1、最新資料推薦先包含A - B重疊部分AB計算了 2次，多加了 1次;2.再排除一一A + BAP1B把多加了 1次的重疊部分 AB減去.7-7-1.容斥原理之重疊問題、_ 一一_亠目也怔 教學目標1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用.刎1世 知識要點、兩量重疊冋題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算求兩個集合并集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重復計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成： AJB=A+BAp|B（其中符號“”讀作并”，相當于中文 和”或者 或”的意思；符

2、號 “ 讀作 交”，相當于中文 且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下：A表示小圓部分，B表示大圓部分， C表示大圓與小圓的公共部分，記為： AB，即陰影面積圖示如下：A表示小圓 部分，B表示大圓部分， C表示大圓與小圓的公共部分，記為： AB，即陰影面積.4包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B的并集AUB的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合 A、B的元素個數，然后加起來，即先求A B（意思是把A、B的一切元素都 包含”進來，加在一起）;第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C=AB（意思是 排除”了重復計算的元素個數）.二、三量重疊問

3、題A類、B類與C類元素個數的總和 A類元素的個數 B類元素個數 C類元素個數-既是A類又是B類 的元素個數-既是B類又是C類的元素個數-既是A類又是C類的元素個數同時是A類、B類、C類的元 素個數.用符號表示為： A UB UC二A B C -AflB -BC -AflC - Bd C .圖示如下：f 圖中小圓表示 A的元素的個數，中圓表示 B的元素的個數，大圓表示C的元素的個數.n nr A + B+C、AP|B、bP1C、CPlA 重疊了 2次，多加了 1 次. A+B+C-AriB-BDc - ADC aPIbPIC重疊了 3次，但是在進行 A+B+C- aDb bPIc aDc計算時都

4、被減掉了.3再包含：A +B +C AB bDc APlC +A門 B C在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓（韋恩圖）來幫助分析思考.目nm 例題精講兩量重疊冋題【例1】 小明喜歡：踢足球、上網、游泳、音樂、語文、數學；小英喜歡：數學、英語、音樂、陶藝、跳繩。用圓A、圓B分別表示小明、小英的愛好，如圖所示，則圖中陰影部分表示【考點】兩量重疊問題【難度】1星【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第3題【解析】陰影部分是兩人都愛好的：數學、音樂【答案】數學、音樂【例2】 四（1）班全體同學站成一排，當從左向右報數時，小華報: 那么該班有學生名。【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關鍵詞】

5、希望杯，四年級，二試，第2題【解析】該班學生人數為：18 73-1=30 （名）。【答案】30名18;當從右向左報數時，小華報：13.【例3】 實驗小學四年級二班,參加語文興趣小組的有28人，參加數學興趣小組的有 29人，有12人兩個小組都參加這個班有多少人參加了語文或數學興趣小組?【考點】兩量重疊問題【難度】1星【解析】如圖所示，A圓表示參加語文興趣小組的人，B圓表示參加數學興趣小組的人，A與B重合的部分C （陰影部分）表示同時參加兩個小組的人圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數學興趣小組的人，有 28-12=16（人）;圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數學興趣小組未參 加語

6、文興趣小組的人，有 29-12=17（人）方法一：由此得到參加語文或數學興趣小組的有：16*12 *17=45（人）方法二：根據包含排除法，直接可得：參加語文或數學興趣小組的人=參加語文興趣小組的人 +參加數學興趣小組的人 -兩個小組都參加的人，即：28 +2912=45（人）【答案】45人【鞏固】芳草地小學四年級有 58人學鋼琴，43人學畫畫，37人既學鋼琴又學畫畫，問只學鋼琴和只學畫畫 的分別有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】1星 【題型】解答【解析】 解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時注意把不同的對象 與不同的區域對應清楚.建議教師幫助學生畫圖分析

7、，清楚的分析每一部分的含義.最新資料推薦如圖，A圓表示學畫畫的人，B圓表示學鋼琴的人，C表示既學鋼琴又學畫畫的人，圖中A圓不含陰影的部分表示只學畫畫的人，有：4337=6（人），圖中B圓不含陰影的部分表示只學鋼琴的人，有：5837 =21（人）【答案】21人【鞏固】四（二）班有48名學生，在一節自習課上，寫完語文作業的有30人，寫完數學作業的有 20人，語文數學都沒寫完的有 6人.問語文數學都寫完的有多少人？ 只寫完語文作業的有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】 由題意，有48 -6 =42（人）至少完成了一科作業，根據包含排除原理，兩科作業都完成的學生有：30 20

