1、1第3章 連續時間信號的變換域分析3.1 周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析傅里葉級數傅里葉級數3.2 典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜3.3 非周期信號的頻譜分析非周期信號的頻譜分析傅里葉變換傅里葉變換3.4 典型非周期信號的頻譜典型非周期信號的頻譜3.5 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質3.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換3.7 拉普拉斯變換拉普拉斯變換3.8 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質3.9 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換3.10 連續信號的頻域與復頻域的連續信號的頻域與復頻域的MATLAB分析分析2 從本章起，我們對信號的分析由時域分析進入變換

2、域分析，即傅里葉變換（頻域）分析傅里葉變換（頻域）分析和拉普拉斯變換（復頻拉普拉斯變換（復頻域）分析域）分析。 在頻域分析頻域分析中，首先討論周期信號的傅里葉級數，然后討論非周期信號的傅里葉變換及其性質，還要介紹周期信號的傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數的基礎上發展而產生的，這方面的問題統稱為傅里葉分析。 在復頻域分析復頻域分析中，首先介紹從傅里葉變換推廣到拉普拉斯變換的概念，進而引出拉普拉斯變換的定義，然后介紹拉普拉斯變換的性質及拉普拉斯逆變換。第3章 連續時間信號的變換域分析33.1 3.1 周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析傅里葉級數傅里葉級數 任何周期函數在滿足狄里赫利的條件下，

3、可以展開成正交函數線性組合的無窮級數。 如果正交函數集是三角函數集三角函數集或復指數函數集復指數函數集，此時周期函數所展成的級數就是 “傅里葉級數傅里葉級數”。前者稱為三角形式的傅里葉級數，后者稱為指數形式的傅里葉級數，它們是傅里葉級數兩種不同的表示形式。 Fourier4 3.1.1 3.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數0111( )(cossin)(3.1 1)nnnf taantbnt設周期信號為 , 其重復周期是T1,角頻率11122fT( )f t010011( )tTtaf t dtT直流分量：余弦分量的幅度：010112( )costTntaf tntdtT正弦分

4、量的幅度：010112( )sintTntbf tntdtT以上各式中的積分限一般取： 或10 T1122TT5 3.1.1 3.1.1 三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數也可表示成：011( )cos()(3.1 3)nnnf tccnt其中22200arctan()nnnnnnbcabcaa根據歐拉公式：11()()01( )2nnj ntj ntnncf tcee111)0112nnjjjntjntjntnnnnncc eec eeF e其中00,1,2,3,.,2njnncFcFen6 3.1.2 3.1.2 指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數1( )(

5、3.15)jntnnf tF e000Fac1()2njnnnnFF eajb其中011011( )tTjntntFf t edtT- 復振幅221122nnnnFabcarctan()nnnba7 3.1.3 3.1.3 周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點1. 周期信號的頻譜周期信號的頻譜1( )(3.15)jntnnftF e 0111( )(cossin)(3.1 1)nnnf taantbnt011( )cos()(3.13)nnnf tccnt 為了能既方便又明確地表示一個信號中含有哪些頻率分量，各頻率分量所占的比重怎樣，就可以畫出頻譜圖來直觀地表示。 如果以頻率為橫軸，以

6、幅度或相位為縱軸，繪出 及 等的變化關系，便可直觀地看出各頻率分量的相對大小和相位情況，這樣的圖就稱為三角形式表示的信號的幅度頻譜幅度頻譜和相位相位頻譜。頻譜。ncn8 3.1.3 3.1.3 周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點例例3.1-1 求題圖所示的周期矩形信號的三角形式與指數形式的傅里葉級數，并畫出各自的頻譜圖。解：解：一個周期內 的表達式為：( )f t111022( )22TEtf tTEtT 10011( )0Taf t dtT11012( )cos0Tnaf tntdtT110121,3,52( )sin02,4,6TnEnbf tntdtnTn9 3.1.3 3.1

7、.3 周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點)5 , 3 , 1(2)arctan(nabnnn因此11,3,511121( )sin211(sinsin3sin5)35nEf tntnEtt或11,3,521( )cos()2nEf tntnnncb6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnE10 3.1.3 3.1.3 周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點(1,3,5)2(1, 3, 5)2nnn 6, 4, 205, 3, 12)(21nnnjEbjjbaFnnnn111133( )33jtjtjtjtjEjEjEjEf teeee (1, 3, 5)nEFnn )5,

