1、1.3.2 1.3.2 球的體積和表面積球的體積和表面積aoiro.niinrrri,2 , 1,)1(22,21rrr,)(222nrrr1、球的體積、球的體積b2c2biciao,)2(223nrrr已知球的半徑為已知球的半徑為rnininrnrrvii,2 , 1,)1(1 232問題問題:已知球的半徑為已知球的半徑為r,用用r表示球的體積表示球的體積.niinrrri, 2 , 1,)1(22nvvvv21半球) 1(2122223nnnnr6) 12() 1(123nnnnnnr6) 12)(1(11 23nnnr例例1. 1.鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積

2、. .3336125)25(3434cmrv334rv定理定理:半徑是半徑是r的球的體積的球的體積變式變式1 1：一種空心鋼球的質量是：一種空心鋼球的質量是142g,142g,外徑外徑是是5cm,5cm,求它的內徑求它的內徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解:設空心鋼球的內徑為2xcm,則鋼球的質量是答:空心鋼球的內徑約為4.5cm.142 34)25(349 . 733x3 .1149 . 73142)25(33x由計算器算得:24. 2x5 . 42 x( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中盒中, ,至少要

3、用多少紙至少要用多少紙? ?用料最省時用料最省時, ,球與正方體有什么位置關系球與正方體有什么位置關系? ?球內切于正方體球內切于正方體2215056cms側側棱長為側棱長為5cm1.球的直徑伸長為原來的球的直徑伸長為原來的2倍倍,體積變為原來體積變為原來的幾倍的幾倍?2.一個正方體的頂點都在球面上一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,求這個球的體積求這個球的體積. 8倍倍332變式變式3.有三個球有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側棱一球切于正方體的各側棱,一球過正方體一球過正方體的各頂點的各頂點,求這三個球的體積之比求這三個球的體積之比

4、.作軸截面作軸截面例例2、某街心花園有許多鋼球（鋼的密度、某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是是7.9g/cm3),每個鋼球重每個鋼球重145kg，并且外，并且外徑等于徑等于50cm，試根據以上數據，判斷鋼，試根據以上數據，判斷鋼球是實心的還是空心的。如果是空的球是實心的還是空心的。如果是空的,請請你計算出它的內徑（你計算出它的內徑（取取3.14，結果精確，結果精確到到1cm）。）。1.兩種方法兩種方法:化整為零的思想方法和化整為零的思想方法和“分割分割,求求和和,取極限取極限”的數學方法的數學方法.2.一個觀點一個觀點:在一定條件下在一定條件下,化曲為直的辨證觀化曲為直的辨證觀點點.3.一個公式

5、一個公式:半徑為半徑為r的球的體積是的球的體積是334rv4.解決兩類問題解決兩類問題:兩個幾何體相切和相接兩個幾何體相切和相接作適當的軸截面作適當的軸截面兩個幾何體相切兩個幾何體相切:一個幾何體的各個一個幾何體的各個面面與另與另一個幾何體的各一個幾何體的各面面相切相切.兩個幾何體相接兩個幾何體相接:一個幾何體的所有一個幾何體的所有頂點頂點都都 在另一個幾何體的表面上在另一個幾何體的表面上球面：半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面。球面：半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面。球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。它包括它包括球面球面和和球面所包圍的空間球面所

6、包圍的空間。半徑是半徑是r r的球的體積：的球的體積：推導方法推導方法：334rv 分割分割求近似和求近似和化為準確和化為準確和小結：小結：第一步：分割第一步：分割o o球面被分割成球面被分割成n n個網格，個網格， 表面積分別為：表面積分別為：nssss.321，則球的表面積：則球的表面積：nsssss.321則球的體積為：則球的體積為：設設“小錐體小錐體”的體積為：的體積為：ivivnvvvvv.321iso o2 2、球的表面積、球的表面積o o第二步：求近似和第二步：求近似和o oih由第一步得：由第一步得：nvvvvv.321nnhshshshsv31313131332211.iii

7、hsv31isiv第三步：轉化為球的表面積第三步：轉化為球的表面積rsvii31 如果網格分的越細如果網格分的越細, ,則則: :rsrsrsrsvni3131313132.rsssssrni313132).( 由由 得得: :334rv 球的體積球的體積: :2 24 4r rs s isivih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑r rrihiso oiv“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。(1)(1)若球的表面積變為原來的若球的表面積變為原來的2 2倍倍, ,則半徑變為原來的則半徑變為原來的倍。倍。(2)(2)若球半徑變為原來的若球半徑變為原來的2 2倍，則表面積變為原來

8、的倍，則表面積變為原來的倍。倍。(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。練習：練習：2422:134:1例例. .如圖，正方體如圖，正方體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各個頂它的各個頂點都在球點都在球o o的球面上，問球的球面上，問球o o的表面積。的表面積。a ab bc cd dd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1o oa ab bc cd dd d1 1c c1 1b b1 1a a1 1o o分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可分析：正方體內接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:arsaraaradbrdbddbrt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球o o和這個正方體