1、13.2.3直線與平面的位置關系第1課時直線與平面平行 必備知識必備知識自主學習自主學習1.1.直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系導思導思1.1.直線與平面有幾種位置關系直線與平面有幾種位置關系? ?2.2.如何判定直線與平面平行如何判定直線與平面平行? ?位置位置關系關系直線直線a a在在平面平面內內直線直線a a在平面在平面外外直線直線a a與平面與平面相交相交直線直線a a與平面與平面平行平行公共點公共點有有_公共點公共點_公共點公共點_公共點公共點無數個無數個有且只有一個有且只有一個沒有沒有位置位置關系關系直線直線a a在在平面平面內內直線直線a a在平面在平面外外直線直線a a

2、與平面與平面相交相交直線直線a a與平面與平面平行平行符號表示符號表示_圖形表示圖形表示 a aaa=a=aaa2.2.直線與平面平行的判定定理直線與平面平行的判定定理文字語言文字語言如果平面外一條直線與如果平面外一條直線與_的一條直線的一條直線_,_,那么該直線與此平面平行那么該直線與此平面平行符號語言符號語言 aa圖形語言圖形語言 a_ b ab此平面內此平面內平行平行【思考【思考】一條直線與平面內的一條直線平行一條直線與平面內的一條直線平行, ,那么該直線與此平面一定平行嗎那么該直線與此平面一定平行嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,該直線也可能在平面內該直線也可能在平面內. .3.

3、3.直線與平面平行的性質定理直線與平面平行的性質定理文字語言文字語言一條直線與一個平面平行一條直線與一個平面平行, ,如果過該直線的平面與此平如果過該直線的平面與此平面相交面相交, ,那么該直線與交線平行那么該直線與交線平行符號語言符號語言 lmm圖形語言圖形語言 _llm 【基礎小測【基礎小測】1.1.辨析記憶辨析記憶( (對的打對的打“”,”,錯的打錯的打“”)”)(1)(1)若直線若直線l平行于平面平行于平面內的無數條直線內的無數條直線, ,則則l. . ( () )(2)(2)若直線若直線a a在平面在平面外外, ,則則aa. . ( () )(3)(3)若直線若直線abab= = ,

4、b,b, ,則則aa. . ( () )(4)(4)若直線若直線aa平面平面,則直線則直線a a平行于平面平行于平面內的無數條直線內的無數條直線. .( () )提示提示: :(1)(1). .l也可能在平面也可能在平面內內. .(2)(2). .直線直線a a也可能和平面也可能和平面相交相交. .(3)(3). .直線直線a a與平面與平面的位置關系可以是的位置關系可以是aa或或a a或或a a與平面與平面相交相交. .(4).(4).過過a a可以作無數個平面與平面可以作無數個平面與平面相交相交,a,a和所有交線平行和所有交線平行. .2.2.如果直線如果直線abab, ,且且aa平面平面

5、,那么那么b b與平面與平面的位置關系是的位置關系是_._.【解析【解析】若若abab, ,且且aa平面平面,則則b b與平面與平面的位置關系如圖所示的位置關系如圖所示. . 答案答案: :bb或或b b3.(3.(教材二次開發教材二次開發: :練習改編練習改編) )能保證直線能保證直線a a與平面與平面平行的條件是平行的條件是_(_(填填序號序號).).(1)b(1)b,ab;,ab;(2)b(2)b,c,ab,ac;,c,ab,ac;(3)b(3)b,a,ba,c,db,a,ba,c,db,且且acbd;acbd;(4)a(4)a ,b,b,ab.,ab.【解析【解析】由直線與平面平行的判

6、定定理可知由直線與平面平行的判定定理可知(4)(4)正確正確. .答案答案: :(4)(4)關鍵能力關鍵能力合作學習合作學習類型一直線與平面平行的判定類型一直線與平面平行的判定( (邏輯推理邏輯推理) )【題組訓練【題組訓練】1.1.下面說法中正確的個數是下面說法中正確的個數是( () )如果如果a,ba,b是兩條直線是兩條直線,ab,ab, ,那么那么a a平行于經過平行于經過b b的任何一個平面的任何一個平面; ;如果直線如果直線a a和平面和平面滿足滿足aa, ,那么那么a a與平面與平面內的任何一條直線平行內的任何一條直線平行; ;如果直線如果直線a,ba,b和平面和平面滿足滿足ab,

7、a,bab,a,b , ,那么那么bb. .a.0a.0b.1b.1c.2c.2d.3d.32.2.若直線若直線l與平面與平面不平行不平行, ,則下列結論正確的是則下列結論正確的是_.(_.(填序號填序號)內的所有直線都與直線內的所有直線都與直線l異面異面; ;內不存在與內不存在與l平行的直線平行的直線; ;內的直線與內的直線與l相交相交; ;直線直線l與平面與平面有公共點有公共點. .3.3.若平面外一條直線上有兩點到該平面的距離相等若平面外一條直線上有兩點到該平面的距離相等, ,則這條直線與平面的位置則這條直線與平面的位置關系是關系是_._.【解析【解析】1.1.選選b.b.如圖如圖, ,

