1、1章末復習第二章隨機變量及其分布2學習目標1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念.2.理解離散型隨機變量及分布列，并掌握兩個特殊的分布列二項分布和超幾何分布.3.理解離散型隨機變量的均值、方差的概念，并能應用其解決一些簡單的實際問題.4.了解正態分布曲線特點及曲線所表示的意義.3知識梳理達標檢測題型探究內容索引4知識梳理51.離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列(1)如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量；所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量.(2)若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概

2、率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn6為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有性質：pi 0，i1,2，n； .離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的 .1概率之和72.兩點分布兩點分布如果隨機變量X的分布列為X10Ppq其中0p0).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數，則P(B|A) .(2)條件概率具有的性質： ；如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A) .條件概率P(B|A)0P(B|A)1P(B|A)P(C|A)105.相互獨立事件相互獨立事件(1)對于事件A，B，若A的發生與B的發生互不影響，則稱_.

3、(2)若A與B相互獨立，則P(B|A) ，P(AB)P(B|A)P(A) .(3)若A與B相互獨立，則 ， ， 也都相互獨立.(4)若P(AB)P(A)P(B)，則 .A，B是相互獨P(B)A與B相互獨立立事件P(A)P(B)116.二項分布二項分布(1)獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有 種結果，即要么發生，要么不發生，且任何一次試驗中發生的概率都是一樣的.(2)在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P(Xk) ，此時稱隨機變量X服從 ，記為 ，并稱p為成功概率.二項分布XB(n，p)

4、兩127.離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X) 為隨機變量X的均值或 ，它反映了離散型隨機變量取值的 .x1p1x2p2xipixnpn平均水平數學期望13(2)方差稱D(X) 為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的 ，其算術平方根 為隨機變量X的 .(3)均值與方差的性質E(aXb) .D(aXb) .(a，b為常數)(4)兩點分布與二項分布的均值、方差若X服從兩點分布，則E(X) ，D(X) .若XB(n，p)，則E(X) ，D(X) .標準差平均偏離程度aE(X)ba2D

5、(X)pp(1p)npnp(1p)14(1)正態曲線：函數，(x) ，x(，)，其中和為參數(0，R).我們稱函數，(x)的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線.(2)正態曲線的性質：曲線位于x軸 ，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線 對稱；8.正態分布正態分布22()2exx上方15曲線在 處達到峰值 ；曲線與x軸之間的面積為 ；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著 的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當一定時，曲線的形狀由確定， ，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中； ，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.1x越小越大16(3)正態分布的定義及表示如 果 對 于 任 何 實

6、 數 a ， b ( a b ) ， 隨 機 變 量 X 滿 足 P ( a X b ) ，則稱隨機變量X服從正態分布，記作 .正態總體在三個特殊區間內取值的概率值P(X) ；P(2X2) ；P(3X3) .XN(，2)0.682 60.954 40.997 417題型探究18例例1設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變量表示方程x2bxc0實根的個數(重根按一個計).求在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程x2bxc0有實根的概率.類型一條件概率的求法解答19解解記“先后兩次出現的點數中有5”為事件M，則基本事件總數為6636.其中先后兩次出現的點數中有5，共有11種.記“方程

7、x2bxc0有實根”為事件N，若使方程x2bxc0有實根，b，c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，當先后兩次出現的點數中有5時，若b5，則c1,2,3,4,5,6；20在先后兩次出現的點數中有5的條件下，21反思與感悟反思與感悟條件概率是學習相互獨立事件的前提和基礎，計算條件概率時，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發生的概率.一般地，計算條件概率常有兩種方法 在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時發生的基本事件個數；n(A)是指事件A發生的基本事件個數.22跟蹤訓練跟蹤訓練1已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100個男人和100個女人中任選一人.(1)求此人患色盲的

8、概率；解解設“任選一人是男人”為事件A，“任選一人是女人”為事件B，“任選一人是色盲”為事件C.此人患色盲的概率P(C)P(AC)P(BC)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)解答23(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率.(以上各問結果寫成最簡分式形式)解答24例例2天氣預報，在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為 ，至少有一個地方降雨的概率為 ，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在這段時間甲、乙兩地降雨互不影響.(1)分別求甲、乙兩地降雨的概率；類型二相互獨立事件的概率與二項分布解答解解設甲、乙兩地降雨的事件分別為A，B，且P(A)x，P(B)y.25(2)在甲、乙兩地3天假期中，

9、僅有一地降雨的天數為X，求X的分布列、均值與方差.解答26解解在甲、乙兩地中，僅有一地降雨的概率為X的可能取值為0,1,2,3.27所以X的分布列為28反思與感悟反思與感悟(1)求相互獨立事件同時發生的概率需注意的三個問題“P(AB)P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨立的充要條件，也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具.涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務必分清事件間的相互關系.公式“P(AB)1P( )”常應用于相互獨立事件至少有一個發生的概率.29(2)二項分布的判定與二項分布有關的問題關鍵是二項分布的判定，可從以下幾個方面判定：每次試驗中，事件發生的概率是相同的.各次試驗