8、 3, 1(2)5 , 3 , 1(2nnn)5, 3, 1(nnEFn)5 , 3 , 1(2nn6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnEcn02n11315nc113150E232E52EnFE3E5E151311131522n151311131512 3.1.3 3.1.3 周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點2. 周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點（1）離散性 - 頻譜是離散的而不是連續的，這種頻譜 稱為離散頻譜。（2）諧波性 - 譜線出現在基波頻率 的整數倍上。1（3）收斂性 - 幅度譜的譜線幅度隨著 而逐漸 衰減到零。n13 3.1.4 3.1.4 波形的對稱性與

9、諧波特性的關系波形的對稱性與諧波特性的關系（1）偶函數）偶函數( )()f tft1112211011224( )cos( )cosTTTnaf tntdtf tntdtTT1121122( )sin0TTnbf tntdtT所以，在偶函數的傅里葉級數中只含有（直流）（直流）和余弦分量余弦分量。2012210111)(2)(1TTTdttfTdttfTa 已知信號 展為傅里葉級數的時候，如果 是實函數而且它的波形滿足某種對稱性，則在傅里葉級數中有些項將不出現，留下的各項系數的表示式也將變得比較簡單。波形的對稱性有兩類，一類是對整周期對稱；另一類是對半周期對稱。( )f t( )f t14 3.

10、1.4 3.1.4 波形的對稱性與諧波特性的關系波形的對稱性與諧波特性的關系（2）奇函數）奇函數( )()f tft 1112211011224( )sin( )sinTTTnbf tntdtf tntdtTT 所以，在奇函數的傅里葉級數中只包含正弦分量正弦分量。1120121( )0TTaf t dtT1121122( )cos0TTnaf tntdtT15 3.1.4 3.1.4 波形的對稱性與諧波特性的關系波形的對稱性與諧波特性的關系（3）奇諧函數）奇諧函數)()2(1tfTtf)(tft21T1T21T例如)2(1Ttft21T1T21T)()2(1tfTtft21T1T21T16 3

11、.1.4 3.1.4 波形的對稱性與諧波特性的關系波形的對稱性與諧波特性的關系121010(2,4,6)4( )cos(1,3,5)Tnnaf tntdtnT121010(2,4,6)4( )sin(1,3,5)Tnnbf tntdtnT 可見，在奇諧函數的傅里葉級數中，只會含有奇次諧波分量奇次諧波分量。00a17 3.1.4 3.1.4 波形的對稱性與諧波特性的關系波形的對稱性與諧波特性的關系 在偶諧函數的傅里葉級數中，只會含有（直流）（直流）與偶次偶次諧波分量諧波分量。（4）偶諧函數）偶諧函數1()( )2Tf tf t例例3.1-2：tt21T1T21T)(tf)(tf)(tf 為偶諧函

12、數，且去掉直流分量1/2后為奇函數，所以 的傅里葉級數中包含直流分量和偶次諧波的正弦分量。18 3.1.5 3.1.5 吉伯斯（吉伯斯（GibbsGibbs）現象）現象( )f tt2E2E21T8.95%En=1n=3n=5111211( )(sinsin3sin5)35Ef ttt n=3:1121( )(sinsin3)3Ef ttt n=5:111211( )(sinsin3sin5)35Ef ttt n=1:12( )sinEf ttShow19 3.1.5 3.1.5 吉伯斯（吉伯斯（GibbsGibbs）現象）現象( )f tt2E2E21T8.95%En=1n=3n=5 從左圖

13、可以看出： 傅里葉級數所取項數越多，相加后的波形越逼近原信號。 當信號是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿，而低頻分量主要影響脈沖的幅度。 從上圖還可以看出如下現象：選取傅里葉有限級數的項數越多，在所合成的波形中出現的峰值越靠近 的不連續點。但無論n取的多大（只要不是無限大），該峰值均趨于一個常數，它大約等于跳變值的 8.95， 并從不連續點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。這種現象稱為吉伯斯現象吉伯斯現象。( )f t203.2 3.2 典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜3.2.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號(1) 周期矩形脈沖信號的傅里葉級數周期矩形脈沖信號的傅里葉級數t)

14、(tf2221T21T1T1TE12200011122( )TEaf t dtEdtTTT0nb11221100111442( )coscosSa()2TnnnEaf tntdtEntdtcTTT21 3.2.1 3.2.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號111112( )Sa()cos(3.24)2nnEEf tntTT 所以，三角形式傅里葉級數為 所以，指數形式的傅里葉級數為111( )Sa()(3.26)2jntnnEf teT1111()Sa()222nnnnnEFajbaT 因為22 3.2.1 3.2.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號（2）頻譜圖）頻譜圖112Sa()2nnE

