)<ep %與允許精度作比較 break; %條件成立，跳出循環 end x0=x1; %條件不成立，用代替 k=k+1; %k加1endx_star=x1, iter=k %為解的近似值，iter為迭代次數結果：x_star = 0.07696；ite

4、r =6在區間內，代碼：clcx0=3.5; %初值iter_max=100; %迭代的最大次數ep=1e-6; %允許精度k=0;while k<=iter_max %k從0開始到iter_max循環x1=(sin(x0)+12*x0-1).(1/3); %代入，算出的值 if abs(x1-x0)<ep %與允許精度作比較 break; %條件成立，跳出循環 end x0=x1; %條件不成立，用代替 k=k+1; %k加1endx_star=x1, iter=k %為解的近似值，iter為迭代次數運行結果：x_star = 3.4101 ；iter =102、 牛頓迭代法（1

5、）算法步驟： 選定初值，計算，. 按公式迭代，得新的近似值，并計算，. 對于給定的允許精度，如果，則終止迭代，取；否則，在轉回步驟計算.（2）程序代碼：在區間內，clcx1=-3.5; %初值k=0;while k<=100 %k從0開始到100循環x0=x1; %將初值賦給 f0=x0.3-sin(x0)-12*x0+1; %計算f1=3*x0.2-cos(x0)-12; %計算x1=x0-f0/f1; %計算得到新的近似值if abs(x1-x0)< 1.0e-6 %與允許精度作比較break; %條件成立，跳出循環endk=k+1; %條件不成立，k加1end x_star=

6、x1, iter=k %為解的近似值，iter為迭代次數運行結果：x_star = -3.4911；iter =2在區間內，clcx1=0.5; %初值k=0;while k<=100 %k從0開始到100循環x0=x1; %將初值賦給f0=x0.3-sin(x0)-12*x0+1; %計算f1=3*x0.2-cos(x0)-12; %計算x1=x0-f0/f1; %計算得到新的近似值 if abs(x1-x0)< 1.0e-6 %與允許精度作比較break; %條件成立，跳出循環endk=k+1; %條件不成立，k加1end x_star=x1, iter=k %為解的近似值，i

7、ter為迭代次數運行結果：x_star =0.07696 ；iter =3在區間內，clcx1=3.5; %初值k=0; while k<=100 %k從0開始到100循環x0=x1; %將初值賦給f0=x0.3-sin(x0)-12*x0+1; %計算f1=3*x0.2-cos(x0)-12; %計算 x1=x0-f0/f1; %計算得到新的近似值if abs(x1-x0)< 1.0e-6 %與允許精度作比較break; %條件成立，跳出循環endk=k+1; %條件不成立，k加1end x_star=x1, iter=k %為解的近似值，iter為迭代次數運行結果：x_star

8、 =3.4101；iter =33、運行結果：x_stariterx_stariterx_stariter一般迭代3.4101140.769663.410110牛頓法3.491120.7069633.410134、結果分析： 從這題的結果可以看出，牛頓迭代法的迭代速度比一般迭代法的速度要快，牛頓法的迭代次數比較少。例如，求在的根時，一般迭代法迭代了14次（iter =14），而牛頓法只用了2次（iter =2）?？偠灾?，一般迭代法是一種逐次逼近的方法，具有原理簡單、編制程序方便等優點，但存在是否收斂和收斂速度的快慢等問題。牛頓迭代法是一種特殊的迭代法，用于求方程的單根時具有2階收斂。因此是一

9、種求非線性方程解的好方法，還可以用于求重根和復根，而且可以推廣到求非線性方程組的解.二、解方程組直接法1、已知對矩陣A做LU分解。2、用追趕法解下述方程組，并給出n=10的結果，其中，1、杜利特爾分解法（直接三角分解法）：設方程組的系數矩陣的各階主子式，則可知該方程組存在唯一的杜利特爾分解：，其中，.我們記矩陣的第行第列元素為，則矩陣的第一行和的第一列可由公式（1.1）求出： （2.1）再由公式（2.2）求出的第行、的第列元素： （2.2）（1）算法步驟： 由于系數矩陣的各階主子式，則可知該方程組存在唯一的杜利特爾分解：。 利用公式（2.1）和（2.2）求出和的元素和。 求解單位下三角形方程組

