1、第一章變分原理與變分法1.1關于變分原理與變分法（物質世界存在的基本守恒法則）一、大自然總是以可能最好的方式安排一切，似乎存在著各種安排原理：晝/夜，日/月，陰/陽，靜止/運動 等矛盾/統一的協調體；對靜止事物：平衡體的最小能量原理，對稱 /相似原理；對運動事物：能量守恒，動量（矩）守恒，熵增原理等。變分原理是自然界靜止（相對穩定狀態）事物中的一個普遍適應的數學定律， 獲稱最小作用原理。Examples: 光線最短路徑傳播； 光線入射角等于反射角，光線在反射中也是光傳播最短路徑（Heron）； 光線折射遵循時間最短的途徑（Fermat）；,E CAE EB AC CBSummary實際上光的傳

2、播遵循最小能量原理；在靜力學中的穩定平衡本質上是勢能最小的原理。、變分法是自然界變分原理的數學規劃方法 （求解約束方程系統極值的數學方 法），是計算泛函駐值的數學理論數學上的泛函定義定義：數學空間（集合）上的元素（定義域）與一個實數域間（值域）間 的（映射）關系特征描述法： J: X D R| J（x） = rRExamples: 矩陣范數：線性算子（矩陣）空間 =，數域nnn n2II AH 1 = maxaij ； II AlfmaxW; |A2=（瓦瓦 a 產J ii j=1jd i 函數的積分：函數空間= 數域bfn DJ = fn(X)dXaNote:泛函的自變量是集合中的元素(定義

3、域)；值域是實數域。Discussi on： 判定下列那些是泛函：f =maxf(x)；空衛； 試舉另一泛函例子。.X3x+5y=2;、(x-x0) f (x)dx 二af(Xo)物理問題中的泛函舉例 彈性地基梁的系統勢能xi.梁的彎曲應變能：二 b=打EJ行2 0dx2ii.彈性地基貯存的能量：-f1 l 2 kw dx2-0iii.外力位能：-ll=- ,0 qwdxiv.系統總的勢能:)2dx2d w)2 廠) dx1 22 kw - qwdx; x = 0虬0dx泛函的提法：有一種梁的撓度函數(與載荷無關)，就會有一個對應的系 統勢能。泛函駐值提法：在滿足位移邊界條件的所有撓度函數中，

4、找一個 w(x),使 系統勢能泛函取最小值。最速降線問題問題：已知空間兩點A和B, A高于B，要求在兩點間連接一條曲線，使 得有重物從A沿此曲線自由下滑時，從 A到B所需時間最短(忽略摩擦 力)。作法：i.通過A和B作一垂直于水平面的平面，取坐標系如圖。B點坐標(a, b),設曲線為 y = y(x),并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = bii.建立泛函：設P(x , y)是曲線上的點，P點的速度由能量守恒定律求得:2mv2 = mgy二 v = 2gy命ds為曲線弧長的微分，有:d=v =42gdt =重物從A點滑到B點的總時間:aT=1y2dxX 2gydt, 2g

5、y 2gy泛函駐值提法：在OwxAB的懸索，單位長的 質量為m。假設繩索的長度是不變的，并忽略繩索的彎曲剛度，把此繩索 的兩端掛在A，B兩點，求在平衡狀態下繩索的形狀。要求：列出懸索線應滿足的泛函式及泛函駐值提法。提示：繩索在平衡狀態下，其勢能應為最小值。1.2變分法(泛函駐值的計算方法)關于計算固體力學中的泛函、泛函極值的提法 這里所研究的泛函一般用積分顯式表達，并不等于所有泛函都能用顯 式積分表達。 所要研究的泛函都可表示成在一定區間或一定區域內的函數及其導數 (或偏導數)的積分形式，即：一 ba. 二廠 F(f (x), f(x), f(x);x)dxab二 2 二 F(f (x,y),

6、 fx(x,y), fy(x,y);x,y)dxdyac.泛函中的可變化函數稱為自變函數，或稱宗量(argumen)，x或y僅 是積分變量，是被積函數的定義域。(被積函數是復合函數概念的推 廣) 要說清楚一個泛函的極值問題，應注意：a. 應把泛函本身講清楚(即寫出它的形式)；b. 還必須講明白自變函數的性質，如：- 獨立的自變函數的個數(導函數并不獨立)；- 每個自變函數定義的區間/區域；- 這些自變函數應滿足的條件(如：邊界條件及其受約束的條件等)。c. 除了個別特殊情況外，一般情況下增加一個條件會使泛函極值及相應 的自變函數變化性質發生變化。如：極小值可能變大；極大值可能變 小;非極值的駐

7、值可能成為極值。若干背景知識 泛函的駐值問題可以轉化為等價的微分方程問題，變分法的理論計算就是完成這類工作。本章內容沿襲此方法，是要把問題的理論基礎講明確。 從近似解的角度出發，直接求解泛函的駐值，比解微分方程更加方便， 也更為實用。特別計算機技術的發展，帶來了大規模數值計算的可能性(有限元的思想基礎)。 經 Euler, Lagrange, Dirichlet, Hilbert, Bernoulli 等數學先驅的卓越工作， 完成了的系統方法。 但把微分方程問題轉換為泛函問題還很不成熟。在物理、力學中，即先 猜想一個泛函的駐值問題，再校對是否與原微分方程問題等價。 泛函駐值的計算(數值)先驅工

