1、思想方法集訓思想方法訓練1函數與方程思想思想方法訓練第2頁一、能力突破訓練1.已知向量a=(1,1),b=(3,m),若a(a-b),則實數m的值是()a.-1b.1c.-2d.2答案:a2.奇函數f(x)的定義域為r,若f(x+2)為偶函數,且f(1)=1,則f(8)+f(9)=()a.-2b.-1c.0d.1答案:d解析:因為函數f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x).又因為f(x+2)是偶函數,則f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f

2、(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故選d.3.已知函數f(x)=x2+ex-12(x0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-12,作函數m(x)=e-x-12的圖象,顯然當a0時,函數y=ln(x+a)的圖象與m(x)的圖象一定有交點.當a0時,若函數y=ln(x+a)的圖象與m(x)的圖象有交點,則lna12,則0ae.綜上ae.故選b.4.已知函數y=f(x)的定義域為r,當x1,且對任意的實數x,y,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立

3、.若數列an滿足a1=f(0),且f(an+1)=1f(-2-an)(nn*),則a2 017的值為()a.2 209b.3 029c.4 033d.2 249答案:c解析:根據題意可設函數f(x)=12x,則a1=f(0)=1.因為f(an+1)=1f(-2-an)(nn*),所以12an+1=12an+2,所以an+1=an+2.所以數列an是以1為首項,2為公差的等差數列.所以an=2n-1,所以a2017=4033.5.設等差數列an的公差為d(d0),其前n項和為sn.若a42=a102,2s12=s2+10,則d的值為.答案:-10解析:由a42=a102,2s12=s2+10,得

4、(a1+3d)2=(a1+9d)2,212a1+12112d=2a1+d+10,解得d=-10.6.已知直線y=a交拋物線y=x2于a,b兩點.若該拋物線上存在點c,使得acb為直角,則a的取值范圍為.答案:1,+)解析:以ab為直徑的圓的方程為x2+(y-a)2=a,由y=x2,x2+(y-a)2=a,得y2+(1-2a)y+a2-a=0.即(y-a)y-(a-1)=0,則由題意得a0,a-10,解得a1.7.已知拋物線c:y2=4x的焦點為f,點p在c上,以點p為圓心,以pf為半徑的圓p與y軸交于a,b兩點,o為坐標原點.若ob=7oa,則圓p的半徑r=.答案:5解析:設點p(x0,y0)

5、,則圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=(x0+1)2.令x=0,則yb=y0+2x0+1,ya=y0-2x0+1.又ob=7oa,則y0+2x0+1=7(y0-2x0+1),又x0=y024,聯立得y0=4,x0=4,則r=x0+1=5.8.設函數f(x)=cos2x+sin x+a-1,已知不等式1f(x)174對一切xr恒成立,求a的取值范圍.解:f(x)=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-sinx-122+a+14.因為-1sinx1,所以當sinx=12時,函數有最大值f(x)max=a+14,當sinx=-1時,函數有最小值f(x)min=a-

6、2.因為1f(x)174對一切xr恒成立,所以f(x)max174,且f(x)min1,即a+14174,a-21,解得3a4,故a的取值范圍是3,4.9.在abc中,內角a,b,c所對邊的邊長分別是a,b,c.已知c=2,c=3.(1)若abc的面積等于3,求a,b的值;(2)若sin c+sin(b-a)=2sin 2a,求abc的面積.解:(1)由余弦定理及已知條件,得a2+b2-ab=4.因為abc的面積等于3,所以12absinc=3,得ab=4.聯立a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.(2)由題意得sin(b+a)+sin(b-a)=4sinacosa,即sinbc

7、osa=2sinacosa,當cosa=0時,a=2,b=6,a=433,b=233,當cosa0時,得sinb=2sina,由正弦定理得b=2a,聯立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433.故abc的面積s=12absinc=233.10.某地區要在如圖所示的一塊不規則用地上規劃建成一個矩形商業樓區,余下的作為休閑區,已知abbc,oabc,且|ab|=|bc|=2|oa|=4,曲線oc是以o為頂點且開口向上的拋物線的一段,如果矩形的兩邊分別落在ab,bc上,且一個頂點在曲線oc段上,應當如何規劃才能使矩形商業樓區的用地面積最大?并求出最大的用地面積.解:以點o為原點,o

8、a所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,則a(-2,0),b(-2,4),c(2,4),設拋物線的方程為x2=2py,把點c(2,4)代入拋物線方程得p=12,所以曲線段oc的方程為y=x2(x0,2).設點p(x,x2)(x0,2)在oc上,過點p作pqab于點q,pnbc于點n,故|pq|=2+x,|pn|=4-x2,則矩形商業樓區的面積s=(2+x)(4-x2)(x0,2).整理,得s=-x3-2x2+4x+8,令s=-3x2-4x+4=0,得x=23或x=-2(舍去),當x0,23時,s0,s是關于x的增函數,當x23,2時,s0,數列sn是遞增數列.當n3時,(sn)min=s3=31

9、0,依題意,得m310,故m的最大值為310.12.已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的一個頂點為a(2,0),離心率為22,直線y=k(x-1)與橢圓c交于不同的兩點m,n.(1)求橢圓c的方程;(2)當amn的面積為103時,求k的值.解:(1)由題意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2.所以橢圓c的方程為x24+y22=1.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.設點m,n的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2.所以|mn|=(x2-x1)2+

10、(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.因為點a(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=|k|1+k2,所以amn的面積為s=12|mn|d=|k|4+6k21+2k2.由|k|4+6k21+2k2=103,解得k=1.所以k的值為1或-1.13.已知直線m:y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于a,b兩點,直線l過點p(-2,0)和線段ab的中點m,求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.解:由y=kx+1,x2-y2=1(x-1)消去y,得(k2-1)x2+2kx+2=0.直線m與雙曲線的左支有兩個交點,方程有兩個不相等的負實數根.=4k2+8(1-k2)0,x1+x2=2k1-k20,解得1k2.設點m(x0,y0),則x0=x1+x22=k1-k2,y0=kx0+1