1、 you cannot eat your cake do not work hard,and have it.work smart!第第2222章章 第一節(jié)、第一型曲面積分(或：對(duì)面積的曲面積分) 第三節(jié)、高斯(gauss)公式與斯托克(stokes)公式曲面積分曲面積分 第22章 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：第二節(jié)、第二型曲面積分(或：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分) 第四節(jié)、場(chǎng)論初步第3節(jié) 高斯(gauss)公式 與斯托克(stokes)公式一、高斯一、高斯(gauss)公式公式二、斯托克二、斯托克(stokes)公式公式 第22章 本節(jié)內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容：一、高斯一、高斯 ( gauss ) 公式公式定理定理21

2、.3 設(shè)空間閉區(qū)域 v 由分片光滑的閉曲v 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,zyxzryqxpvdddsyxrxzqzypdddddd zyxzrvdddsyxrdd 下面先證:函數(shù) p, q, r 在面s 所圍成, s的方向取外側(cè), 則有 ( gauss 公式公式 )green 公式gauss 公式推廣推廣高斯高斯(1777 1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域 , 在數(shù)論、 級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻(xiàn), 他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、 曲面論和位勢(shì)論等. 他

3、在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎, 代數(shù)、非歐幾何、 微分幾何、 超幾何 在對(duì)天文學(xué)、大恪守這樣的 “問題在思想上沒有弄通之前決不動(dòng)筆”. 原則: 返回2s3s1svzyxyxd) ,(yxryxyxrdd) ,(, ),(:11yxzzs證明證明: (1) 設(shè)yxdyxyxzyxzyxzv),(, ),(),(),(:21,321sssszzryxzyxzd),(),(21yxd),(2yxz),(1yxzsyxrdd yxd2 szyxzrvdddyxdd1 s3syxrdd為xy型區(qū)域 , ),(:22yxzzs則yxyxrdd) ,(yxdyxd),(2yxzyxyxrdd) ,(),(1yxz所以z

4、yxzrvdddsyxrdd (2)若 v 不是 xy型區(qū)域 , 則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè) xy型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證 zyxyqvdddsyxrxzqzypdddddd zyxzryqxpvdddsxzqdd zyxxpvdddszypdd 三式相加, 即得所證 gauss 公式：例例1. 用gauss 公式計(jì)算szyxzyyxyxdd)(dd)(其中s 為柱面122 yx閉域 v 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里利用gauss 公式, 得原式 =vzyxzyddd)(vzrrzrddd)sin(用柱坐標(biāo))zzrrrd)sin(dd3010

5、2029x3oz1y,)(xzyp, 0qyxr及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 s改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 若 s 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計(jì)算? 例例2. 利用gauss 公式計(jì)算積分szyxisd)coscoscos(222其中 s 為錐面222zyx解解: 作輔助面,:1hzs,:),(222hyxdyxyx取上側(cè)1(ssi1sszyxd)coscoscos)(2220,21上在 s介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側(cè). 1,ss記shozyxh1s所圍區(qū)域?yàn)関, 則 vzyxzyxddd)(2yxhyxddd2vzyxzyxiddd)(2

6、利用重心公式, 注意0 yxvzyxzddd24hyxhyxddd2421hhz022zzd4hshozyxh1s例例3.dddddd)(2223syxzxxzyzxzyxzxi設(shè)s 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的輔助面1:1zs1:),(22yxdyxyxi11sssvzyxdddyxxdd)(2xyd) 1(20d10dr221drz202dcos103drr1213zoxy121s1s用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在閉區(qū)域 上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( green )第一公式sd例例4.

