1、圓的方程知識點總結和經典例題1 圓的定義及方程定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡 )標準(x a)2 (y b )2 r 2 (r 0)圓心： (a， b)，半徑： r方程DE一般x 2 y 2 Dx Ey F0( D2 E 2圓心： 2，2 ，方程4F 0)124F半徑：D2E2注意點(1) 求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程(2) 對于方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示圓時易忽視D2E 24F0這一條件2 點與圓的位置關系點 M (x 0 ， y0 )與圓 (x a)2 (y b )2 r 2 的位置關系：(1) 若 M (

2、x0 ， y0 )在圓外，則 (x0 a)2 (y0 b )2 r 2 .(2) 若 M (x0 ， y0 )在圓上，則 (x0 a)2 (y0 b )2 r 2 .(3) 若 M (x0 ， y0 )在圓內，則 (x0 a)2 (y0 b )2 r 2 .3 直線與圓的位置關系（1 ）直線與圓的位置關系的判斷方法設直線 l ： Ax By C0( A2 B 2 0) ，圓： (x a)2 (y b)2 r 2 (r >0) ，d 為圓心 (a， b )到直線 l 的距離，聯立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為 .方法位置關系幾何法代數法相交d <r>0相切d

3、r 0相離d >r<01 幾何法：由圓心到直線的距離d 與圓的半徑 r 的大小關系判斷2 代數法：根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷3 直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系（2 ）過一點的圓的切線方程的求法1 當點在圓上時，圓心與該點的連線與切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點斜式方程可求得圓的切線方程2 若點在圓外時，過這點的切線有兩條，但在用設斜率來解題時可能求出的切線只有一條，這是因為有一條過這點的切線的斜率不存在（3 ）求弦長常用的三種方法l1 利用圓的半徑 r ，圓心到直線的

4、距離d ，弦長 l 之間的關系 r 2 d 2 2 2解題2 利用交點坐標若直線與圓的交點坐標易求出， 求出交點坐標后， 直接用兩點間距離公式計算弦長3 利用弦長公式設直線 l ：y kx b ，與圓的兩交點 (x 1 ， y1 )，(x 2 ，y 2 )，將直線方程代入圓的 方 程 ， 消元 后 利 用 根與 系 數 的 關系 得 弦 長l 1 k 2 | x 1 x 2| 1 k 2x 1 x22 4 x 1x 2 .4. 圓與圓的位置關系（1 ）圓與圓位置關系的判斷方法222(r 1 >0)，設圓 O1 ： (x a1 ) (y b 1 ) r 1圓 O2 ： (x a2 )2 (

5、y b 2 )2 r22 (r 2 >0) 方法位置關系幾何法：圓心距 d 與 r 1 ， r 2代數法：兩圓方程聯立組成方的關系程組的解的情況外離d> r 1 r 2無解外切d r 1 r 2一組實數解相交| r 1 r 2 |< d < r 1 r 2兩組不同的實數解內切d |r 1 r 2 |一組實數解(r 1 r 2 )內含0 d <| r 1 r 2 |( r 1 r 2 )無解易誤點： 兩圓相切問題易忽視分兩圓內切與外切兩種情形1 判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟：(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；(2)計算兩

6、圓圓心的距離d；(3)通過 d ，r 1 r 2 ，| r 1 r 2 | 的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可借助于圖形，數形結合2 應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系（2 ）兩圓相交有關問題1 圓系方程一般地過圓C1 ：x 2 y2 D 1 x E 1 y F 10 與圓 C2 ：x 2y 2 D 2x E 2 y F2 0 交點的圓的方程可設為： x 2 y2 D 1 x E 1 yF 1 (x 2y 2 D 2x E 2 y F2 ) 0( 1) ，然后再由其他條件求出 ，即可得圓的方程2 兩圓相交時，公共弦所在的

7、直線方程若圓 C1： x2 y 2 D 1x E 1 y F 10 與圓 C2 ：x 2 y2 D 2 x E 2 yF 2 0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D 1 D 2 )x (E 1 E 2 )y F1 F2 0.3 公共弦長的求法(1) 代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長(2) 幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解5. 對稱問題(1)點關于點成中心對稱通常利用中點坐標公式點 P（x ，y）關于 Q（a ，b ）的對稱點為 P'（2a x， 2b y） .(2)點關于直線成軸對稱(

