1、11111111111.ABC-A B C,AB:A B =1:2,A -ABC, B-A B C, C-A B C.例6 在三棱臺(tái)中則三棱錐三者的體積之比為_(kāi)1 1 111 1 11 1 1:,4 .11;3314.33ABCA B CAABCABCCA B CA B Ch SSSSVShShVShSh解 設(shè)棱臺(tái)的高為則1 111 1 17(42 ),337142.33331:2:4.B A B CAABCC A B ChVSSSShVVVVShShShSh三棱臺(tái)三棱臺(tái)又所求體積之比為AA1CBC1B11:2:45.C2.如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)

2、視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的表，那么這個(gè)幾何體的表面積為面積為()答案：答案：A3O球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓大圓;球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做小圓小圓.OR例例1.1.如圖如圖, ,圓柱的底面直徑與高都等于球的直圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑徑. .求證求證: (1): (1)球的體積等于圓柱體積的球的體積等于圓柱體積的2/3; 2/3; (2)(2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積球的表面積等于圓柱的側(cè)面

3、積.例例2.(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍倍,則半徑則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍?(2)若球的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍倍,則其表面積變則其表面積變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍為原來(lái)的多少倍?(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:2,則其體積之比為則其體積之比為多少多少?(4)若兩球體積之比為若兩球體積之比為1:2,則其表面積之比為則其表面積之比為多少多少?(5)若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為48,它們大圓周長(zhǎng)之它們大圓周長(zhǎng)之和為和為12,則兩球直徑之差為多少則兩球直徑之差為多少?2倍4倍1:2 231:44例例1.已知有三個(gè)球已知有三個(gè)球,第一個(gè)

4、球內(nèi)切于正方體的各個(gè)第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的各個(gè)面面,第二個(gè)球與正方體的各條棱相切第二個(gè)球與正方體的各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)正第三個(gè)球過(guò)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)方體的八個(gè)頂點(diǎn),則這三個(gè)球的半徑之比為則這三個(gè)球的半徑之比為_(kāi).12aaR 與棱長(zhǎng)為 的正方體內(nèi)切的球的半徑正方體與球正方體與球OOaaR1例例1.已知有三個(gè)球已知有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的各個(gè)第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的各個(gè)面面,第二個(gè)球與正方體的各條棱相切第二個(gè)球與正方體的各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)正第三個(gè)球過(guò)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)方體的八個(gè)頂點(diǎn),則這三個(gè)球的半徑之比為則這三個(gè)球的半徑之比為_(kāi).正方體與球正方體與球OaOR22a222aRa與棱長(zhǎng)為 的正

5、方體的各條棱相切的球的半徑例例1.已知有三個(gè)球已知有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的各個(gè)第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的各個(gè)面面,第二個(gè)球與正方體的各條棱相切第二個(gè)球與正方體的各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)正第三個(gè)球過(guò)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)方體的八個(gè)頂點(diǎn),則這三個(gè)球的半徑之比為則這三個(gè)球的半徑之比為_(kāi).32aaR 棱長(zhǎng)為 的正方體外接球的半徑正方體與球正方體與球OaOR33a2aa1:2 :3練習(xí)練習(xí).已知長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別已知長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別為為3,4,5，且它的頂點(diǎn)都在同一球面上，則這，且它的頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積為個(gè)球的表面積為 .342俯視圖主視圖左視圖練習(xí)練習(xí).一個(gè)三棱

6、錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如下圖所示，求三棱錐的外接球的表面積如下圖所示，求三棱錐的外接球的表面積. :1:4,:1:3,:1:3.OE AEOE AORR內(nèi)切球外接球由等體積法求出正四面體與球正四面體與球O例例2.求棱長(zhǎng)為求棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球和外接球的正四面體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比的半徑之比.ADCBE1:3aAE36aR126內(nèi)切球aR46外接球練習(xí)練習(xí)1.正方體的八個(gè)頂點(diǎn)有四個(gè)頂點(diǎn)恰好是正方體的八個(gè)頂點(diǎn)有四個(gè)頂點(diǎn)恰好是正四面體的頂點(diǎn)正四面體的頂點(diǎn),則正方體的邊長(zhǎng)與正四面體則正方體的邊長(zhǎng)與正四面體的邊長(zhǎng)之比是的邊長(zhǎng)之比是_.ABCDA1B1

7、C1D11:2注意注意:(1)正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.(2)內(nèi)切球的球心到多面體各面的距離均相等內(nèi)切球的球心到多面體各面的距離均相等, 外接球的球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等外接球的球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.(3)并非所有的多面體都有外接球或內(nèi)切球并非所有的多面體都有外接球或內(nèi)切球.(4)11,.33VSr多面體表多面體的體積等于多面體的表面積與其內(nèi)切球半徑乘積的 倍即練習(xí)練習(xí)2.以正方體的六個(gè)面的中心為頂點(diǎn)恰好以正方體的六個(gè)面的中心為頂點(diǎn)恰好是正八面體的頂點(diǎn)是正八面體的頂點(diǎn),則正方體的邊長(zhǎng)與正八面則正方體的邊長(zhǎng)與正八面體的邊長(zhǎng)之比是體的邊長(zhǎng)

