1、隴東學院本科生畢業論文誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業論文，是本人在指導老師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產權爭議，除文中已經注明引用的內容外，本論文不含任何其他個人或集體已經發表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承擔。 作者簽名： 二O一 年 月 日15探討在阻尼情況下彈簧質量對振子運動狀態的影響馮立帥，張廣平（隴東學院 電氣工程學院，甘肅 慶陽 745000）摘要：在許多的物理問題中，都把彈簧振子的運動看做理想模型來處理,但在實際中彈簧都是有質量的，并且運動也不是絕對理想的，都

2、是有阻尼的，這將對振子的運動狀態帶來一定的影響，本文運用微元法和分析力學的方法,探討在有阻尼情況下彈簧質量對振子運動狀態的影響，總結出了在非理想狀態下彈簧振子的圓頻率、周期、振幅等的變化情況。關鍵詞：彈簧振子；有阻尼；圓頻率；等效質量TO DISCUSS THE DAMPING CASES SPRING QUALITY TO THE INFLUENCE OF THE OSCILLATOR MOTION STATEFENG lishuai ,ZHANG guangping(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang

3、745000, Gansu, China)Abstract:In many physical promlems,the movement of the spring oscillator is regarded as an ideal model to deal with ,but in pratice spring is quality,and the movement is not absolute ideal are damping,which will bring about the motion of the vibrator bring certain effect, This p

4、aper uses micro-element method and analytical mechanics methods to explore the state of motion of the oscillator in the spring-mass damping case,Summarized in the ideal condition spring oscillator circular frequency, cycle, such as amplitude changes .Key Words:spring oscillator;circular freuency;Ada

5、mping;equivalent mass1 引 言 彈簧振子是大學物理中的一個典型模型，對于彈簧質量不可忽略的彈簧振子的問題，有許多文獻僅僅是考慮了彈簧自身的質量，而把運動時外界環境的因素看做是理想的，但在實際中，振動往往是在有阻尼情況下進行的，得出彈簧振子振動的圓頻率、周期與振幅和真實的情況相比存在一定的誤差，這就必須考慮在有阻尼情況下彈簧振子的運動狀。下面用分析力學通過微元法來求解質量不可忽略的彈簧振子在有阻尼情況下振動方程的解，進而分析在三種阻尼情況下振子的振動狀態。2. 理想狀態下彈簧振子的運動對于理想的彈簧振子，我們只認為是在方向上的橫向振動，因此可以把它看做是自由度為一的保守系統

6、，設振子質量為,彈簧的彈性系數為，取為廣義坐標，則振子的動能為勢能為 則系統總能量為 (2-1)對于任何一個單自由系統，在以為廣義坐標下的無阻尼自由振動的運動微分方程可寫為對上式進行變換，可得其中圓頻率，則振動周期為 （2-2） 這就是未考慮彈簧質量的彈簧振子的振動周期。但在實際問題中，彈簧并非理想情況，有一定的質量。如果不考慮彈簧本身的質量，必然對整個振動周期的精確度帶來一定的影響。因此有必要考慮彈簧的質量來求出振子的振動周期。3 彈簧振子的等效質量我們假設彈簧是一根質量為的彈性棒，其自然長度為，如圖(3-1)所示：ALxldl圖3-1 彈簧振子等效圖dx忽略一切阻力，彈性棒的質量是均勻分布

7、的，設棒上任一點的距離為，則當振子產生一個的位移時，也將發生一個位移，顯然的位移小于產生的位移，因為的位移是整個彈性棒L的伸長量，而的位移只是彈簧中任一點到固定點的伸長量，所以的位移必然小于的位移。為了簡單合理地算出的位移，我們假定彈性棒各部分所發生的位移與它們到固定點的距離成正比，則的位移當時，即為固定點，時，即為的位移，顯然是合理的，那么這段微元的動能為 （3-1） 彈性棒在任一給定時刻的總動能為 （3-2）則在任一時刻，整個系統的能量為 （3-3）其中 因為彈性棒只在方向上振動，所以只有一個自由度，取為廣義坐標，則上式變為 （3-4）和（2-1）式對比，很顯然整個系統的等效質量增加，為，

8、那么它將對整個系統的振動產生怎樣的影響呢？由（3-3）可知，系統的哈密頓量為 （3-5）式中，哈密頓正則方程為 （3-6） （3-7）由式（3-6），（3-7）得其通解 （3-8）式中，易知 （3-9）可見，圓頻率、周期與彈簧的質量有關。4 在有阻尼情況下振子的振動狀態 對于單自由系統 ，以為廣義坐標（從平衡位置開始量取），則系統振動的微分方程可寫成為 （4-1）其中、和分別為振子的質量、阻尼系數和彈性系數。對上式進行變形為 (4-2)這就是有阻尼作用時，振子系統自由振動微分方程的標準形式，它是一個二階常系數線性齊次方程，其解可取為將上式代入（4-2）式，得特征方程上式的兩個根為因此方程（4-