15、cT11Sa()2nnEFT23 3.2.1 3.2.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號若411T則)2(4142211T因此，第一個零值點之內或兩個相鄰的零值點之間有3根譜線。一般情況： 若nT11則第一個零值點之內或兩個相鄰的零值點之間有n1根譜線。頻帶寬度：2B或1fB結論：結論：矩形脈沖的頻帶寬度與脈沖寬度成反比。矩形脈沖的頻帶寬度與脈沖寬度成反比。nc1TE12TE24124 3.2.1 3.2.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號(3) 頻譜結構與波形參數之間的關系頻譜結構與波形參數之間的關系 1. 若 不變， 擴大一倍，即 1T8411TTt)(tf12TE1Tnc4E2E12

16、4t)(tfE1Tnc4E8E12425 3.2.1 3.2.1 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號2. 若 不變， 減小一半，即 1T8411TTt)(tf12TE1Tnc4E8E12t)(tf12TE1Tnc4E2E124 譜線間隔 只與周期 有關，且與 成反比；零值點頻率 只與 有關，且與 成反比；而譜線幅度與 和 都有關系，且與 成反比與 成正比。11(2 /)T1T1T2 / 1T1T26 3.2.2 3.2.2 周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號1111( )( 1)sinnnEf tntn 周期鋸齒脈沖信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規律收斂。27 3.2.3 3.2.

17、3 周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號2122141( )sincos22nEEnf tntn 周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以 的規律收斂。2/1 n28 3.2.4 3.2.4 周期半波余弦信號周期半波余弦信號12121( )coscos21nEEnf tntn2/1 n 周期半波余弦信號的頻譜只含有直流、基波和偶次諧波的余弦分量。諧波幅度以 的規律收斂。29 3.2.5 3.2.5 周期全波余弦信號周期全波余弦信號11124111( )coscos2cos331535EEf tttt2/1 n 周期全波余弦信號的頻譜包含直流分量及 的各次諧波分量。諧波的幅度以

18、 的規律收斂。130 3.3 3.3 非周期信號的頻譜分析非周期信號的頻譜分析傅里葉變換傅里葉變換t)(tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T112T譜線間隔1T0211T0譜線間隔周期信號的離散譜非周期信號的連續譜由于,1T1112121( )0TjntTnFf t edtTShow3.3.1 傅里葉變換及傅里葉逆變換傅里葉變換及傅里葉逆變換31 3.3.1 3.3.1 傅里葉變換及傅里葉逆變換傅里葉變換及傅里葉逆變換頻譜密度函數頻譜密度函數11111212limlim( )TjntTnTTF Tf t edt 11Tn 當時， 離散頻率連續頻率則11lim( )jtnTF

19、Tf t edt - - 非周期信號非周期信號f(t) 的的傅里葉變換傅里葉變換- 傅里葉逆變換傅里葉逆變換記為()F j f(t)( )(3.3 1)jtf t edtF)(tf11 ()()(3.34)2jtF jF jed F323.3.23.3.2 傅里葉變換的物理意義傅里葉變換的物理意義頻譜和頻譜密度函數頻譜和頻譜密度函數 從上式可以看出，具有單位頻帶復振幅的量綱，因此這個新的量稱為原函數的頻譜密度函數，簡稱頻譜函數頻譜函數。 1110122(j)limlimddnnnnTFFFFT Ffj ()(j)e(j)FF (j)F- 幅度譜幅度譜() - 相位譜相位譜333.3.23.3.

20、2 傅里葉變換的物理意義傅里葉變換的物理意義頻譜和頻譜密度函數頻譜和頻譜密度函數周期信號：周期信號：1( )jntnnf tF e011011( )tTjntntFf t edtT傅里葉逆變換：傅里葉逆變換：1( )()2jtf tF jed傅里葉變換：傅里葉變換：()( )jtF jf t edt- 連續譜、相對幅度- 離散譜、實際幅度nF與 的關系：()Fj11()limnTFjF T11()(3.610)nnFjFT34 3.4 3.4 典型非周期信號的頻譜典型非周期信號的頻譜 1. 1.對稱矩形脈沖信號對稱矩形脈沖信號202)(ttEtf 22()Sa()2(3.42)jtF jEed