8、在長方體在長方體abcd-abcdabcd-abcd中中,aabb,aa,aabb,aa卻在過卻在過bbbb的平的平面面abab內內, ,故故不正確不正確;aa;aa平面平面bc,bcbc,bc平面平面bc,bc,但但aaaa不平行于不平行于bc,bc,故故不正不正確確; ;中中, ,假設假設與與b b相交相交, ,因為因為abab, ,所以所以a a與與相交相交, ,這與這與aa矛盾矛盾, ,故故bb, ,即即正確正確. .2.2.中中, ,過公共點的直線與直線過公共點的直線與直線l相交相交, ,不異面不異面, ,錯誤錯誤; ;中中, ,當當l時時,內內有無數條直線與有無數條直線與l平行平行

9、, ,故故錯錯; ;中中, ,直線直線l與平面與平面不平行不平行, ,則直線則直線l與平面與平面相交或在平面內相交或在平面內, ,所以所以l與平面與平面有公共點有公共點, ,故故正確正確. .答案答案: :3.3.當兩點在平面的一側時當兩點在平面的一側時, ,這條直線與平面平行這條直線與平面平行; ;當兩點在平面的兩側時當兩點在平面的兩側時, ,這條這條直線與平面相交直線與平面相交. .所以這條直線與平面的位置關系是平行或相交所以這條直線與平面的位置關系是平行或相交. .答案答案: :平行或相交平行或相交【解題策略【解題策略】(1)(1)在判斷直線與平面的位置關系時在判斷直線與平面的位置關系時

10、, ,直線在平面內、直線與平面相交、直線與直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行平面平行, ,這三種情況都要考慮到這三種情況都要考慮到, ,避免疏忽或遺漏避免疏忽或遺漏. . (2)(2)解決此類問題時解決此類問題時, ,可以借助空間幾何圖形可以借助空間幾何圖形, ,把要判斷關系的直線、平面放在把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中某些具體的空間圖形中, ,以便于正確作出判斷以便于正確作出判斷, ,避免憑空臆斷避免憑空臆斷. .類型二直線與平面平行判定定理的應用類型二直線與平面平行判定定理的應用( (直觀想象、邏輯推理直觀想象、邏輯推理) )【典例【典例】(2019(2019全

11、國全國卷節選卷節選) )如圖如圖, ,直四棱柱直四棱柱abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1的底面是菱形的底面是菱形, ,aaaa1 1=4,ab=2,bad=60=4,ab=2,bad=60,e,m,n,e,m,n分別是分別是bc,bbbc,bb1 1,a,a1 1d d的中點的中點. .證明證明:mn:mn平面平面c c1 1de.de.【證明【證明】連接連接b b1 1c,me. c,me. 因為因為m,em,e分別為分別為bbbb1 1,bc,bc的中點的中點, ,所以所以mebmeb1 1c,c,且且me= bme= b1 1c.c.又因為又因為n n為為

12、a a1 1d d的中點的中點, ,所以所以nd= and= a1 1d.d.由題設知由題設知a a1 1b b1 1 dc, dc,可得可得b b1 1c c a a1 1d,d,故故meme nd,nd,因此四邊形因此四邊形mndemnde為平行四邊形為平行四邊形,mned.,mned.又又mnmn 平面平面edcedc1 1,ed,ed平面平面c c1 1de,de,所以所以mnmn平面平面c c1 1de.de.1212【解題策略【解題策略】(1)(1)證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線線.

13、 .把握幾何體的結構特征把握幾何體的結構特征, ,合理利用幾何體中的三角形的中位線合理利用幾何體中的三角形的中位線, ,平行四邊形平行四邊形對邊平行等平面圖形的特點是找線線平行關系的常用方法對邊平行等平面圖形的特點是找線線平行關系的常用方法. .(2)(2)用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟: :【跟蹤訓練【跟蹤訓練】如圖如圖, ,矩形矩形abcdabcd所在平面與半圓弧所在平面與半圓弧 所在平面相交于所在平面相交于cd,mcd,m是是 上異于上異于c,dc,d的的點點. .在線段在線段amam上是否存在點上是否存在點p,p,使得使

14、得mcmc平面平面pbd?pbd?說明理由說明理由. .cdcd【解析【解析】存在存在, ,當當p p為為amam的中點時的中點時mcmc平面平面pbd.pbd.理由如下理由如下: :如圖如圖, ,連接連接ac,bdac,bd交于點交于點o.o.因為因為abcdabcd為矩形為矩形, ,所以所以o o為為acac的中點的中點. .連接連接op,op,因為因為p p為為amam的中點的中點, ,所以所以mcop.mcop.又又mcmc 平面平面pbd,oppbd,op平面平面pbd,pbd,所以所以mcmc平面平面pbd. pbd. 類型三直線與平面平行的性質定理的應用類型三直線與平面平行的性質