8、3)曲線關于點、曲線關于直線成中心對稱或軸對稱6. 與圓有關的最值問題的常見解法y b(1) 形如 x a 形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題(2) 形如 t ax by 形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題(3) 形如 (x a)2 (y b )2 形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題7. 典型例題1.直線 3 x 4 y 5 0與圓 x 2 y2 1 的位置關系是 ()A相交B 相切C相離D 無法判斷圓心 (0,0) 到直線 3| 5|1 ，又圓 x2 y2 1【解析】x 4 y 5 0 的距離 d3242的半徑 r 1 ， d r ，故直線與圓相切2

9、.直線 3 x 4y 12 0 與圓 (x 1)2 (y1)2 9 的位置關系是 ()A過圓心B 相切C相離D 相交但不過圓心【解析】圓 心 (1 ， 1) 到 直 線 3x 4y 12 0 的 距 離 d |3 ×14× 1 12|11r .【答案】D3 24253.求過點 (1 ， 7) 且與圓 x 2 y2 25 相切的直線方程【解析】由題意知切線斜率存在，設切線的斜率為k ，則切線方程為 y 7k (x 1)，| k 7|43即 kx y k 7 0. k 2 15 ，解得 k 3或 k 4. 所求切線方43程為 y 7 (x 1) 或 y 7 (x 1) ，即 4

10、x 3y 25 0 或 3x 4y3425 0.4.過點 A(4， 3) 作圓 C： (x 3) 2 (y1) 2 1 的切線，求此切線的方程.【解析】 因為 (43)2 (31)2 17 1，所以點 A 在圓外(1)若所求切線的斜率存在，設切線斜率為k ，則切線方程為 y 3 k (x 4) 因為圓心 C(3,1) 到切線的距離等于半徑，半徑為1，|3 k 1 3 4k |所以1 ，即 | k 4| k 2 1 ，k 2 115所以 k 2 8k 16 k 2 1 ，解得 k 8 .15所以切線方程為y3 8 (x 4) ，即 15 x 8y 36 0.(2)若直線斜率不存在，圓心C(3,1

11、) 到直線 x 4 的距離也為 1 ，這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x 4.綜上，所求切線方程為15 x 8y 36 0 或 x 4.5.求直線 l ：3x y 6 0 被圓 C ：x 2y 22y 4 0 截得的弦長【解析】 圓 C：x 2 y2 2 y 4 0 可化為 x 2 (y 1) 2 5 ，其圓心坐標為 (0,1) ，半徑 r 5.點(0,1) 到直線 l 的距離為 d |3 ×016|1032122，l2 r 2 d2 10 ，所以截得的弦長為10.6.直線 x 2y 5 5 0 被圓 x2 y 22x 4y 0 截得的弦長為 ()A 1B 2C4D 46【解

12、析】 圓的方程可化為C：(x 1) 2 (y 2) 2 5，其圓心為C(1,2) ，半徑 r 5.如圖所示，取弦AB 的中點 P，連接 CP ，則 CPAB ，圓心 C 到直線 AB|1 45 5|的距離 d | CP| 12221. 在 Rt ACP 中， | AP| r 2 d 22 ，故直線被圓截得的弦長 | AB | 4.7.兩圓 x 2 y2 9 和 x 2 y2 8 x 6y 90 的位置關系是 ()A外離B 相交C內切D 外切【解析】兩圓 x2 y 2 9和 x2 y 2 8x 6 y9 0的圓心分別為 (0,0) 和(4 ， 3) ，半徑分別為3 和 4. 所以兩圓的圓心距 d

13、42 32 5.又 4 3<5<3 4，故兩圓相交8.圓 O1：x 2 y2 2x 0 和圓 O 2 ：x 2y 24y 0的位置關系為 ()A外離B 相交C外切D 內切【解析】圓 O1 的圓心坐標為 (1,0) ，半徑長 r 11 ；圓 O 2 的圓心坐標為 (0,2) ，半徑長 r2 2 ；1 r 2 r 1 | O1 O 2 | 5 r 1 r 2 3 ，即兩圓相交9.求兩圓 x 2 y2 2x 10 y 24 0 和 x 2y 22x 2 y8 0 的公共弦所在直線的方程及公共弦長聯立兩圓的方程得方程組x2 y 2 2 x 10 y 24 0 ，兩式相【解析】x2 y 2

