1、第七章第七章 隨機過程及其統計描述隨機過程及其統計描述 在概率論中主要研究一個或有限個隨機在概率論中主要研究一個或有限個隨機變量變量, ,即一維或者即一維或者n n維隨機變量維隨機變量( (隨機向量隨機向量),),隨著科學技術的發展隨著科學技術的發展, ,往往需要接連不斷的往往需要接連不斷的觀察或研究隨機變量的變化過程觀察或研究隨機變量的變化過程, ,這就要同這就要同時考慮無窮多個隨機變量時考慮無窮多個隨機變量, ,或者說一族隨機或者說一族隨機變量變量, ,隨機過程這是在這種要求下隨機過程這是在這種要求下, ,于上世紀于上世紀產生并發展起來的一個數學分支產生并發展起來的一個數學分支, ,它是研

2、究它是研究隨機現象變化過程的規律性的理論隨機現象變化過程的規律性的理論. .目前以目前以廣泛應用于許多現代科學技術領域之中廣泛應用于許多現代科學技術領域之中. .隨機過程及其統計描述隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念隨機過程的分類隨機過程的分類泊松過程泊松過程 7.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念一一 引言引言 現實世界中的許多現象是隨時間的進展而變化現實世界中的許多現象是隨時間的進展而變化與發展的，這些現象通常稱為過程?？煞譃閮深悾号c發展的，這些現象通常稱為過程。可分為兩類： (1)(1)確定性的變化過程：確定性的變化過程： (2)(2)不確定的變化過程：不確定的變化過程： 如果質

3、點在一個隨機的力（它由各種隨機因如果質點在一個隨機的力（它由各種隨機因素形成）的作用下，那么質點的運動也是隨機的。素形成）的作用下，那么質點的運動也是隨機的。如何描述這樣的變化過程如何描述這樣的變化過程? ?1. 如果對其變化過程的全過程做一次觀察如果對其變化過程的全過程做一次觀察, ,得到得到一個位置與時間關系的函數一個位置與時間關系的函數x1(t ),若再次觀察，若再次觀察，又得到函數又得到函數x2(t ), , ,因而得到因而得到一族時間函數一族時間函數. .2. 2. 如果在時刻如果在時刻t t觀察質點的位置觀察質點的位置x(t ),則則x(t )是一是一個隨機變量個隨機變量, ,這樣

4、對于每個時刻這樣對于每個時刻t便得到一個隨便得到一個隨機變量機變量x(t ),于是我們就得到于是我們就得到一族隨機變量一族隨機變量 x(t),t0,（最初始時刻為（最初始時刻為t=0）, ,它描述了此隨它描述了此隨機的運動過程。機的運動過程。 圖圖7-17-1它在任一確定時刻的值是隨機變量它在任一確定時刻的值是隨機變量. .顯然這顯然這個隨機過程的狀態空間為個隨機過程的狀態空間為 。 我們稱這種隨時間的進展而變化與發展的隨我們稱這種隨時間的進展而變化與發展的隨機現象為隨機過程。機現象為隨機過程。注釋：注釋：(1) (1) 隨機過程隨機過程 是定義在是定義在t上的二元函上的二元函數，因此可以從兩

5、個角度去理解數，因此可以從兩個角度去理解, , 因而有如上的兩因而有如上的兩個定義。個定義。 在理論分析往往用隨機變量族的描述方式，在在理論分析往往用隨機變量族的描述方式，在實際測量和處理中往往采用樣本函數族的描述方式實際測量和處理中往往采用樣本函數族的描述方式 ( ),x t ttcos( ) (,) thx tttt 當出現當出現例3: 考慮拋擲一顆骰子的試驗，考慮拋擲一顆骰子的試驗，(i)設設 是第是第n次次（ ）拋擲的點數，對于）拋擲的點數，對于n=1,2的不同值的不同值, , 是是不同的隨機變量，因而不同的隨機變量，因而 構成一隨機過程，構成一隨機過程，稱為貝努利過程或貝努利隨機序列