21、t E周期矩形脈沖信號：11Sa()2nnEFT()nF jF與之間滿足如下關系：21,fBB)(tfE2/2/t11()nnF jFT35 1.1.對稱矩形脈沖信號對稱矩形脈沖信號36 2.2.單邊指數信號單邊指數信號0( )( )00ttetf te u tt 01()( )(3.4 4)jttjtF jf t edteedtj221()F j()arctan() 37 3.3.雙邊指數信號雙邊指數信號( )tf te222()(3.4 8)F j38 4.4.符號函數符號函數10sgn( )10ttt)sgn( t11t)(1tf1ttete1)()()(tuetuetftt)()()s

22、gn()()(1tuetuettftftt)(tf1ttete)(tf1t110022() ( )()2tjttjtF jf teedteedtj F39 4.4.符號函數符號函數2212)(jjF102()lim()(3.4 12)F jF jj2()F j02()02 )(jF( ) 2240 5.5.沖激函數和沖激偶函數沖激函數和沖激偶函數 ()( )1(3.4 15)jtF jt edt 單位沖激函數的頻譜等于常數，也就是說，在整個頻率范圍內頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做“均勻譜”或“白色頻譜”。(1）沖激函數的傅里葉變換）沖激函數的傅里葉變換)(1tf/12/2/t)(tt)1(1

23、1)(jF00Show41 5.5.沖激函數和沖激偶函數沖激函數和沖激偶函數(2）沖激函數的傅里葉逆變換）沖激函數的傅里葉逆變換)()(1jF) 1 (21)(1tft1)(2tft)(2)(2jF)2(1 11( ) ()()(3.4 17)22jtf ted F或1(),2 F12() F42 5.5.沖激函數和沖激偶函數沖激函數和沖激偶函數)(1tf12/2/t)(tft1)2()(2)(jF1)2()2(limtutu或：Sa()22d() 1lim Sa()limSa() 2222F2() Show43 5.5.沖激函數和沖激偶函數沖激函數和沖激偶函數（3）沖激偶的傅里葉變換）沖激偶

24、的傅里葉變換即： 1( )2jtted上式兩邊對t 求導得：1( )()2jtdtjeddt, 1)(tF( )(3.423)tjF同理：( )( )()nntjF44 6.6.階躍信號階躍信號)sgn(2121)(ttu1()(3.425)j ( ) 22()F j)(11() ( )sgn( )22Fju ttFFF45 3.5 3.5 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質1. 線性線性2. 對稱性對稱性設()()()( )( )jF jF jeRjX 其中22()()()(),()arctan()XF jRXR 若11( )(),f tF j22( )(),f tFj則1 12211

25、22( )( )()(3.5 1)()a f ta f ta F ja FjFFF若 ( )()f tF j則 ()()(3.56)ftFj*( )()(3.57)ftFj*()()(3.58)ftFjFFFF46 2.2.對稱性對稱性如：1( )teu tjF1()te utjF又如：1 ( )()u tj F11 ()()()utjj F47 2.2.對稱性對稱性兩種特定關系：兩種特定關系：1. 若若f(t)是實函數，或虛函數是實函數，或虛函數 f(t)= j g(t)，則，則 是偶函數是偶函數,()F j() 是奇函數。是奇函數。例如：( )tf te222()F j（實偶）（實偶）0(

26、 )0ttetf tet222()jF j（實奇）（虛奇）2. 若若f(t)是是 t 的的 實偶函數，則實偶函數，則 必為必為 的實偶函數的實偶函數,即即()F j()()F jR 若若f(t)是是 t 的實奇函數，則的實奇函數，則 必為必為 的虛奇函數，的虛奇函數， 即即()()F jjX()F j48 3.3.對偶性對偶性 ( )(),f tF j ()2()(3.5 11)F jtf若則FF若f(t)為實偶函數，則()()()F jRR對偶性為： ( )2()R tfF0(2)tR(t)=10101例如：例如：0(1)t( )( )f tt()()1F jR2()f49 3.3.對偶性對

27、偶性( ) ()()()Sa()222f tE u tu tRE( )Sa() ( )2 ()()222tR tER tE uuF又如：又如：)(tfE2/2/t)(2fE22/2/()R( )R tFF50 3.3.對偶性對偶性例：例：求F1t 因為2sgn( ),tj解：解：F22 sgn()2 sgn()jt 所以F這樣F1sgn()jt 51 3.3.對偶性對偶性 利用傅里葉變換的對偶性，可以將求傅里葉逆變換的問利用傅里葉變換的對偶性，可以將求傅里葉逆變換的問題轉化為求傅里葉變換來進行。題轉化為求傅里葉變換來進行。即1() ()2fF jtF1( ) ()(3.5 14)2tf tF

