1、初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)一元二次方程一元二次方程 及其解法及其解法你還認(rèn)識(shí)“老朋友”嗎21.xaxa 、平方根的意義：如果，那么255.xx 例如，則2222222.2aabbaabbab、完全平方式：式子叫做完全平方式，并且222248.xxxxxx例如，42164200caxbxa形如的方程，叫做一元二次方程. 二次項(xiàng)，二次項(xiàng)， 二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)a 一次項(xiàng)，一次項(xiàng)， 一次項(xiàng)系一次項(xiàng)系數(shù)數(shù)b常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)必必須須牢牢記記二二次次項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)不不為為0 231151012xkkxkxkk：關(guān)于 的方程：，為何值時(shí)，方程是一元二次方程？為何值時(shí)，方程是例一元一次方程？ 31031kkkk ： 1 當(dāng)時(shí)

2、，即且時(shí)，原方程是一解元二次方程. 3102310kkkk 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程是一元一次方程.22221220.xmxmxxm：若關(guān)于 的一元二次方程：的常數(shù)項(xiàng)為零，求例的值222222240m xmmxx：去括號(hào)，得 解，2222240mxm xm整理，得，22040.mm，根據(jù)題意，得2.m 解之，得221100.3xaxxaa ：關(guān)于 的一元二次方程的一個(gè)根為 ，則 的值為例1.1. 1.1.2abcd0 xa：將已知代入原方程的左、右兩邊后，可以求出 的值，但是必須滿足隱含條件“一元二次方程”，即保證二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，這是我們學(xué)生容易忽分析略的地方.c2222100101011aaa

3、aa 2.0.xaxaxaaa 如果，那么 叫做 的平方根，記作當(dāng)然，這里的 要滿足首先，我們要明確一元二次方程的解法來源于平方根的定義首先，我們要明確一元二次方程的解法來源于平方根的定義.20.xaxaa 所以，當(dāng)我們把看作是一個(gè)最基本的一元二次方程時(shí)，則方程的解為：這里必須滿足，2221203.xaaxca xbc、，根據(jù)平方根的定義，形如、， 的一元二次方程，、可利用直接開平方法求解.注意：在用直接開平注意：在用直接開平方法對方程方法對方程1、2、3求解時(shí)，字母系數(shù)要求解時(shí)，字母系數(shù)要滿足什么條件？滿足什么條件？21xaxa 、22220axcaxccxacxa 、223a xbccxb

4、acxbacxba 、2910.x 程例 ：解方123212.x例 ：解方程2221291191911.33xxxxx ：，解21224222240.xxxxx ，解：對于缺少一次項(xiàng)的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡便對于缺少一次項(xiàng)的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡便.2220 xx學(xué)會(huì)直接開平方法以后，如果我們遇到象這樣的一元二次方程，發(fā)現(xiàn)它不符合直接開方的那三種基本型，怎么辦？13x 2220 xx213x222xx2212 1xx 13x w1.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的左邊.w你能從這道題的解法歸納出一般的解題步驟嗎?w我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解

5、一元二次方程的方法稱為配方法(solving by completing the square).2:890.xx解. 54x, 11x. 92x. 982 xx.4948222 xx.2542x. 54xw2.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.w3.變形:方程左分解因式,右邊合并同類.w4.開方:方程左分解因式,右邊合并同類.w5.求解:解一元一次方程.w6.定解:寫出原方程的解.2890.xx解方程：用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步驟:23240.yy例：1.變變形形:把二次項(xiàng)系數(shù)化為把二次項(xiàng)系數(shù)化為12.移移項(xiàng)項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;3

6、.配配方方:方程兩邊都加上方程兩邊都加上;4.變變形形:方程左邊寫成完全平方式方程左邊寫成完全平方式,右邊常數(shù)合并右邊常數(shù)合并;5.開開方方:根據(jù)平方根意義根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方方程兩邊開平方;6.求求解解:寫出一元二次方程的兩個(gè)解寫出一元二次方程的兩個(gè)解;224033yy解：22433yy22224313331yy211339y11333y 12113113,.3333yy 221237310 xmmxmxm ：已知關(guān)于 的方程：求證：不論 取任何實(shí)數(shù)，此方程都是一元例二次方程.分析：很顯然，結(jié)論成立與否，取決于二次項(xiàng)系數(shù)的取值是否為零.22213636237123761mmmmm2

