1、中國高考數學母題一千題(第0001號)愿與您共建真實的中國高考數學母題(楊培明構造二次方程.解決解析幾何試題解決解析幾何試題的一個技法 解析幾何的基本思想是利用代數的方法研究幾何問題,因此,方程理論是解析幾何的基本工具,其中,構造二次方程解題是一種重要的思想方法.母題結構:()己知x1x2,且ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,則x1+x2=-,x1x2=;()己知(x1,y1),(x2,y2)(x1x20)滿足ay2+bxy+cx2=0,則+=-,=.母題解析:()與()的本質是韋達定理,正確性顯然;在解析幾何中應用的關鍵是如何構造二次方程. 1.利

2、用點在曲線上,構造一元二次方程 子題類型:(2011年全國大綱卷高考試題)設兩圓c1、c2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|c1c2|=( ) (a)4 (b)4 (c)8 (d)8解析:設圓c1:(x-a)2+(y-a)2=a2,c2:(x-b)2+(y-b)2=b2(ab),由c1、c2都過點(4,1)(4-a)2+(1-a)2=a2,且(4-b)2+(1-b)2=b2a,b是方程(4-t)2+(1-t)2=t2,即t2-10t+17=0的兩個根a+b=10,ab=17|c1c2|=8.故選(c).點評:由同一點在相同條件下的兩條曲線上,或由“地位相同”的不同兩點在一條

3、曲線上,均可構造一元二次方程. 2.利用“同位”直線,構造一元二次方程 子題類型:(2014年廣東高考試題)已知橢圓c:+=1(ab0)的一個焦點為(,0),離心率為.()求橢圓c的標準方程; ()若動點p(x0,y0)為橢圓外一點,且點p到橢圓c的兩條切線相互垂直,求點p的軌跡方程.解析:()令c=,c=,e=a=3,c=b=2橢圓c:+=1;()設兩切線為l1,l2;當l1x軸或l1x軸時,由l1l2l2x軸或l2x軸x0=3,y0=2;當l1不垂直于x軸且不平行于x軸時,設l1,l2的斜率分別為k1,k2,則l1:y-y0=k1(x-x0),代入橢圓c的方程得:(9k12+4)x2+18

4、(y0-k1x0)k1x+9(y0-k1x0)2-36=0;由直線l1與橢圓c相切=0(x02-9)k12-2x0y0k1+y02-4=0k1是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根,同理可得k2也是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根k1k2=;又由l1l2k1k2=-1=-1x02+y02=13,且當x0=3,y0=2時,也滿足x02+y02=13.綜上,點p的軌跡方程是x2+y2=13.點評:對“同等地位”的兩條直線,首先圍繞其中一條直線“單方面”展開分析與運算,直至得到關于某量的一元二次方程,同理可得另一條直線對應量也是該一元二次方程的根,通過根與

5、系數的關系,使問題獲得干凈利落的解決. 3.利用直線與曲線方程,構造二元二次齊次方程 子題類型:(2000年北京安徽春招試題)如圖,設點a和b為拋物線y2=4px(p0)上原點以外的兩個動點.已知oaob,omab,求點m的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.解析:設a(x1,y1),b(x2,y2),直線ab:x=ty+b(b0)1=,代入y2=4px得:y2=4pxb()2+4pt-4p=0=-;由oaob=-1-=-1b=4p直線ab:x=ty+4p過定點n(4p,0),由omab點m的軌跡是以on為直徑的圓(去掉坐標原點),方程是x(x-4p)+y2=0(x0).點評:對于直線l與圓錐曲線

6、相交于a、b兩點,且oa與pb的斜率之和或積已知的問題,可設直線l:y=kx+m或x=ty+m(m0)1=或1=,然后利用二次項不變,一次項乘或,常數項乘()2或()2的法則,構造關于x,y的二次齊次方程,進而轉化為關于的二次方程利用韋達定理解決相關問題. 4.子題系列:1.(2007年全國高中數學聯賽江西初賽試題)若實數x,y滿足:+=1,+=1,則x+y= .2.(2008年全國高中數學聯賽浙江初賽試題)已知,r,直線+=1與+=1的交點在直線y=-x上,則sin+cos+sin+cos= .3.(2008年全國高中數學聯賽山東初賽試題)f(1,0)為一定點,p(0,b)是y軸上的一動點,

7、點m(a,0)滿足=0.若點n滿足2+=0,求:()點n的軌跡曲線c的方程; ()曲線c的任何兩條相互垂直的切線的交點軌跡.4.(2006年全國高考試題)己知拋物線x2=4y的焦點為f,a、b是拋物線上的動點,且=(0).過a、b兩點分別作拋物線的切線,設其交點為m.()證明:為定值;()設abm的面積為s,寫出s=f()的表達式,并求s的最大值.5.(1993年上海高考試題)拋物線y=-與過點m(0,-1)的直線l相交于a、b兩點,o為坐標原點.若直線oa與ob的斜率之和為1,求直線l的方程.6.(1991年全國高考試題)己知橢圓的中心在坐標原點o,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與該橢圓相交

8、于p和q,且opoq,|pq|=,求橢圓的方程. 5.子題詳解:1.解:由已知得210,310是方程+=1,即t2-(x+y-53-63)t+=0的兩個根210+310=x+y-53-63x+y=210+310+53+63.2.解:設兩直線的交點為(x0,-x0),則sin,cos為方程+=1,即t2+(sin+cos)t+sincos-x0(cos-sin)=0的兩個根sin+cos=-(sin+cos),即sin+cos+sin+cos=0.3.解:()設n(x,y),由=0,2+=0a-b2=0,x+a=0,y=2by2=4x;()設交點t(x0,y0),切線:y-y0=k(x-x0),

9、 代入y2=4x得:ky2-4y+4y0-4kx0=0=0x0k2-y0k+1=0;由k1k2=-1x0=-1交點軌跡是直線x=-1.4.解:()設點a(2a,a2),b(2b,b2),m(x0,y0),則ma:ax=y+a2,mb:bx=t+b2a2-x0a+y0=0,b2-x0b+y0=0ab=y0;又由f,a,b三點共線得:ab=-1y0=-1=0;()略.5.解:設a(x1,y1),b(x2,y2),直線l:y=kx-11=kx-y,代入x2=-2y得:x2=-2y(kx-y)2()2-2k-1=0+=k;由直線oa與ob的斜率之和為1+=1k=1直線l:y=x-1.6.解:設橢圓的方程:ax2+by2=1(a0,b0,ab),p(x1,y1),q(x2,y2),則|pq|=(x1+x2)2-4x1x2=;opoq=-1,