1、暨南大學(xué)12金工劉博2.3.4.1 F(x) -Fi(x) 3是一個(gè)分布函數(shù)，則 (b ).223;(b)3;從總體Y : N (10,22)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 為(c ).(a)0;(b)1;(c)F2(x)1-;3(d)16的樣本，則樣本平均數(shù)Y0.5;(d)0.8413.10的概率2008-2009 暨南大學(xué)概率論試卷A、單選題(請(qǐng)把正確答案填在題后的括號(hào)內(nèi)，每小題2分，共10分)1 .對(duì)事件A,B,下列命題中正確的是 (c ).(a)如果A, B互不相容,則A,B也互不相容；(b)如果A, B相容，則A,B也相容；(c)如果A, B相互獨(dú)立，則A,B也相互獨(dú)立；(d)如果A, B互不

2、相容，且p(A), p(B) 0,則A, B相互獨(dú)立.設(shè)1, 2, n,是相互獨(dú)立且具有相同分布的隨機(jī)變量序列，若E n 0(n 1,2,，則 lim p | i | n ( b ). ni 12(a)0;(b)1;(c)1;(d) 無法確定.2設(shè)Fi(X), F2(x)分別是隨機(jī)變量1, 2的分布函數(shù)，且第2頁共5頁5.設(shè)一批滾珠的直徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取9個(gè)滾珠，測得樣本平均數(shù)為0.9的置信區(qū)間為10 (cm),樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1(cm),則這批滾珠直徑的期望值的置信度為 (d ).(a)(c)、填空題1011-t0.05(9), 10-t0.05(9)331110 -t0.05(8)

3、, 10 -t0.05 (8)33(b)(d)1110 -t0.1(9), 10 -t0.1(9)331110 -t0.1 (8), 10 -t0.1(8)33(每空3分，共36分)1. 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊中率為 0.5.2. 10只燈泡中有3只壞的，7只好的.只是壞的概率為7/15.,若至多擊中三次的概率為15、，一，,則該射手的擊16現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2只進(jìn)行檢驗(yàn)，則2只燈泡中有137而 p(A A2) -, 則 p(A2)x 0人_%一令e ,則萬差D1/18.0,一3 .假設(shè)A,A2是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，若p(A)4/7.一，、曰 ,2e 2x.4 .若隨機(jī)變量概率密度函數(shù)

4、為(x),0, x5 .設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為暨南大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) (內(nèi)招生)試卷考生姓名:學(xué)號(hào):第8頁共5頁2sin x, 0 x(x)0, x 0 或 x0)則p(8)、,2/2.6.設(shè)二元離散型隨機(jī)變量(1, 2)的聯(lián)合概率分布為01100.410.17.若事件 20與 12 1相互獨(dú)立，則設(shè)1, 2, , n,為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列0.4 .2的普哇松分布，記0(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)則 lim pn0.1 ,且服從參數(shù)為0(x).8.若隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且，：N(0,1), 43 :N(0,52).9 .從總體X : N( ,0.32)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為9的樣本，其樣

5、本平均數(shù)為4,則的置信度為0.95的置信區(qū)間為 (3.804,4.196).(x;)e x, x 0 (0, x 0,0)0,i 1,2, ,n),則參數(shù)的10 .設(shè)總體的分布密度為現(xiàn)從中抽取n個(gè)個(gè)體，得數(shù)據(jù)分別為x1,x2, ,xn(xin最大似然估計(jì)為 n /( x).i 1三、計(jì)算題(共24分，其中第1小題8分，第2小題16分)1 .某手機(jī)生產(chǎn)廠斷言，該廠生產(chǎn)的某型號(hào)手機(jī)的合格率為0.9.質(zhì)檢部門抽查了 400部該型號(hào)手機(jī)，如果不少于350部手機(jī)合格，就接受這一斷言，否則拒絕斷言.設(shè)實(shí)際上該 型號(hào)手機(jī)的合格率為0.9.試求接受這一斷言的概率.解：設(shè)事件 400部手機(jī)中的合格數(shù),則 B(n

6、, p) B(400, 0.9),且Enp 400 0.9 360, D于是接受這一斷言的概率為p(350400)np(1 p) 360 0.1 36,p(350 360360p(365 _3,36360 20400 360:36 )從而由拉普拉斯定理得p(3502055400)0 ()0( -) 1 (10(-)3335=0() 0.9525.32 .在廣東省某次高一數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，考生的成績(百分制)服從正態(tài)分布 N(72,122).成績?cè)?0及90分以上、60及60分以上且90分以下、60分以下的考生中，來自重點(diǎn)中學(xué)的考 生的概率分別是 0.6、0.3、0.05.(1) 求考生中，來自重點(diǎn)中

7、學(xué)的考生的概率；(2) 對(duì)來自重點(diǎn)中學(xué)的考生，求考生成績?cè)?0及90分以上的概率.272解：設(shè)考生的成績?yōu)椋瑒t:N(72,12 2),于是:N(0,1).令12事件A 成績?cè)?0及90分以上；事件A2”成績?cè)?0及60分以上且90分以下；事件A 成績?cè)?0分以下；事件B 來自重點(diǎn)中學(xué)的考生.則 p(B|A) 0.6, p(B|A2) 0.3, p(B|A3) 0.05, 72p(A) p( 90) p( 1.5) 10(1.5) 1 0.9332 0.0668,1272 p(A2)P(6090) p( 1 1.5)0(1.5)0( 1)120(1.5)0(1) 1 0.9332 0.8413