8、之比是_.ABCDA1B1C1D12:21.(2006)23例年安徽 表面積為2 3的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則此球的體積為( )122 2A.B.C.D.333A正八面體與球正八面體與球23382 31, 224242.233aaRRVR 由14,()32 62 62 6.2.43334 32 6.2005)3ABCD例5.將半徑為的 個(gè)球完全裝入形狀為正四面體的容器里 這個(gè)正四面體的高的最小值為（年高考CHO2O3O1O4正四面體的內(nèi)切球正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之與外接球的半徑之比為比為1:3.HO2O3O1O4將四個(gè)小球的球心相連可形成一個(gè)邊長(zhǎng)為將四個(gè)小球的球心相連可形

9、成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正四的正四面體面體,題中所求正四面體的高為下底面上球的半徑題中所求正四面體的高為下底面上球的半徑,正四面體的高和最上邊小球球心到頂點(diǎn)間距離之正四面體的高和最上邊小球球心到頂點(diǎn)間距離之和和.另外取一個(gè)小正四面體使最上面的小球與之內(nèi)切另外取一個(gè)小正四面體使最上面的小球與之內(nèi)切,則由等體積法求出球心到頂點(diǎn)的距離為則由等體積法求出球心到頂點(diǎn)的距離為3r =3.所求的高所求的高=3+1+原正四面體的高原正四面體的高2 64.3球的截面性質(zhì)問(wèn)題球的截面性質(zhì)問(wèn)題用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O.用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O.用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O.

10、用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O.OO/PdRr用一個(gè)平面用一個(gè)平面去截一個(gè)球去截一個(gè)球O,設(shè)設(shè)OO/=d是平面是平面的垂線的垂線段段,則對(duì)它們交線上的任一點(diǎn)則對(duì)它們交線上的任一點(diǎn)P, O/P= 是一是一個(gè)定值個(gè)定值.這說(shuō)明交線是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)這說(shuō)明交線是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)O/P的的點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合.22dOP OO/PdRr一個(gè)平面截一個(gè)球面一個(gè)平面截一個(gè)球面,所得的截線是以球心在截面所得的截線是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心內(nèi)的射影為圓心,以以 (R是球的半徑是球的半徑)為為半徑的一個(gè)圓半徑的一個(gè)圓,截面是一個(gè)圓面截面是一個(gè)圓面.22dRr 22dRrO球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截

11、得的圓叫做球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓大圓;球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做小圓小圓.O球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度,就是經(jīng)過(guò)就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度.把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離.PQ飛機(jī)飛機(jī),輪船都輪船都是盡可能以是盡可能以大圓弧為航大圓弧為航線航行線航行.OABMN弧弧AMB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度弧弧ANB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度將將 O和和 O/上上A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn)對(duì)齊疊在對(duì)齊疊在一起一起,比較比較大圓和小大圓和小圓上兩劣圓上兩劣弧的長(zhǎng)度弧的長(zhǎng)度.

12、O/例例1.已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5和和8,它們位于球心的同側(cè)它們位于球心的同側(cè),且距離等于且距離等于1,求這求這個(gè)球的半徑個(gè)球的半徑.OABO1O23例例2.已知球面上的三點(diǎn)已知球面上的三點(diǎn)A、B、C,且且AB=6cm, BC=8cm,AC=10cm,球的半徑為球的半徑為13cm.求球心求球心到平面到平面ABC的距離的距離.OABCM12cm3.(2006)例年全國(guó)1已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是( )A.16B.20C.24D.32C6R 多個(gè)球相切問(wèn)題多個(gè)球相切問(wèn)題抓住球心抓住球心,半徑和差的問(wèn)題半徑和差

13、的問(wèn)題球的相切問(wèn)題要抓住兩球心的連線過(guò)切點(diǎn)這一性球的相切問(wèn)題要抓住兩球心的連線過(guò)切點(diǎn)這一性質(zhì)質(zhì),否則難以找到數(shù)量之間的關(guān)系否則難以找到數(shù)量之間的關(guān)系.處理球的相切問(wèn)題可考慮各個(gè)球的球心的連線構(gòu)處理球的相切問(wèn)題可考慮各個(gè)球的球心的連線構(gòu)成的多面體成的多面體.例例1.把半徑為把半徑為R的四個(gè)小球疊成兩層放在桌面的四個(gè)小球疊成兩層放在桌面上上,下層三個(gè)下層三個(gè),上層一個(gè)上層一個(gè),兩兩相切兩兩相切.求上層小球求上層小球最高處與桌面的距離最高處與桌面的距離.O1O4O3O2H2 6(2)3R1.3121,.練習(xí) 將 個(gè)半徑為的球和一個(gè)半徑為的球疊為兩層放在桌面上 上層只放一個(gè)較小的球 四個(gè)球兩兩相切 求