9、2）的通解為 (4-3)此解中，特征根值不同時，彈簧振子的運動規律有很大的不同，下面分，三種不同情況進行討論。4.1 在情況下當時，特征方程的兩個根是一對共軛復根其中，這時微分方程(4-3)的解可以有歐拉公式寫成， ·· （4-1-1） 其中,和為兩個積分常數，由運動的初始條件確定。令（其中，）表示有阻尼振動的圓頻率。設初瞬時，則有由（4-4-1）式我們可以看出，物體在其平衡位置附近做往復運動，但因的值隨時間的增加而迅速減小，所以物體偏離其平衡位置的距離也迅速減小。這就是有阻尼情況下彈簧振子的自由振動，振動曲線如下圖所示。TdA qt0圖4-1-1 在情況下的振動圖 從嚴格

10、的意義上講，有阻尼的振動已不在是周期振動，但仍具有振動的特點，由此可將系統從一個最大偏離平衡位置到下一個最大偏離平衡位置所需的時間稱為衰減振動的周期，記為，如上圖所示，衰減振動的周期為 （4-1-2）或 （4-1-3） （4-1-4）可以看出，有阻尼自由振動的周期與相應的無阻尼自由振動的周期近似相等。 我們再來討論一下振幅衰減的情況，由（4-1-1）式可見，相當于振幅。設在某瞬時，系統在平衡位置某邊的最遠處，其振幅為經過一個周期后，即在瞬時，其系統的振幅為則兩相鄰振幅之比為 (4-1-5) 從上式我們可以看出，每經過一個周期振幅衰減的程度，對于一個給定的系統，振幅比永遠為一個常數，就是說振動系

11、統振幅的衰減是成線性變化的。4.2在情況下當時，我們把它稱為臨界阻尼情形，那么臨界阻尼系數為 （4-2-1）特征方程的根為相等的兩個實根，即則微分方程（4-2）的通解為 （4-2-2）其中和為兩個積分常數，由運動的初始條件決定。 在這種情形下，系統的運動是隨時間的增加而無限地趨向平衡位置的，因此運動已不具備振動的特點和性質，運動圖如4-2-1所示：t0=1圖4-2-1 在情況下的振動圖q4.3在情況下當時，我們把它稱為過阻尼情形，這時，特征方程有兩個不相等的實根其微分方程(4-2)的通解為其中和為兩個積分常數，由運動的初始條件決定。很顯然，此時的運動也是隨時間的增加而無限地趨于平衡位置，不再具

12、有振動的特性，運動如圖4-3-1所示。q0>1圖4-3-1 在情況下的振動圖t5 考慮彈簧的質量和摩擦阻尼時彈簧振子的振動周期若系統在流體中運動（如空氣），阻力不能忽略，在振子速度不太大情況下，阻力與速度大小成正比，與速度方向相反，振子微分方程變為 （5-1）式中，、均為常量，為阻力系數。將（5-1）式變形為上式為二階常系數線性微分方程，其特征方程為 （5-2）解式（5-2）得則式（5-1）的通解為 （5-3） 由上面我們知道一般，所以式（5-3）可變為 (5-4)其中,，令，則式（5-3）變為，其周期為用曲線擬合的方法，設式（5-4）為正（余）弦曲線，則曲線應滿足其中，用計算機軟件Ma

13、thcad繪出式（5-4）的波形圖，并用標準正弦函數擬合，如圖，3002001000-100-200-300234015圖5-1正弦曲線的擬合圖實驗圖像與理論圖像基本重合，說明式（5-4）所得曲線確實近似為一條正（余）弦曲線，擬合的標準正弦函數方程為6 結論 由以上我們討論的結果可知，當我們考慮了彈簧的質量和摩擦阻尼后，彈簧振子的振動周期與彈簧的質量和摩擦阻尼都有關。以上我們討論的是的情形，若或，那么，振子就不能振動，即系統處于臨界阻尼或過阻尼狀態。比較（2-2）和（3-9）兩式可知，考慮彈簧質量后周期變大，應注意，不要由的表達式而得出；考慮彈簧質量后的周期相當于無質量彈簧的一端系上質量的物體

14、振動的周期，因為在計算有質量彈簧的振動周期時，假設彈性棒各部分經過的位移正比于它們到固定點的距離，但這個假設只有在彈性棒各部分的拉力一樣時才成立，而振動中彈性棒的拉力是隨各部分的距離而變的，所得出的也是近似的，但比不考慮彈簧的質量又進了一步。在綜合考慮阻尼和彈簧質量情況下，又得到圓頻率和周期的修正值為顯然，這一結果更加的精確，在理論推導上又進了一步，解決了當前理論和實踐上的不足。參考文獻1 周衍柏.理論力學教程M.第三版.北京高等教育出版社,2009. 2 張祥東.理論力學M.第一版.重慶大學出版社,2002.3 梁昆淼.力學M.北京高等教育出版社,1965.4 張廣平.無阻尼單擺運動方程的復數解J.延邊大學學報，2009,35（4）.5 康文秀.彈簧質量對振子運動的影響J.保定師范專科學院學報,2004,17（2）：2527.6 黃兆梁.彈簧質量對振動的影響J.大學物理，1998，(3): 1216.7 李高清等.物理實驗M.甘肅科學技術出版社.2003.致 謝本文