1、會計學1D14連續性間斷點連續性間斷點continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某區間上每一點都連續 , 則稱它在該區間上連續 , 或稱它為該區間上的連續函數連續函數 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上連續 .( 有理整函數 )又如又如, 有理分式函數)()()(xQxPxR在其定義域內連續.在閉區間,ba上的連續函數的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3第1頁/共34頁,0 xxx有函數的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)(

2、)(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續右連續,0,0當xxx0時, 有yxfxf)()(0函數0 x)(xf在點連續有下列等價命題:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4第2頁/共34頁xysin在),(內連續 .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內連續 .同樣可證: 函數xycos在),(內連續 .0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5第3頁/共34頁在在(1) 函數)(xf0 x(2) 函數)

3、(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續 :0 x設0 x在點)(xf的某去心鄰域內有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數 f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點間斷點 . 在無定義 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 6第4頁/共34頁第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩

4、,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點無窮間斷點 .為振蕩間斷點振蕩間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 7第5頁/共34頁xytan) 1 (2x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 8第6頁/共34頁1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .機動

5、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 9第7頁/共34頁)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續右連續)(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續的等價形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 10第8頁/共34頁定理定理2. 連續單調遞增 函數的反函數xx cot,tan在其定義域內連續定理定理1. 在某點連續的有限個函數經有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續xx cos,sin商(分母

6、不為 0) 運算, 結果仍是一個在該點連續的函數 .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續單調遞增，其反函數xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續單調遞增.遞增(遞減)也連續單調機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11第9頁/共34頁xey 在),(上連續 單調 遞增,其反函數xyln在),0(上也連續單調遞增.證證: 設函數)(xu,0連續在點 x.)(00ux,)(0連續在點函數uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復合函數)(xf.0連續在點 x又如又如, 且即機動 目錄 上頁 下頁

7、返回 結束 12第10頁/共34頁基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續例如例如,21xy的連續區間為1, 1(端點為單側連續)xysinln的連續區間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續點而機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 13第11頁/共34頁.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當, ea 時

8、, 有0 x)1ln(x1xexx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 14第12頁/共34頁.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x215第13頁/共34頁1,41,)(xxxxx,1,21,)(2xxxxxf解解:討論復合函數)(xf的連續性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續; 而)(lim1xfx21lim xx1

9、)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數時xfx在點 x = 1 不連續 , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 16第14頁/共34頁（一）（一）、最值定理、最值定理 （二）、介值定理（二）、介值定理 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 五、閉區間上連續函數的性質 第一章 17第15頁/共34頁注意注意: 若函數在開區間上連續,結論不一定成立 .定理定理4 4. .在閉區間上連續的函數即: 設, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2

10、xffbxa值和最小值.或在閉區間內有間斷 在該區間上一定有最大(證明略)點 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 18第16頁/共34頁例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 19第17頁/共34頁,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .(二二)、介值定理、介值定理定理定理5. ( 零點定理 ), ,)(ba

11、Cxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( 證明略 )在閉區間上連續的函數在該區間上有界. 20第18頁/共34頁設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數 C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區間上的連續函數 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

12、 21第19頁/共34頁01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區間)1 ,0(的中點取1 ,0內至少有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則則22第20頁/共34頁基本初等函數在定義區間內在定義區間內連續連續函數的四則運算四則運算的結果連續連續函數的反函數反函數連續連續函數

13、的復合函數復合函數連續初等函數在定義區間內連續說明說明: 分段函數在界點處是否連續需討論其 左、右連續性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 23第21頁/共34頁則設, ,)(baCxf在)(. 1xf上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業：P26 16,1724第22頁/共34頁1.函數在一點連續必須滿足的三個條件函數在一點連續必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區間上的連續函數區間上的

14、連續函數;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)27第23頁/共34頁可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x26第24頁/共34頁xxexf111)(解解: 間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 27第25頁/共34頁0limco

15、sxxx解解1: 令,yx2100limcoslim(cos )xyxxxy21cos1cos10lim1 (cos1)yyyxy22112cos10lim1 (cos1)yyyxy12e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 28第26頁/共34頁0limcosxxx解解2: 12200limcoslim(1 sin)xxxxxx221sin22sin0lim1 sinxxxxx2122sin0lim1 sin)xxxxx12e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 29第27頁/共34頁lim abnnnn ee解解:lim lim (1)(1)ababnnnnnnn een ee 1111lim

16、abnneennnlim11nabnnnnab機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 30第28頁/共34頁2122( )lim1nnnxaxbxf xx為連續函數，試確定為連續函數，試確定a及及b。| 1x 1( );f xx2( );f xaxbx21,| 1, | 1( )1,121,12xxaxbxxf xabxabx 111lim( )lim1xxf xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 31解：當時當|x|0時，00lim( )lim0 xxf xx 則x=0是f(x)的第二類間斷點，而f(x)的連續區間為第31頁/共34頁( )()(1)xebf xxa x1.有無窮間斷點x=0;2.可去間斷點x=1。 01lim( ),a=0b1xbf xa故，1limxf ( x) 的存在。1lim()(1)0,xxa x由于1111(1)lim(