10、，即按公式 （2.3） 求出。 求解上三角形方程組，即按公式 （2.4） 可求得方程組的解：。（2）程序代碼：function L,U=LU(A)An,n=size(A); %定義為階矩陣L=zeros(n,n); %矩陣初始化U=zeros(n,n); %矩陣初始化for i=1:n L(i,i)=1; %矩陣的對角線元素為1endfor k=1:n for j=k:n U(k,j)=A(k,j)-sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)');%求出元素 end for i=k+1:n L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)&#

11、39;)/U(k,k); %求出的元素 endendA=4 2 1 5;8 7 2 10;4 8 3 6;12 6 11 20; %矩陣L,U=LU(A) %2、追趕法 設所求方程組為， （2.5）（1）算法步驟： 由方程組的第1個方程，將未知元用表示為 記，得。 以此類推，用表示， 用表示。我們可以得到一般式（其中記）： （2.6） （2.7） 將代入方程組（2.5）的第n個方程，并解出得， 上式右端恰好是式（2.6）的。于是，可由式（2.7）求出三對角方程組的解，即， （2.8）（2）程序代碼：clca=0 1 1 1 1 1 1 1 1 1;b=2 2 2 2 2 2 2 2 2 2;c

12、=1 1 1 1 1 1 1 1 1 0;r=-7 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5;u=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;v=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;x=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;u(1)=r(1)/b(1); %計算v(1)=c(1)/b(1); %計算for k=2:10 u(k)=(r(k)-u(k-1)*a(k)/(b(k)-v(k-1)*a(k); %計算 v(k)=c(k)/(b(k)-v(k-1)*a(k); %計算endx(10)=u(10); for k=1:9 x(k)=u(k)-v(k)*x(k+1); %由，解出

13、end x運行結果：x=-3.5000 -1.0000 -3.0000 -1.6000 -2.8333 -1.8571 -2.7500 -2.0000 -0.8182 -2.09093、運行結果：（1）杜利特爾分解法：（2）追趕法： 。4、結果分析：（1）杜利特爾分解法：在實現分解后，解具有相同系數矩陣的方程組，非常方便，每解一個方程只需用式（2.3）和式（2.4）解兩個三角形方程組即可，大大減少了運算工作量。另外，矩陣和的元素可采用緊湊格式存放在系數矩陣的相應元素位置上，節省了存儲單元。（2）追趕法：追趕法僅適用于三對角方程組的求解。我們由式（2.6）和式（2.8）可以算出，追趕法的乘、除運

14、算次數僅為，加、減運算次數僅為。故追趕法具有運算量小和存儲量小的優勢。三、解方程組迭代法1、用迭代法解Ax=b，其中b=(5，5，5)T，給定誤差，用Jacobi和SOR兩種迭代法計算，并給出n=10的結果。對于階方程組，假定系數矩陣的對角元時，可得雅可比迭代格式為：， （3.1）記為方程組的系數矩陣的對角元組成的對角陣，和分別為由的元素組成的嚴格下三角陣和上三角陣，則系數矩陣可分解為：.1、Jacobi（雅可比）迭代法：（1）算法步驟： 根據矩陣，算出矩陣、和，即，。 計算雅可比迭代矩陣：. 計算矩陣：. 代入給出的初值，得到雅可比迭代公式（3.1）的矩陣形式：. (3.2)由式（3.2）就

15、可以得到向量序列：.（2）程序代碼： clcA=3 -1/2 -1/4 0 0 0 0 0 0 0;-1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0 0 0 0; -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0 0 0;0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0 0; 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0;0 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0; 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0;0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4; 0 0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3 -

16、1/2;0 0 0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3;x0=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0' %初值 b=5 5 5 5 5 5 5 5 5 5'L= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1/4 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0;0 1/4 1/2 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 1/4 1/2 0 0 0 0 0 0;0 0 0 1/4 1/2 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1/4 1/2 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1/4 1/2 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1/4 1/2