15、定理的應用( (直觀想象、邏輯推理直觀想象、邏輯推理) )【典例【典例】如圖如圖, ,四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形, ,點點p p是平面是平面abcdabcd外一點外一點,m,m是是pcpc的中點的中點, ,在在dmdm上取一點上取一點g,g,過過g g和和apap作平面交平面作平面交平面bdmbdm于于gh.gh.求證求證:pagh.:pagh.【思路導引【思路導引】要證線線平行要證線線平行, ,先證線面平行先證線面平行, ,再證另一線為過已知直線的平面與再證另一線為過已知直線的平面與已知平面的交線已知平面的交線. .【證明【證明】如圖如圖, ,連接連接acac交交b

16、dbd于點于點o,o,連接連接mo.mo.因為四邊形因為四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以o o是是acac的中點的中點. .又又m m是是pcpc的中點的中點, ,所以所以apom.apapom.ap 平面平面dmb,modmb,mo平面平面dmb,dmb,根據直線與平面平行的判定定理根據直線與平面平行的判定定理, ,則有則有papa平面平面bmd.bmd.因為平面因為平面pahgpahg平面平面bmd=gh,bmd=gh,根據直線與平面平行的性質定理根據直線與平面平行的性質定理, ,所以所以pagh.pagh.【解題策略【解題策略】(1)(1)通過線線平行與線面平

17、行的相互轉化通過線線平行與線面平行的相互轉化, ,來證明線線平行是常用的解題思路來證明線線平行是常用的解題思路. .(2)(2)利用線面平行的性質定理解題的步驟利用線面平行的性質定理解題的步驟: :【跟蹤訓練【跟蹤訓練】如圖所示如圖所示, ,已知兩條異面直線已知兩條異面直線abab與與cd,cd,平面平面mnpqmnpq與與ab,cdab,cd都平行都平行, ,且點且點m,n,p,qm,n,p,q依依次在線段次在線段ac,bc,bd,adac,bc,bd,ad上上, ,求證求證: :四邊形四邊形mnpqmnpq是平行四邊形是平行四邊形. . 【證明【證明】因為因為abab平面平面mnpq,mn

18、pq,且過且過abab的平面的平面abcabc交平面交平面mnpqmnpq于于mn,mn,所以所以abmn.abmn.又過又過abab的平面的平面abdabd交平面交平面mnpqmnpq于于pq,pq,所以所以abpq,abpq,所以所以mnpq.mnpq.同理可證同理可證npmq.npmq.故四邊形故四邊形mnpqmnpq是平行四邊形是平行四邊形. .1.1.能保證直線與平面平行的條件是能保證直線與平面平行的條件是( () )a.a.直線與平面內的一條直線平行直線與平面內的一條直線平行b.b.直線與平面內的所有直線平行直線與平面內的所有直線平行c.c.直線與平面內的無數條直線平行直線與平面內

19、的無數條直線平行d.d.直線與平面內的所有直線不相交直線與平面內的所有直線不相交【解析【解析】選選d.ad.a不正確不正確, ,因為直線可能在平面內因為直線可能在平面內;b;b不正確不正確;c;c不正確不正確, ,直線也可能直線也可能在平面內在平面內;d;d正確正確, ,因為直線與平面內所有直線不相交因為直線與平面內所有直線不相交, ,依據直線與平面平行的定依據直線與平面平行的定義可得直線與平面平行義可得直線與平面平行. .課堂檢測課堂檢測素養達標素養達標2.2.如圖所示如圖所示, ,在三棱錐在三棱錐s-abcs-abc中中,e,f,e,f分別是分別是sb,scsb,sc上的點上的點, ,且且

20、efef平面平面abc,abc,則則( () ) a.efa.ef與與bcbc相交相交 b.efbcb.efbcc.efc.ef與與bcbc異面異面 d.d.以上均有可能以上均有可能【解析【解析】選選b.b.由直線與平面平行的性質定理可知由直線與平面平行的性質定理可知efbc.efbc.3.(3.(教材二次開發教材二次開發: :練習改編練習改編) )以下說法以下說法( (其中其中a,ba,b表示直線表示直線,表示平面表示平面) )正確的正確的個數為個數為_._.若若ab,bab,b, ,則則aa; ;若若a,ba,b, ,則則abab; ;若若ab,bab,b, ,則則aa; ;若若a,ba,

21、b, ,則則abab. .【解析【解析】錯錯,a,a或或a a; ;錯錯,a,a與與b b也可能相交也可能相交; ;錯錯,a,a或或a a; ;錯錯,a,a與與b b也可能異面也可能異面. .答案答案: :0 04.4.長方體長方體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中中e e為為aaaa1 1的中點的中點,f,f為為bbbb1 1的中點的中點, ,與與efef平行的長方體的面平行的長方體的面有有_個個.【解析【解析】如圖如圖, ,因為因為efaefa1 1b b1 1,ef,ef 平面平面a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1,a,a1 1b b1 1平面