8、 -42=8（人） 只寫完語文作業的人數 二寫完語文作業的人數-語文數學都寫完的人數，即30-8 =22（人）【答案】22人【鞏固】四（1）班有46人，其中會彈鋼琴的有 30人，會拉小提琴的有 28人，則這個班既會彈鋼琴又會拉 小提琴的至少有人。【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第6題【解析】 至少一項不會的最多有（46-30）+（46-28）=34,那么兩項都會的至少有 46-34=12人【答案】12人 【例4】 如圖，圓A表示1到50這50個自然數中能被 3整除的數，圓B表示這50個數中能被5整除的數,則陰影部分表示的數是【考點】兩量重疊問題【難度

9、】1星【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第4題【解析】陰影部分是A和B共有的，即1到50這50個自然數中能被 35= 15整除的數，即15, 30, 45【答案】15 , 30 , 45【例5】 學校為了豐富學生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學們踴躍報名參加，其中有321人報名參加乒乓球俱樂部，429人報名參加了籃球俱樂部，但學校最后發現有50人既報名參加了乒乓球俱樂部，又報名參加了籃球俱樂部，還有23人什么俱樂部都沒報名，問該學校共有名學生.【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第5題【解析】321 - 429 -50 23 =723人【答案】

10、723人【例6】 某班共有46人，參加美術小組的有 12人，參加音樂小組的有 23人，有5人兩個小組都參加了 這 個班既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】已知全班總人數，從反面思考，找出參加美術或音樂小組的人數，只需用全班總人數減去這個人數， 就得到既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的人數根據包含排除法知，該班至少參加了一個小組 的總人數為12+23-5=30 （人）.所以，該班未參加美術或音樂小組的人數是46-30 = 16（人）【答案】16人【鞏固】四年級一班有45人，其中26人參加了數學競賽，22人參加了作文比賽，12人兩項比賽都

11、參加了. 班有多少人兩項比賽都沒有參加？最新資料推薦【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】由包含排除法可知，至少參加一項比賽的人數是：26 22 _12 =36（人），所以，兩項比賽都沒有參加的人數為： 4536 =9（人）【答案】9人【鞏固】 實驗二校一個歌舞表演隊里，能表演獨唱的有10人，能表演跳舞的有 18人，兩種都能表演的有 7人.這個表演隊共有多少人能登臺表演歌舞？【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答【解析】根據包含排除法，這個表演隊能登臺表演歌舞的人數為：10/8-7 = 21（人）【答案】21人【例7】 全班50個學生，每人恰有三角板或直尺中的一種，28人有

12、直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生 31人，那么有直尺的女生有 。【考點】兩量重疊問題【難度】1星【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，初賽，第8題【解析】有三角板的學生共 50-28=22 （人），其中女生22-14=8 （人），那么有直尺的女生有 31-8=23 （人）。 【答案】23人12人得滿分，第一部分有25人做對，第二部分有19人有【例8】 某次英語考試由兩部分組成，結果全班有 錯，問兩部分都有錯的有多少人？/只做對只做對第一部;分全第二部對的/分的兩部分都有錯的丿【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長方形表示參加考試的人數，A圓表示第一部分對的

13、人數.B圓表示第二部分對的人數，長方形中陰影部分表示兩部分都有錯的人數.已知第一部分對的有 25人，全對的有12人，可知只對第一部分的有： 25-12 = 13（人）.又因為第二 部分有19人有錯，其中第一部分對第二部分有錯的有 13人，那么余下的19-13 = 6（人）必是第一部分 和第二部分均有錯的，兩部分都有錯的有 6人.【答案】6人20人，會打籃球的有25人兩項都會的有10人，兩項都不會的【例9】對全班同學調查發現，會游泳的有 有9人.這個班一共有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長方形表示全班人數，A圓表示會游泳的人數，B圓表示會打籃球的人數，長方形

14、中陰影部分表示兩項都不會的人數.由圖中可以看出，全班人數 二至少會一項的人數兩項都不會的人數，至少會一項的人數為：20 *25-10 =35（人），全班人數為：35 9=44 （人）.【答案】44人【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32人，參加軍棋比賽的有 28人，有18人兩項比賽都參加了，這個班參加棋類比賽的共有多少人？最新資料推薦【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，A圓表示參加象棋比賽的人，B圓表示參加軍棋比賽的人，A與B重合的部分表示同時參加兩項比賽的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有 32 -18=14（人）；圖中B

15、圓不含陰影的部分表 示只 參加軍 棋比賽不參加象 棋比賽 的人，有 2818 =10（人）.由此得到參加棋類比賽的人有14 18 10 =42（人）.或者根據包含排除法直接得：32+28-18 = 42（人）.【答案】42人【例10】在46人參加的采摘活動中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有7人，既沒采櫻桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？14【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長方形表示全體采摘人員 46人，A圓表示采了櫻桃的人數，B圓表示采了杏的人數長方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數.由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數與兩種都