8、1 0.7745,72p(A3) P( 60)p(-21)0( 1) 1 o(1)121 0.8413 0.1587.8分(1)由全概率公式知，考生中來自重點(diǎn)中學(xué)的考生的概率為 3P(B) p(A)p(B| A)i 10.0668 0.6 0.7745 0.3 0.1587 0.05 0.28037.12分(2)由貝葉斯公式知，對(duì)來自重點(diǎn)中學(xué)的考生，考生成績?cè)?0及90分以上的概率為 /a id、P(A)p(B|A) 0.0668 0.6 八.心”八p(A1|B)八 |1 0.14295. 16 分p(B)0.28037四、證明題(8分)22設(shè)X1,X2和丫，丫2分別來自總體 X ： N( ,

9、22)和丫： N( ,32)的兩個(gè)樣本，令Z a(X1 X2) b(Y( 丫2)(其中 a,b為常數(shù)).證明：1 2a當(dāng)b 時(shí)，Z是的無偏估計(jì)；2,，一92(2) 在 的具有形式Z a(X1 X2) b(丫 丫2)的無偏估計(jì)中，取a ，b 2613時(shí)的Z是最有效的.證明：由于X1,X2和丫1,丫2分別來自總體 X : N( ,22)和Y: N( , 32),故(1) EZ a(EXi EX2) b(EY EY2) a( ) b( ) 2 (a b), 12a當(dāng)b 時(shí)，EZ ，從而Z是 的無偏估計(jì)；3分22_2_(2) DZ a2(DX1 DX2) b2(DY1 DY2) 22_12_2a2 (

10、4 4) b2(9 9) 8(- b)2 18b2,d(DZ) 4(13b 2), db 2-令冬-0解得b ,由于d ( 2)|b 2/138 0,故當(dāng)db13db,21 ,9b 一，a - b 一時(shí)，DZ最小，從而結(jié)論成. 132268分五、應(yīng)用題(共22分，其中第1、2小題各7分，第3小題8分)1.從一批火箭推力裝置中抽取10個(gè)進(jìn)行試驗(yàn)，測得燃燒時(shí)間的樣本平均數(shù)X =51.89,樣.試以90%勺置信度對(duì)燃燒時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn),故統(tǒng)計(jì)量1), 2 分220.95(9)3.33得2的置信度為90%勺本方差S2=111.14.設(shè)該燃燒時(shí)間服從正態(tài)分布 差進(jìn)行區(qū)間估計(jì).解：因燃燒時(shí)間的期望值未知且燃燒時(shí)

11、間服從正態(tài)分布2 (n 1)S22/2 ：(n22由 n 10, S111.14,0.05(9)16.9,置信區(qū)間為(n 1)S22 0.05(9)(n 1)S22 0.95(9)(59.187, 300.378),是的置信度為90%勺置信區(qū)間為：(7.693, 17.331). 7分2.某工廠生產(chǎn)的一種銅絲的折斷力(單位：kg)服從正態(tài)分布N( , 82).現(xiàn)采取了一種新生產(chǎn)工藝，從用新生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的一批銅絲中隨機(jī)抽取10根，測其折斷力，算得樣本平均數(shù)X =575.2,樣本方差S2 =75.73.從抽測結(jié)果來看，能否認(rèn)為新生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的 銅絲的折斷力的方差與原銅絲的相同(0.05)?解：設(shè)新

12、生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的銅絲的折斷力：N( , 2),檢驗(yàn)程序如下.(1)建立待檢假設(shè) H。：282;2(2)選取樣本的統(tǒng)計(jì)量2(n 2),在H。成立的條件下，2 :2(n 1);8222(3)對(duì)于給定的檢當(dāng)水平0.05,查表確定臨界值a及b使22p(n o)a2) - 0.025, p(n 2) b) T 0.025,82822222查表彳導(dǎo) a 0.975(9)2.7, b 0.025(9)19.0； 5 分(4)利用n 10及樣本方差S275.73計(jì)算統(tǒng)計(jì)量2的觀察值為：9 75.738210.65;(5)由于10.65 (2.7,19.0),則可認(rèn)為新生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差與原銅3.要

13、鑒定一種國內(nèi)生產(chǎn)的針織品的斷列強(qiáng)度(單位：kg)是否已達(dá)到國外同種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)，需要對(duì)國內(nèi)外相同類型產(chǎn)品進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，現(xiàn)獨(dú)立地隨機(jī)抽取容量均為8的樣本，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)分別為X =20.4, Y =19.4, 樣本方差分別為 22S10.8857, S20.8286.假定此種針織品的斷列弓II度服從正態(tài)分布，且國內(nèi)外生產(chǎn)的此種針織品的斷列強(qiáng)度具有相同的方差.試問能否認(rèn)為國內(nèi)生產(chǎn)的此種針織品的斷列強(qiáng)度指標(biāo)已達(dá)到國外同種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)(0.05)?(附本試卷的參考數(shù)據(jù)如下：up.1.96, U0.0252.24,0(0)0.5,50(1) 0.8413,0(1.5) 0.9332,0( ) 0

14、.9525,0(1.96) 0.975,3200(2) 0.9773,0(2.24)0.9875,。(2.5) 0.9938,。(一)1,30(60) 1, t0.05(14) 2.145, t0.05(16)2.120, t0.1(14) 1.761, t0.1(16) 1.746,2.05(9) 16.9,；Q5(10) 18.3, 黑 3.33, 黑。)3.94,0.02519.0,0.025(10)20.5,2.975(9)2.7,2.975(10) 3.25.)解：設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)的這種針織品的斷列強(qiáng)度1： N( 1, 12),國外生產(chǎn)的這種針織品的斷列強(qiáng)度2： N( 2, 2),在條彳22下，檢驗(yàn)程序如下.(1)建立待檢假設(shè) H0：12；2、一2,故T : t(2n 2)(這里(2)選取樣本白統(tǒng)計(jì)量T X Y 由于12 工.n 8);ta 使 p(|T|