8、作中以Ritz, Galerkin,Treft著名。關于變分法的一個預備定理若f(x)在a, b上連續，若對任意滿足(a)= (b)=0的連續函數X都有：bf(x)(x)dx = 0a則f(x)在a, b上處處為零。反證法：設X。為a, b中的點，在X。點f(X0)工0，可取f(x0)0,v f(x)在區間上連續，必存在x0的一個充分小鄰域上f(x)0, x 0- :VXVX0+； 又V X為任意連續函數(滿足邊界條件)，可取X也在該鄰域內大于零， 而在該鄰域外恒等于零。所以有ba f(x) (x)dx 0矛盾！即f(x)必須為零；同理可證小于零情況。該定理可推廣多元變量的函數問題。b1.2.

9、1定積分aF(x,y,y)dx的駐值(變分)問題目的：通過簡單泛函的極值分析，獲得建立變分法的基本概念、計算步驟(把變分解轉化成微分方程)問題：在自變量x的區間a，b 內決定一個函數y(x)，使它滿足邊界條件：y = 良二，y Tx并使泛函：bv = J F(x, y, y)dx 取極值。a計算v方法1：先用變分觀點解釋GH曲線的增量設想已取得了一條曲線 GACH方程為：y= y (x)在GACH附近另取一條曲線GBDH，令該曲線無限接近GACH，其方程為:yi(x) = y(x)，y(x)y(x)是一個無窮小量，稱為自變函數的變分(若 x不變，即為曲線縱坐標 的增量)(注意與函數微分的區別，

10、這里函數的變分仍然是一個函數) 相應兩條曲線，獲得兩個泛函值：bv = a f (x, y, y )dxbv v = F(x, y 、y, y y ) dxa基本引理：(、y) -y證： y(x) =yi(x)-y(x)二(、y)-yi(x)-y(x)= y推廣：(y 另一條認識(：y) = ： y的思路：A C :y(Xc) =y(XA)y dxA B :y1(XB)= y(XA)、yAC D :y,XD)二 y(xc) 、ycB D :y,XD)二 y,XB)y1dx% = y 、y=、y = y dx ; 、yi = y；dx、.y1 -、.y 二(y) =- yi-y -ydxbAV

11、= F(x,y+6y, y*6y) F(x, y,y)dx因為F（x,y,y）是x, y, y 的連續可導函數（工程上一般如此），故門及胡很小時，V也很小，即刊小、0 V 0 取等式兩端的一階無窮小量，即：b gFcFV - i y y dx （可以從Tailor展開式去理解） a ；y；yV稱為泛函V的一階變分，簡稱變分，即泛函的一階變分是泛函增量中的 一階小量部分（把自變函數的變分y作為一階小量）所以，變分的運算服從 無窮小量的運算規則。計算V方法2：（把求泛函的極值轉化成求普通函數的極值）記：y,x） = y0（x）亠出 y（x） 0一；一1 （y0 及 y 固定）_bV（E）= a F

12、（X, y。y0y）dxa當V在y0上取極值，則相應于；=0的泛函值 V（；）現在成為普通的函數 極值條件：V （ 01 ； = 0 （先不管該條件，現僅研究其導數計算）砰蝕廠蘭吟召dxd；lya ：y d ；ryd；a :y上兩式中出現，y和y并不能獨立變化，可設法把y項轉換成只與;y有關 的項。取分步積分:b : F丐 ydxabbu vdx uv|a 取：u:Fb dcFjFb代入一階變分式:、 rb cF d lF EcF b心弓芯（列曲喬y|a要選定的函數滿足邊界條件，所以:、討=o |x ，:；y = o |x二V M-#（M）、ydxa ；y dx : y計算V二0若方括號內的函

13、數在區間內不為 0,則可任選胡使V大于零或小于零，即 使V不能獲得極值，故需方括號的項為零。即： 主_3（）=0（Euler 方程）.y dx ；y此即與泛函駐值等價的微分方程?；颍毫頥 =0由變分基本定理：；任意連續函數，方括號中函數連續。疋沖主）=0.y dx yV y22gyExample最速降線問題:（注不顯含X）代入Euler方程，并乘以函數Q可得：d ；:F;:F：F d ；FQQ ?。?）二QQ（Q.）=0.ydx :y:y :y dx:yF由于 =0（F中不顯含x），上式中只要令Q二y把上式配成全微分形式:xdx:F和y）= 這是因為:dFdx.x：y dxjy dx；:F門（0）（代回原Euler方程，即得全微分）:x后兩項由Q的假設.y ；y由全微分方程 =F -丁yC代入F的具體表達式:1Jy(1 +y2)y(i +y2) =v=令: y = cta nty=v_ =vs i $t = V(1 -c o2t)1 + ct a nt22vs in t cost2a