1、會計學1D87方向導數(shù)與梯方向導數(shù)與梯71787,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl則函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l 的方向導數(shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點 P 可微 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P故coscoscoszfyfxf第1頁/共17頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對于二元函數(shù), ),(yxf為, ) 的方向導數(shù)為方處沿方向在點(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfc

2、os),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特別特別: : 當 l 與 x 軸同向有時,2,0 當 l 與 x 軸反向有時,2,xflfl向角第2頁/共17頁在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu23) 的方向導數(shù) .Plu) 1, 1, 1 (1461422zyx1412zx1432yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: 向量 l 的方向余弦為1, 2( l,142cos,141-cos.143cos第3頁/共17頁在點P(2, 3)沿曲線223yyxz朝 x 增大方向的方向導數(shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (

3、xx它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx)4, 1 (174cos112 xy)3 , 2(2)3 , 2(cos)23(cos6coscosyxxyyzxzlzP第4頁/共17頁是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指向外側的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而PxuPnu) 1,3,2(2632222zyx方向的方向導數(shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnPyuPyxzy22868,148Pzu14-86222P

4、zyx第5頁/共17頁方向導數(shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向導數(shù)取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當Gl:GGlfmaxzfyfxfG,第6頁/共17頁, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度zfyfxf,kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 G說明說明:函數(shù)的方向導數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量第7頁

5、/共17頁,)(可導設rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)(grad ( )f r)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r第8頁/共17頁1. 方向導數(shù)方向導數(shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向導數(shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向導數(shù)為coscosyfxflf沿方向 l

6、 (方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共17頁2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關系關系方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.第10頁/共17頁1. 設函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方向導數(shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯

7、度與(1)中切線方切線方向向 的夾角 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁/共17頁,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù)沿 l 的方向導數(shù)lM (1,1,1) 處切線的方向向量第12頁/共17頁)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 l cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax第13頁/共17頁函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共17頁指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向導數(shù)是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點Axd d)ln(22zyxu提示提示:31,32,32則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11