6、，稱為貝努利過程或貝努利隨機序列，(ii)設設xn是前是前n次拋擲中出現的最大點數，次拋擲中出現的最大點數， 也是一隨機也是一隨機過程。過程。nx1n nx,1nxn ,1nxn 二二 隨機過程的概率分布隨機過程的概率分布（一）隨機過程的分布函數族（一）隨機過程的分布函數族 1.1.一維分布函數族一維分布函數族( , )( ),xfx tp x txx r 2. n n維分布函數族維分布函數族 12121122( ,; ,)( ),( ),( ), 1,2, .xnnnnifx xxt ttp x tx x txx txxinr, 注注: :可以證明（柯爾莫哥洛夫），在一定條件可以證明（柯爾莫

7、哥洛夫），在一定條件下，隨機過程的統計特性完全由它的有限維分布下，隨機過程的統計特性完全由它的有限維分布函數族決定。函數族決定。（二）二維隨機過程的聯合分布函數（二）二維隨機過程的聯合分布函數12121212( ,; , ,:,; , ,)nnmmf x xx t tty yyt tt 1111( ),( ), ( ), ()nnmmp x txx tx y tyy ty例例 6 6 求例求例1 1中的隨機過程的一維分布函數中的隨機過程的一維分布函數1( ,0),( , )4f xf x和二維分布函數和二維分布函數1( , ,0, )4f x y解：對任意實數解：對任意實數,tr 有有( )x

8、 tcos t t1212p特別的特別的(0)x101212p1( )4x22141212p1(0),()4xx2(1,)21(0,)41212p1()4x22141212p0,0,1( ,0),01,21,1.xf xxx 10,41112( ,),424221,.2xf xxx (0)x101212p三三 隨機過程的數字特征隨機過程的數字特征tttxetx ),()( 函數函數)()(txetx22 )()()(txdtdtxx 2 )()()()()(),(),(ttxssxetxsxcovtscxxx 為為x(t),t t的的均方值函數均方值函數. . 為為x(t),t t的的方差函數

9、方差函數. . 為為x(t),t t的的自協方差函數自協方差函數. . 為為x(t),t t的的均值函數均值函數. . 1.1.單個隨機過程的情況單個隨機過程的情況 2( )( , ),xxtrt t 諸數字特征的關系：諸數字特征的關系： 22( )( , )( , )( )xxxxtct trt tt( , )( )( )xrt se x t x s為為 x x( (t t),),t t t t 的的自相關函數自相關函數. . ( , )( , )( )( )xxxxcs trs tst2 2二個隨機過程的情況二個隨機過程的情況( , )( ) ( ), ,xyrt se x t y st

10、st( , )( )( ) ( )( )xyxyct sex tty ss( , )( )( ) ,xyxyrt stst st例例 7 7 求例求例1 1中的隨機過程的均值函數，方差函中的隨機過程的均值函數，方差函數，相關函數和協方差函數。數，相關函數和協方差函數。解：解：1( )( )cos22xtte x tt( )x tcost t1212p2221( )( )( )(cos)4xxdte xtttt( ),( )xtxs(cos,cos)ts ( , )t s1212p1( , )( )( )coscos22xtsrt se x t x sts1( , )( , )( )( )(co

11、s)(cos)4xxxxct srt ststtss )2 , 0(0)2 , 0(21)( f02120 dtataetxetx)cos()cos()()(解解: : 的概率密度為的概率密度為 于是于是 )cos()cos()()(),(2 tsaetxsxetsrx dtsa21coscos202 sta cos22.2)(),()(222atttrtxxx ( ) e x te yte z02( ) d x td yt d z21 t )()(),(22122121txettxf 所以一維概率密度為所以一維概率密度為 又由正態分布的性質知，對于任意又由正態分布的性質知，對于任意 服從二維

12、正態分布而服從二維正態分布而 tsztyzsyetsrtscxx 1),(),( 22111,tststsx 所以二維概率密度為所以二維概率密度為 1212222122211222222212121( ,; , )2(1)(1) 11exp22(1) 11(1)(1)f x x t tttxx xxtttt其中其中 12( , )xt t, s tt( ),( )x sx t22( )( )0; ( )1, ( )1e x se x td x ssd x tt 兩個隨機過程之和的自相關函數為各個隨機兩個隨機過程之和的自相關函數為各個隨機過程的相關函數與它們的互相關函數之和。過程的相關函數與它們的互相關函數之和。若兩若兩個隨機過程