1、習 題 一a 組 1. 判別是否為數域？解 是2. 設，求，解，3設，求的展開式中各項系數的和解 由于的各項系數的和等于，所以4. 求除以的商與余式(1) ；(2) 解 (1) 用多項式除法得到 所以， (2) 用多項式除法得到所以，5設是兩個不相等的常數，證明多項式除以所得余式為證明 依題意可設，則解得故所得余式為6. 問適合什么條件時，能被整除？(1) ，；(2) ，解 (1) 由整除的定義知，要求余式所以先做多項式除法，要求， 所以即時，可以整除(2) 方法同上先做多項式除法，所得余式為，所以，即或時，可以整除7. 求與的最大公因式:(1) ；(2) ；(3) 解 (1) 用輾轉相除法得

2、到用等式寫出來，就是，所以(2) 同樣地，所以.(3) 同樣用輾轉相除法，可得 8. 求使：(1) ：(2) ：(3) 解 (1) 利用輾轉相除法，可以得到，因而，并且所以(2) 利用輾轉相除法，可以得到，因而，并且所以(3) 利用輾轉相除法，可以得到，因而，并且所以9. 設的最大公因式是一個二次多項式，求的值解 利用輾轉相除法，可以得到 ， 由題意，與的最大公因式是一個二次多項式，所以解得10. 設，求和解 用去除，得余式，由題意要求知，即解得11. 證明：如果，那么證明 由條件可知，存在和使得，存在和使得用乘以第一式得，代入第二式得，即，所以12. 證明：如果與不全為零，且，那么證明 由于

3、，與不全為零，所以兩邊同時除以，有，所以13. 證明：如果，且為與的一個組合，那么是與的一個最大公因式證明 由題意知是與的公因式再由條件設 又設為與的任一公因式，即，則由上式有 故而是與的一個最大公因式14. 證明：，其中的首項系數為1證明 顯然是與的一個公因式下面來證明它是最大公因式設滿足，則由上題結果知，是與的一個最大公因式，又首項系數為1，所以15. 設多項式與不全為零，證明證明 設，則存在多項式，使因為與不全為零，所以上式兩邊同時除以，有 ，故成立16分別在復數域、實數域和有理數域上分解為不可約因式之積解 在實數域上的分解式為在復數域上的分解式為在有理數域上是不可約多項式否則，若可約，

4、有以下兩種可能（1）有一次因式，從而它有有理根，但，所以無有理根（2）無一次因式，設，其中為整數于是，又分兩種情況：，又 ，從而由 ，得，矛盾；，則，矛盾綜合以上情況，即證17. 求下列多項式的有理根：(1) ；(2) ；(3) 解 (1)由于是首項系數為1的整系數多項式，所以有理根必為整數根，且為的因數的因數有：，計算得到：故是的有理根再由多項式除法可知，是的單根(2) 類似（1）的討論可知，的可能的有理根為：，計算得到，故是的有理根再由多項式除法可知，是的2重根(3) 類似地，的可能的有理根為：，計算得到故，是的有理根再由多項式除法可知，是的4重根，是的單根18若實系數方程有一根（為實數，

5、），則方程有實根證明 設原方程有三個根不失一般性，令，從而有 ，由根與系數的關系可知，所以，即，故這說明有實根19. 證明：如果，那么證明 因為，所以 因此，令，則有，即20. 下列多項式在有理數域上是否可約？(1) ；(2) ；(3) ；(4) ，p為奇素數；(5) ，k為整數解 （1）的可能的有理根為：，而，所以它在有理數域上不可約（2）由eisenstein判別法，取素數，則不能整除1，而 ，但是不能整除2，所以該多項式在有理數域上不可約（3）令，代入有取素數，由eisenstein判別法知，在有理數域上不可約，所以在有理數域上不可約(4) 令，代入，得，取素數，由eisenstein判

6、別法知，在有理數域上不可約，所以在有理數域上不可約(5) 令，代入，得，取素數，由eisenstein判別法知，在有理數域上不可約，所以在有理數域上不可約b 組 1設，是實數域上的多項式，(1) 若，則(2) 在復數域上，上述命題是否成立？證明 (1）當時，有，所以，命題成立如果，不全為零，不妨設當時，為奇數；當時，因為，都是實系數多項式，所以與都是首項系數為正實數的奇次多項式，于是也有為奇數而這時均有，且為偶數，矛盾因此有，從而有(2) 在復數域上，上述命題不成立例如，設，其中為自然數，有，但，2. 設，滿足,證明. 證明 兩式相加得到.由可知.兩式相減得到.故，即.3設，證明(1) 若，則

7、；(2) 若，是否有?解 (1) 因為，故存在多項式，使得于是由于，故有，即(2) 否例如取，雖然且，但不能整除4當為何值時，和的最大公因式是一次的？并求出此時的最大公因式 解 顯然當時，則當時，則這時5證明：對于任意正整數，都有 證明 由題意可知與不全為零令，則，從而，所以對任意正整數，有，于是有，即 又由，有，因此是與的首項系數為1的最大公因式，從而有6. 設且，證明證明 設，則由于 ，故又設，由上式及，可得， ，從而 ，于是 ，即也是和的最大公因式，即7設，且與不全為零，證明是與的一個最大公因式的充分必要條件是證明 必要性若是與的一個最大公因式，則存在多項式使， 于是由與不全為零知，因此

8、有，即充分性若，則存在多項式，使兩邊同時乘有由是與的一個公因式知，是與的一個最大公因式8設和是兩個多項式，證明當且僅當證明 必要性設，若與不互素，則有不可約公因式，使，所以或不妨設，由可知，因此是和的公因式，與互素矛盾，故與互素充分性設，則存在使，上式說明9. 如果，那么，證明 的兩個根為和，所以，因為，所以，故有即解得，從而，10. 若，則的根只能是零或單位根證明 因為，故存在多項式，使設為的任一根，即，則也就是說，當為的一根時，也為的一根依此類推，可知也是的根由于的根的個數有限，故必定存在正整數(不妨設)，使得，于是有即，或者，即為單位根11. 設是一個整系數多項式，且都是奇數，則沒有整數根證明 設，假設有整數根，則整除，即，其中商式也是一個整系數多項式事實上，設，代入上式并比較兩端同次冪系數，得，因為是一個整系數多項式，所以，也是整數，令分別代入展開式，得由于都是奇數，則及都必須是奇數，這是不可能的，所以，不能有整數根12證明對于任意非負整數，都有 證明 設