17、 0 0;0 0 0 0 0 0 0 1/4 1/2 0;U= 0 1/2 1/4 0 0 0 0 0 0 0;0 0 1/2 1/4 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1/2 1/4 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1/2 1/4 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1/2 1/4 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1/2 1/4 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 1/2 1/4 0;0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 1/4; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;D=3 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 3 0 0

18、 0 0 0 0 0 0; 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3;BJ=inv(D)*(L+U); %計算雅可比迭代矩陣FJ=inv(D)*b; %計算矩陣N=1000;ep=1e-10; % 誤差 k=0;while k<=iter_max %k從0開始到iter_max循環x1=BJ*x0+f

19、J; %計算if norm(x1-x0),'inf')<ep %與誤差做比較break; %滿足，跳出循環endx0=x1; %不滿足，將賦給k=k+1; %k加1endx_star=x1, iter=k 2、SOR（超松弛）迭代法：（1）算法步驟： 根據矩陣，算出矩陣、和，即，。 計算超松弛迭代矩陣：. 其中，為松弛因子，。 計算矩陣：. 其中，為松弛因子，。 代入給出的初值，得到超松弛迭代公式的矩陣形式：. 由式（3.2）就可以得到向量序列：.（2）程序代碼：clcA=3 -1/2 -1/4 0 0 0 0 0 0 0;-1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0 0

20、 0 0; -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0 0 0;0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0 0; 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0 0;0 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0 0; 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4 0;0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2 -1/4; 0 0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3 -1/2;0 0 0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 3;x0=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0' b=5 5 5 5 5 5 5

21、5 5 5'L= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1/4 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0;0 1/4 1/2 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 1/4 1/2 0 0 0 0 0 0;0 0 0 1/4 1/2 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1/4 1/2 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1/4 1/2 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1/4 1/2 0 0;0 0 0 0 0 0 0 1/4 1/2 0;U= 0 1/2 1/4 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 1/2 1/4 0 0 0 0 0

22、 0; 0 0 0 1/2 1/4 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1/2 1/4 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1/2 1/4 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1/2 1/4 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 1/2 1/4 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 1/4; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;D=3 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 3 0 0 0 0

23、 0; 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3;w=1.3; %超松弛因子Bw=(inv(D-w*L)*(1-w)*D+w*U); %計算超松弛迭代矩陣Fw=w*(inv(D-w*L)*b; %計算矩陣iter_max=1000;ep=1e-10; %誤差k=0;while k<=iter_maxx1=Bw*x0+fw; %if norm(x1-x0),'inf')<ep %與誤差做比較break;e

24、ndx0=x1; k=k+1;endx_star=x1, iter=k3、運行結果：（1）雅可比迭代法：迭代次數：iter =31（2）超松弛迭代法：迭代次數：iter =254、結果分析：雅可比迭代法和超松弛迭代法從迭代次數上比較，可以看出超松弛迭代比雅可比迭代的次數少，表明超松弛迭代法比雅可比迭代法的收斂速度快。四、插值逼近題目: ，將10等分，作Lagrange插值，將插值函數的圖形與的圖形比較，并給出結論。1、算法步驟： 已知， 求出各個節點的拉格朗日插值基函數多項式：， 就稱為以為節點的拉格朗日插值基多項式。 利用基函數的線性組合得到插值多項式：。2、程序代碼：function y=

25、lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); %求出，p即為 end end s=p*y0(k)+s; %計算，s即為 end y(i)=s;endx=-5:1:5;y=1./(1+x.2); %插值函數x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.2); %繪制圖形plot(x0,y0,'-r') %插值曲線hold onplot(x0,y1,'-b') %原曲線 3、 運行結果：插值曲線為紅色，原曲線為藍色：4、結果分析：當很大時，在內能很好的逼近，而在這個區間外，誤差反而很大。由圖像我們可以看出，在內部，與偏差??；而在端點附近，偏差大。這就是龍格現象。五、復化求積題目: 分別用復化梯形公式、復化辛卜生公式計算,其中. (用區間逐步分半遞推算法) 1、復化梯形公式：（1）算法步驟： 將區間分成等分，步長為，分點為.其中，我們又題意已知：。 建立與的遞推公式：。 給定誤差，當時，停止計算，取為所給積分的