16、沒采的人數之和，則至少采了一種的人數為：46 -6 =40（人），而至少采了一種的人數 二只采了櫻桃的人數兩種都采了的人數只采了杏 的人數，所以，只采了杏的人數為：40-18-7 =15（人）.【答案】15人【例11】甲、乙、丙三個小組學雷鋒，為學校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了 60塊玻璃那么，甲、乙、丙三個小組各擦了多少塊玻璃？【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】68塊玻璃不是甲組擦的，說明這68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組擦的，說明這52塊玻璃是甲、丙兩組擦的.如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的68塊玻璃，B圓表

17、示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃.因甲乙兩組共擦了 60塊玻璃，那么68 *52 -60=60（塊）,這是兩個丙組擦的玻璃數.60-：-2=30（塊）.丙組擦了 30塊玻璃乙組擦了：68-30 =38（塊）玻璃，甲組擦了：52-30 = 22（塊）玻璃.【答案】甲組擦了：52-30 =22（塊）玻璃，乙組擦了：68-30 =38（塊）玻璃，丙組擦了 30塊玻璃。15幅畫不是五年級的，五、【例12】育才小學畫展上展出了許多幅畫，其中有 16幅畫不是六年級的，有 六年級共展出25幅畫，其他年級的畫共有多少幅？【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】 通過16幅畫不是六年級的可以知道，五年級

18、和其他年級的畫作數量之和是16,通過15幅畫不是五年級的可以知道六年級和其他年級的畫作數量之和是15,那也就是說五年級的畫比六年級多1幅，我們還知道五、六年級共展出 25幅畫，進而可以求出五年級畫作有13幅，六年級畫作有12幅，那么久可以求出其他年級的畫作共有3幅.【答案】3幅最新資料推薦【例13】47名學生參加數學和語文考試，其中語文得分95分以上的14人，數學得分95分以上的21人，兩門都不在95分以上的有22人.問：兩門都在 95分以上的有多少人？語文兩門數學95分95分95分以上以上以上的A.的的b兩門都不在95分以.上的.【考點】兩量重疊問題【難度】2星 【題型】解答【解析】如圖，用

19、長方形表示這 47名學生，A圓表示語文得分95分以上的人數，B圓表示數學得95分以上 的人數，A與B重合的部分表示兩門都在 95分以上的人數，長方形內兩圓外的部分表示兩門都不在 95分以上的人數.由圖中可以看出，全體人數是至少一門在 95分以上的人數與兩門都不在 95分以上的人數之和， 則至 少一門在95分以上的人數為：47-22 =25（人）根據包含排除法，兩門都在95分以上的人數為：14 21 -25=10（人）.【答案】10人【鞏固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，83人懂俄語問既懂英語又懂俄語的有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【

20、關鍵詞】迎春杯【解析】方法一：在100人中懂英語或俄語的有：100-10=90（人）.又因為有75人懂英語，所以只懂俄語的 有：90-75=15（人）從83位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人，剩下的83-15 =68（人）就是既懂英語又懂俄語的旅客.方法二：學會把公式進行適當的變換，由包含與排除原理，得：A UB =A B aDb =75 83 90 =68（人）.【答案】68人 【例14】一個班48人，完成作業的情況有三種：一種是完成語文作業沒完成數學作業；一種是完成數學作業沒完成語文作業；一種是語文、數學作業都完成了.已知做完語文作業的有37人；做完數學作業的有42人.這些人中語文、數學作業

21、都完成的有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】不妨用下圖來表示:完成數學件業的人數DB表示做完數學作業的人數，重線段AB表示全班人數，線段 AC表示做完語文作業的人數，線段 疊部分DC則表示語文、數學都做完的人數.根據題意，做完語文作業的有37人，即AC =37 .做完數學作業的有 42人，即DB =42 .AC DB =37 42 =79（人） AB=48（人）式減式，就有DC =79 -48=31（人），所以，數學、語文作業都做完的有31人.【答案】31人【鞏固】 四年級科技活動組共有 63人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發現：剪

22、貼好一輛汽車模型的同學有42人，裝配好一架飛機模型的同學有34人每個同學都至少完成了一項活動問：同時完成這兩項活動的同學有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】2星 【題型】解答【解析】因42 34 =76, 76 63，所以必有人同時完成了這兩項活動.由于每個同學都至少完成了一項活動，根據包含排除法知，42 +34-（完成了兩項活動的人數 ）=全組人數，即76-（完成了兩項活動的人數）=63.由減法運算法則知，完成兩項活動的人數為76 -63=13（人）.也可畫圖分析.最新資料推薦【答案】13人 【鞏固】 科技活動小組有55人在一次制作飛機模型和制作艦艇模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發現：制作好一架飛機模型的同學有40人，制作好一艘艦艇的同學有 32人每個同學都至少完成了一項制作問兩項制作都完成的同學有多少人？【考點】兩量重疊問題【難度】2星【解析】因為40 32 =72 , 72.55，所以必有人兩項制作都完成了 由于每個同學都至