14、2 x 2y 8 0，減得 x 2y4 0，此為兩圓公共弦所在直線的方程法一：設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點滿足方程組x 2y 4 0 ，x 4 ，x 0 ，x 2 y2解得y 0或2x 2y 8 0 ，y 2.所以| AB | 40202225，即公共弦長為25.法二：由x2 y 2 2x 10 y 24 0 ，得 (x 1)2 (y 5) 2 50 ，其圓心坐標為 (1 ， 5)，半徑長r 52 ，圓心到直線x 2y 4 0 的距離為 d |1 2×54| 35. 設公共弦長為 2l，由勾股定理得r 2 d 2 l2 ，122即 50 (3 5) 2l 2，解得 l 5 ，故

15、公共弦長 2l 2 5.10.求圓C1： x2 y 2 1與圓C2 ： x2 y 2 252x 2y 1 0的公共弦所在直線被圓C3 ：(x 1) 2(y 1) 24 所截得的弦長【精彩點撥】作差聯立圓 C 1 、C2 的方程 得公共弦所在的直線 圓心 C 3到公共弦的距離 d 圓的半徑 r 弦長 2r 2 d 2【解析】 設兩圓的交點坐標分別為A(x 1 ，y1 )， B(x 2 ，y2 )，則 A ，B 的坐標是方程組x 2y 2 1 ，的解，兩式相減得x y 1 0.x 2y 2 2x 2y 1 0因為 A，B 兩點的坐標滿足x y 1 0 ，所以 AB 所在直線方程為x y1 0，即

16、C1 ，C2 的公共弦所在直線方程為x y 1 0 ，圓 C3 的圓心為 (1,1) ，其到直線AB的距離d 12，由條件知r 2 d 225412324，所以直線AB被圓C3 截得弦長為2 ×23223.11.已知圓C 與圓(x 1) 2 y2 1關于直線y x對稱，則圓C 的方程為 ()A (x 1)2 y 2 1B x 2 y2 1Cx 2 (y 1) 2 1D x 2 (y 1) 2 1【解析】 由已知圓 (x 1)2 y2 1 得圓心 C 1 (1,0) ，半徑長 r 1 1. 設圓心 C1 (1,0 關于直線 y x 對稱的點為 (a， b)，b1 1，a1 ·

17、a0 ，則b解得所以圓 C 的方程為 x 2 (ya 1b 1. 2 2， 1)2 1.12.當動點 P 在圓 x2 y 2 2 上運動時，它與定點 A(3,1) 連線中點 Q 的軌跡方程為 _【解析】設 Q(x ，y)， P(a ，b)，由中點坐標公式得a 3x ，2a 2x 3 ，所以b 1b 2 y1.y 2，點 P(2x 3,2 y 1) 滿足圓 x 2 y 2 2 的方程，所以 (2x 3)2 (2y1) 2 2 ，3212 1化簡得 x 2 y 22，即為點 Q 的軌跡方程13. （1）ABC 的頂點坐標分別是 A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圓的方程；（2）A

18、BC 的頂點坐標分別是 A（0，0），B（5 ，0）， C（0，12 ），求它的內切圓的方程【解答】 解：（ 1 ）設所求圓的方程為（ x a ）2+（y b ） 2=r 2 ，因為 A（5，1），B（7， 3），C（2，8）都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程，于是，可解得 a=2 ， b= 3 ， r=25 ，所以 ABC 的外接圓的方程是（ x 2） 2+（y+3 ）2=25 （2 ）ABC 三個頂點坐標分別為A（ 0 ，0 ），B（5 ，0 ），C（0 ，12 ），AB AC ，AB=5 ，AC=12 ， BC=13 ， ABC 內切圓的半徑 r=2 ，圓心（ 2，2）， ABC 內切圓的方程為（ x 2 ）2+（ y 2） 2=4 14. 已知圓 C：x 2+（y+1 ）2=5 ，直線 l ：mx y+1=0 （ m R）（1 ）判斷直線 l 與圓 C 的位置關系；（2 ）設直線 l 與圓 C 交于 A、 B 兩點，若直線 l 的傾斜角為 120 °，求弦AB 的長【解答】 解：（ 1 ）由于直線 l 的方程是 mx y+1=0 ，即 y 1=mx ，經過定點 H（0，1），而點 H 到圓心 C（0 ，1）的距離為 2 ，小于半徑，故點 H 在圓的內部，故直線 l 與圓 C 相交，故直線和圓恒有兩個交點（2 ）直線 l 的傾斜角為