7、222222220,0,224,24axbxcbcxxaabcxxaabbbcxxaaaabbacxaa 22222122422422440244,.22bbacxaabbacxaabbacxabbacbbacbaxacxa 當(dāng)時(shí)：22212124440,22bbacbbacbacxxaaabcxx 至此，當(dāng)時(shí)，方程的解完全取決于方程的三個(gè)系數(shù) ， ， ，也就是說，一旦一元二次方程的三個(gè)系數(shù)給定，代入 和 的表達(dá)式，那么方程的解也就隨之確定.222224040242bbacbxxaabaca由配方所得結(jié)果：，若，則，所以方程沒有此時(shí)實(shí)數(shù)根.224402bbacxbaca w一般地,對于一元二次

8、方程 22440 .2bbacxbaca w上面這個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.240,:bac當(dāng)時(shí) 它的根是w老師提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一般形式的一元二次方程: . w2. .200axbxca200axbxca240bac2(1)2410yy (2)2 (2)1x x 142cba，解224( 4)4 2 ( 1)240bac 2622622224421yyy， 解:原方程可化為 22 2102xx0124)22(4122222acbcba，22222202221xxx 點(diǎn)評：點(diǎn)評：用公式法解一元二次方程，常會(huì)忽

9、視 bac240解題的關(guān)鍵是熟記axbxca200()的求根公式xbbacabac 224240()注意應(yīng)用時(shí)首先要將原方程化成一般形式，以便于確定a、b、c的值。 問：下面解方程的過程是否正確？問：下面解方程的過程是否正確？友情提示：友情提示：方程的兩邊方程的兩邊有相同的含有未知數(shù)的因式有相同的含有未知數(shù)的因式的時(shí)候，不能兩邊都除以這的時(shí)候，不能兩邊都除以這個(gè)因式，因?yàn)檫@樣會(huì)把方程個(gè)因式，因?yàn)檫@樣會(huì)把方程的一個(gè)根丟失了的一個(gè)根丟失了.23(2)2(2)2),32222322.3xxxxxx 解：兩邊除以（得：（）. 045, 0 xx或. 045xx1240.5xx，.01,02xx或. 0

10、12xx1221.xx， 21 540 xx解：， 2220 xx x解：， 254222 .xxxx x解方程：1；1.1.用因式分解法的條件是用因式分解法的條件是: :方程左邊能夠分解方程左邊能夠分解, ,而右邊等于零而右邊等于零; ;2.2.理論依據(jù)是理論依據(jù)是: :如果兩個(gè)因式的積等于零，那么至少有一個(gè)因如果兩個(gè)因式的積等于零，那么至少有一個(gè)因式等于零式等于零. .因式分解法解一元二次方程的一般步驟因式分解法解一元二次方程的一般步驟: :一移一移-方程的右邊方程的右邊0;0;二分二分-方程的左邊因式分解方程的左邊因式分解; ;三化三化-方程化為兩個(gè)一元一次方程方程化為兩個(gè)一元一次方程;

11、 ;四解四解-寫出方程兩個(gè)解寫出方程兩個(gè)解. .(1)2 (413)7xx()()27 410 xx 270410 xx或 xx127214， 因式分解法：因式分解法： 適應(yīng)于左邊能分解為兩個(gè)一次式的積，右邊是適應(yīng)于左邊能分解為兩個(gè)一次式的積，右邊是0的方程的方程282670 xx解：原方程可化為 2(2)(12 )3(12 )20yy(121)(122)0yy解： 12101220yy或yy12012， 因式分解法：因式分解法： 適應(yīng)于左邊能分解為兩個(gè)一次式的積，右邊是適應(yīng)于左邊能分解為兩個(gè)一次式的積，右邊是0的方程的方程12y把看作整體，用十字相乘法分解當(dāng)一元二次方程的一邊是0,而另一邊易

12、于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí),我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為分解因式法.分解因式法的條件是方程左邊易于分解,而右邊等于零,關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識(shí),理論依舊是“如果兩個(gè)因式的積等于零,那么至少有一個(gè)因式等于零.”因式分解法解一元二次方程的步驟是:(1)化方程為一般形式;(2)將方程左邊因式分解;(3)根據(jù)“至少有一個(gè)因式為零”,得到兩個(gè)一元一次方程.(4)兩個(gè)一元一次方程的根就是原方程的根.因式分解的方法,突出了轉(zhuǎn)化的思想方法“降次”,鮮明地顯示了“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的過程.2680.abcabcxxabc：的三邊 ， ， 的長度均滿足方程，求的周長例21268024024x