7、設(shè)函數(shù)vuzyxdddsuvzyxdddxuyuyvzuzv其中 s 是整個(gè) v 邊界面的外側(cè). up xvuq yvur zv分析分析:zyxzryqxpvdddsyxrxzqzypdddddd xv高斯公式222222zvyvxv證證:令up ,xvuq ,yvur ,zv由gauss公式得222222zvyvxvvuzyxdddcoscoscoszvyvxvsusd移項(xiàng)即得所證公式.xuyuyvzuzvxvsuyxzvxzyvzyxvdddddd斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家. 他是19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一, 其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題

8、的有效且一般的新方法, 在1845年他導(dǎo)出了著名的粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 ( 后稱之 為納維 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收斂的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .二二、 斯托克斯斯托克斯( stokes ) 公式公式 定理定理22. 4 設(shè)光滑曲面 s 的邊界 l是分段光滑曲線, yxypxqxzxrzpzyzqyrsddddddlzryqxpddd ( stokes公式公式 )個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),s 的側(cè)與 l 的正向符合右手法則, rqp,在包含s 在內(nèi)的一證證:情形情形1 s 與平行 z 軸的直線只交于 一點(diǎn)

9、, 設(shè)其方程為yxdyxyxfzs),(, ),(:為確定起見, 不妨設(shè)s 取上側(cè) (如圖).lsyozxnyxdc則有則lxpdcxyxzyxpd),(,(利用格林公式) yxyxzyxpyyxddd),(,(yxyzzpypyxdddsfzpypysdcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyflsyozxnyxdc因此szpypxpsldcoscoscosdsypzpsdcoscosyxypxzzpsdddd同理可證lyqdzyzqyxxqsddddlxrdxzxrzyyrsdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;情形情形2 曲面s 與平行 z 軸的直線交點(diǎn)

10、多于一個(gè), 則可通過作輔助線面把 s 分成與z 軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用 stokes 公式 , 然后相加, 由于沿輔助曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對(duì)這類曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 s 是 xoy 面上的一塊平面區(qū)域, 則 stokes公式就是green公式,故green公式是stokes公式的特例.證畢為便于記憶, stokes公式還可寫作:srqpzyxyxxzzyddddddlzryqxpddd 或用第一類曲面積分表示:srqpzyxsdcoscoscoslzryqxpddd yxzyxxzzyzyxsddddddzxy111o例例5. 利用

11、斯托克斯公式計(jì)算積分lzyyxxzddd其中l(wèi)為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè)解解: 記三角形域?yàn)閟, 取上側(cè), 則邊界, 方向如圖所示. lzyyxxzdddsyxxzzydddddd利用對(duì)稱性yxdyxdd323yxd例例6. l 為柱面與平面 y = z 的交線,從 z 軸正向看為順時(shí)針, 計(jì)算.ddd2zxzyxyxyily解解: 設(shè)s為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 , 且取下側(cè),0cos利用斯托克斯公式得sisdsszyd)(210則其法線方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222oz2lxszryqxpudddd三

12、、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理22.5 設(shè) g 是空間一維單連通域, 內(nèi)在函數(shù)grqp,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià): (1) 對(duì)g內(nèi)任一分段光滑閉曲線 l, 有0dddlzryqxp(2) 對(duì)g內(nèi)任一分段光滑曲線 l, lzryqxpddd與路徑無關(guān)(3) 在g內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使(4) 在g內(nèi)處處有zpxryrzqxqyp,),(),(000ddd),(zyxzyxzryqxpzyxu證證:) 1 ()4(由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;)2() 1 (自證) )3()2(設(shè)函數(shù) 則xu),(),(0ddd1limzyxxzyxxzry

13、qxpx0limxxzyxuzyxxu),(),(xxxxxpxd1lim0),(lim0zyxxpx),(zyxp同理可證 ),(zyxqyu),(zyxrzu故有zryqxpudddd)4()3(若(3)成立, 則必有rzuqyupxu,因p, q, r 一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 故有yxuyp2xq同理zpxryrzq,證畢zyxyxzxzyld)(d)(d)(與路徑無關(guān), 并求函數(shù)zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxrxzqzyp,1xqyp,1yrzqypxr1 積分與路徑無關(guān),),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例7. 驗(yàn)證曲線積分思考與練習(xí)思考與練習(xí),:2222取外側(cè)設(shè)rzyxs所圍立體,222zyxr判斷下列演算是否正確?(1)yxrzxzryzyrxsdddddd333333vrd324 r(2)yxrzxzryzyrxsdddddd333333vrzzryyrxxd33333331ryxzxzyzyxsdddddd33331rvzyxd)(3222 為s作業(yè)作業(yè)p295 1