1、第四節一、幾種常見的曲面及其方程一、幾種常見的曲面及其方程二、二次曲面二、二次曲面 三、曲線三、曲線曲面與曲線 第七七章 由兩點間距離公式1. 空間一動點到定點的距離為定值，該動點軌跡叫球面。),(zyxM),(0000zyxM特別,當M0在原點時,球面方程為 設軌跡上動點為定值為R，定點xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx定點叫球心，定值叫半徑。例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A

2、 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面, 或點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyxxyzxyzol2、柱面、柱面. 平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 拋物柱面拋物柱面, 橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byax經過z 軸的平面平面.0 yx以上的柱面母線都平行于Z軸 CC 叫做準線準線, l 叫做母線母線.xyzoooClM1M222Ryx圓柱面圓柱面xzy2l一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線

3、xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l一條平面曲線3 3、旋轉曲面、旋轉曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面旋轉曲面.該定直線稱為旋轉旋轉軸軸 . .例如例如 :l l建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為, ),(zyxM當繞 z 軸旋轉時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0

4、),(22zyxf則有該點轉到0),(zyfozyxC思考：思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例例3. 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyMxy例例4. 求坐標面 xoz 上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉122222czyax繞 z 軸旋轉122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉雙曲

5、面.所成曲面方程為所成曲面方程為z二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數不全為 0 )zyx1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢

6、圓：1zz (4) 當 ab 時為旋轉橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數)z2. 拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.( p , q 同號)zyx3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy

7、),(1222222為正數cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面4. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓

8、在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz內容小結內容小結1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222bya

9、x22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax設有兩塊曲面S1, S2, 它們的方程依次為:S1: F (x, y, z) = 0S2: G (x, y, z) = 0S1 , S2的交線C上的點一定同時滿足這兩個方程,而不在交線上的點絕不會同時滿足這兩個方程.因此0),(0),(zyxGzyxF即為交線C的方程, 稱為空間曲線C的一般方程.(2)二、空間曲線及其方程二、空間曲線及其方程1. 空間曲線的一般方程2SL0),(zyxF0),(zyxG1S2. 空間曲線的參數方程將曲線C上動點的坐標x, y, z都表示成一個參數t的函數.x = x (t)y = y (t) (3)z = z (t

10、)當給定 t = t1時, 就得到C上一個點(x, y, z), 隨著 t的變動便可得曲線C上的全部點. 方程組(2)叫做空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程.例例6: 如果空間一點 M 在圓柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 繞 z 軸旋轉, 同時又以線速度v 沿平行于z 軸的正方向上升(其中,v都是常數), 那末點M 構成的圖形叫做螺旋線螺旋線, 試建立其參數方程. 解解: 取時間t為參數, 設當t = 0時, 動點位于x軸上的一點 A(a, 0, 0)處, 經過時間t, 由A運動到M(x, y, z), M在xOy面上的投影為M (x, y, 0).xyzhAOMtM(1) 動點

11、在圓柱面上以角速度 繞z軸旋轉, 所以經過時間t, AOM = t. 從而x = |OM | cosAOM = acos ty = |OM | sinAOM = asin t(2) 動點同時以線速度v沿 z 軸向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋線的參數方程x = acos ty = asin tz = vt 注注: 還可以用其它變量作參數.xyzAOMtMyxzAOMtM例如例如: 令 = t. 為參數; 螺旋線的參數方程為:x = acos y = asin z = b . vb 這里這里當從 0變到 0 + 是, z由b 0變到 b 0+ b ,即M點上升的高度與OM 轉過的角度

12、成正比.特別, 當 = 2 時, M點上升高度h = 2 b, h在工程上稱 h = 2 b為螺距.3. 空間曲線在坐標面上投影設空間曲線C的一般方程F (x, y, z) = 0G (x, y, z) = 0(4)由方程組(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5)方程(5)表示一個母線平行于z 軸的柱面, 曲線 C 一定在柱面上.xyzooC空間曲線 C 在 x O y 面上的曲線必定包含于:投影H (x, y) = 0z = 0注注: 同理可得曲線在yOz面或xOz面上的投影曲線方程.例例7: 已知兩個球面的方程分別為:x2 + y2 + z2 = 1和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它們的交線C在xOy面上的投影曲線的方程.解: 聯立兩個方程消去 z ,得01)21(4222zyx1)21(4222yx兩球面的交線C 在 x O y 面上的投影曲線方程為橢圓柱面設一個立體由上半球面