10、中的事件是相互獨立的.每次試驗只有兩種結果：事件要么發生，要么不發生.隨機變量是這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數.30跟蹤訓練跟蹤訓練2在一次抗洪搶險中，準備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個巨大汽油罐，已知只有5發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是 .(1)求油灌被引爆的概率；解解油罐引爆的對立事件為油罐沒有引爆，沒有引爆的可能情況是：射擊5次只擊中一次或一次也沒有擊中，解答31(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為，求不小于4的概率.解解當4時，記事件為A，解答當5時，意味著前4次射擊只擊中一次或一次也未擊中，記為事件

11、B.32例例3為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；解解設顧客所獲的獎勵額為X，類型三離散型隨機變量的均值與方差解答33顧客所獲的獎勵額的分布列及均值；解解依題意得X的所有可能取值為20,60，解答即X的分布列為34(2)商場對獎勵總額的預算是60 000元，并規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成

12、.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.解答35解解根據商場的預算，每位顧客的平均獎勵額為60元，所以先尋找均值為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元.如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1，對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40

13、,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2，36以下是對這兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為37對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為由于兩種方案的獎勵額的均值都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1小，所以應該選擇方案2.38反思與感悟反思與感悟求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能的全部取值；(2)求X取每個值的概率或求出函數P(Xk)；(3)寫出X的分布列；(4)由分布列和均值的定義求出E(X)；(5)由方差的定義

14、，求D(X)，若XB(n，p)，則可直接利用公式求，E(X)np，D(X)np(1p).39跟蹤訓練跟蹤訓練3某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X3為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執行標準.(1)已知甲廠產品的等級系數X1的分布列如下表：解答X15678P0.4ab0.1且X1的均值E(X1)6，求a，b的值；40解解E(X1)6，50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.41(2

15、)為分析乙廠產品的等級系數X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：353385563463475348538343447567用該樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的均值；解答42解解由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用該樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數X2的分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙廠產品的等級系數的均值為4.8.43(3)在(1)(2)的條件下，

16、若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具有可購買性？說明理由.解解乙廠的產品更具有可購買性，理由如下：甲廠產品的等級系數的均值為6，價格為6元/件，解答乙廠產品的等級系數的均值等于4.8，價格為4元/件，乙廠的產品更具有可購買性.“性價比”高的產品更具有可購買性.44重量kg9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8合計包數11356193418342121100例例4為了評估某大米包裝生產設備的性能，從該設備包裝的大米中隨機抽取100袋作為樣本，稱其重量為類型四正態分布的應用45解答經計算：樣本的平均

17、值10.10，標準差0.21.(1)為評判該生產線的性能，從該生產線中任抽取一袋，設其重量為X(kg)，并根據以下不等式進行評判.P(X)0.682 6；P( 2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4；若同時滿足三個不等式，則生產設備為甲級；滿足其中兩個，則為乙級；僅滿足其中一個，則為丙級；若全不滿足，則為丁級.請判斷該設備的等級；46解解由題意得所以該生產設備為丙級.47(2)將重量小于或等于2與重量大于2的包裝認為是不合格的包裝，從設備的生產線上隨機抽取5袋大米，求其中不合格包裝袋數Y的均值E(Y).解答48反思與感悟反思與感悟正態曲線的應用及求解策略解答此類題目的關鍵在于將待求

18、的問題向(，(2，2，(3，3這三個區間進行轉化，然后利用上述區間的概率求出相應概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數形結合思想.49跟蹤訓練跟蹤訓練4某市去年高考考生成績X服從正態分布N(500,502)，現有25 000名考生，試確定考生成績在550分600分的人數.解解考生成績XN(500,502)，500，50，P(550X600)解答故考生成績在550分600分的人數約為25 0000.135 93 398.50達標檢測511.拋擲一枚骰子，觀察出現的點數，若已知出現的點數不超過4，則出現的點數是奇數的概率為解析解析設拋擲一枚骰子出現的點數不超過4為事件A，拋擲一枚骰子出現的點數是奇數為事件B，答案解析1234552答案解析12345531234554答案解析3.某班有50名學生，一次考試后的數學成績N(110,102)，若P(100110)0.34，則估計該班學生的數學成績在120分以上(含120分)的人數為A.10 B.9 C.8 D.7解析解析數學成績服從正態分布N(110,102)，且P(100110)0.34，12345該班數學成績在120分以上的人數為0.16508.55答案解析4.設隨機變量的分布列為P(k)m ，k1,2,3，則m的值為 .解析解析因為P(1)P(2)P(3)1，12