14、小球的最高點(diǎn)到桌面的距離3236 例例2.棱長(zhǎng)是棱長(zhǎng)是a的正方體的正方體AC1內(nèi)有兩球互相外切內(nèi)有兩球互相外切,且兩球各與立方體的三個(gè)面相切且兩球各與立方體的三個(gè)面相切.(1)求證求證:兩兩球半徑之和為常數(shù)球半徑之和為常數(shù); (2)求兩球面積之和的最求兩球面積之和的最小值小值;(3)求兩球體積之和的最小值求兩球體積之和的最小值.O1O2ADCBA1D1C1B1例例2.棱長(zhǎng)是棱長(zhǎng)是a的立方體的立方體AC1內(nèi)有兩球互相外切內(nèi)有兩球互相外切,且兩球各與立方體的三個(gè)面相切且兩球各與立方體的三個(gè)面相切.(1)求證求證:兩兩球半徑之和為常數(shù)球半徑之和為常數(shù); (2)求兩球面積之和的最求兩球面積之和的最小值

15、小值;(3)求兩球體積之和的最小值求兩球體積之和的最小值.AA1C1CO2O1121212()(1)333.2arrarrarraH1r2r12()arr2r1ra1112211122123()3333.2ACAOOOO Crrrrarra或例例2.棱長(zhǎng)是棱長(zhǎng)是a的立方體的立方體AC1內(nèi)有兩球互相外切內(nèi)有兩球互相外切,且兩球各與立方體的三個(gè)面相切且兩球各與立方體的三個(gè)面相切.(1)求證求證:兩兩球半徑之和為常數(shù)球半徑之和為常數(shù); (2)求兩球面積之和的最求兩球面積之和的最小值小值;(3)求兩球體積之和的最小值求兩球體積之和的最小值.AA1C1CO2O12212212222min(2)4 ()(

16、)42332()23(23).3(23).SrrrraaSaH1r2r12()arr2r1ra例例2.棱長(zhǎng)是棱長(zhǎng)是a的立方體的立方體AC1內(nèi)有兩球互相外切內(nèi)有兩球互相外切,且兩球各與立方體的三個(gè)面相切且兩球各與立方體的三個(gè)面相切.(1)求證求證:兩兩球半徑之和為常數(shù)球半徑之和為常數(shù); (2)求兩球面積之和的最求兩球面積之和的最小值小值;(3)求兩球體積之和的最小值求兩球體積之和的最小值.AA1C1CO2O1H1r2r12()arr2r1ra22331221211 2212121 222121212312min4(3)()34()()34()()3)34()()3() 3295 3().3495

17、 3.4VrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrV例3.鋼球直徑是5cm,求它的體積.( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中盒中, ,至少要用多大的紙至少要用多大的紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為5cm【例【例4 4】如圖，在一個(gè)倒置的正三棱錐容器中，如圖，在一個(gè)倒置的正三棱錐容器中，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰與棱錐的四個(gè)面都接放入一個(gè)鋼球，鋼球恰與棱錐的四個(gè)面都接觸上，經(jīng)過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正觸上，經(jīng)過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和

18、高作截面，正確的截面圖形是（確的截面圖形是（ ） 【解析解析】經(jīng)過(guò)側(cè)棱與高的截面是】經(jīng)過(guò)側(cè)棱與高的截面是一個(gè)不等邊的斜三角形（如一個(gè)不等邊的斜三角形（如B B、C C、D D圖），其上底邊是底面正三角形的圖），其上底邊是底面正三角形的高，另兩邊分別為側(cè)棱與斜高（側(cè)高，另兩邊分別為側(cè)棱與斜高（側(cè)棱較長(zhǎng)）棱較長(zhǎng)）. .截面截球得球的大圓，該截面截球得球的大圓，該圓與側(cè)面的斜高相切，與側(cè)棱相離圓與側(cè)面的斜高相切，與側(cè)棱相離. .故應(yīng)選故應(yīng)選B B。 1115.(2006),2,_.9OROOOOOR例年全國(guó)2已知圓是半徑為 的球的一個(gè)小圓 且圓 的面積與球 的表面積比值為則線段與 的比值為1:3OO1Rr1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉?lái)體積變?yōu)樵瓉?lái)的幾倍的幾倍?2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是它的棱長(zhǎng)是4cm,求這個(gè)球的體積求這個(gè)球的體積. 8倍倍3323.在球心同側(cè)有相距在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面的兩個(gè)平行截面,它它們的面積分別是們的面積分別是49cm2和和400cm2,求球的表求球的表面積面積.OABO1O22500cm