28、jtF ()2()F jtf ( )()f tF j若則FF52 3.3.對偶性對偶性解：解：)sgn()(tjjtF1212tt 例例3.5-13.5-1：求1sgn()jF22 ()F jtjjF11sgn( ) ( )2tjF jtFF53 3.3.對偶性對偶性例例3.5-2 已知信號的傅里葉變換為2 /2(j)0 /2AF試求其逆變換 。 ( )f t()F jtt222 A解：解：2, /2(j )0, /2AtFtt(j )2Sa2FtA F11( )(j )2SaSa2222tttf tFtAAF54 4.4.位移性位移性 位移性包括時移性和頻移性。 （1）時移特性）時移特性 (

29、 )(),f tF j若則F0j0()(j)e(3.515)tf ttFF同理 0j0()(j)e(3.516)tf ttFF例例3.5-3 求題圖所示的單邊矩形脈沖信號的頻譜函數。)(tfEt解：解：因為對稱矩形脈沖信號 的傅里葉變換為( )G t()Sa()2G jE55 4.4.位移性位移性 j2(j)Sae2FE幅度譜保持不變，相位譜產生附加相移/2() 2/()Sa()2G jE56 4.4.位移性位移性 （2）頻移特性（調制定理）頻移特性（調制定理)若 ,( )(j)f tFF0j0( )ej()(3.517)tf tFF則同理 0j0( )ej()(3.5 18)tf tFF因為

30、 ，00jj01cos(ee)2ttt00jj01sin(ee)2jttt所以0001( )cosj()j()2f ttFFF000j( )sinj()j()2f ttFFF57 4.4.位移性位移性 例例3.5-4 求 , 及 的頻譜。0jet0cost0sint解：解： 12() F因為 ，再根據頻移性可得0j0e2()(3.521)t F000cos()()(3.522)t F000sinj()()(3.523)t F58 4.4.位移性位移性 例例3.5-5 求矩形脈沖調幅信號的頻譜，已知 f(t)=G(t) cos0t ，其中G(t)為矩形脈沖，脈幅為E, 脈寬為。(j)Sa2GE0

31、0001(j)j()j()2Sa ()Sa ()2222FGGEE59 5.5.尺度變換尺度變換 若 ,( )(j)f tFF則1()j(3.524)|f atFaaF 信號在時域中壓縮等效在頻域中擴展；反之，信號在時域信號在時域中壓縮等效在頻域中擴展；反之，信號在時域中擴展等效在頻域中壓縮。中擴展等效在頻域中壓縮。60 5.5.尺度變換尺度變換 特例：()( j)(3.525)ftFF綜合時移特性與尺度變換特性，還可以證明以下兩式0j01()je(3.526)|taf attFaaF0j01()je(3.527)|taf tatFaaF61 6.6.卷積定理卷積定理 卷積定理包括時域卷積定理

32、和頻域卷積定理。（1）時域卷積定理）時域卷積定理 11( )(j)f tFF22( )(j)f tFF若 ， ，則1212( )( )(j)(j)(3.528)f tftFFF（2）頻域卷積定理）頻域卷積定理 12121( )( )(j)(j)(3.529)2f t ftFFF11( )(j)f tFF22( )(j)f tFF若 ， ，則1212(j)(j)(j )j() dFFFF其中62 6.6.卷積定理卷積定理 例例3.5-6 已知兩矩形脈沖信號分別為12( )2 (1)(1),( )(2)(2)f tu tu tf tu tu t求 的傅里葉變換 12( )( )f tft12(j)

33、( )( )Ff tftF解：解：1122(j)( )4Sa()(j)( )4Sa(2)Ff tFftFF1212(j)( )( )(j)(j)16Sa()Sa(2)Ff tftFFF根據時域卷積定理，可求出63 6.6.卷積定理卷積定理 例例3.5-7 利用頻域卷積定理求余弦 脈沖信號f(t)的頻譜函數。cos /2( )0 /2Ettf tt解：解：把f(t)看作是矩形脈沖G(t)與無窮長余弦函數的乘積。(j)( )Sa2GG tEFcost F64 6.6.卷積定理卷積定理 根據頻域卷積定理，可以得到 的頻譜函數為 ( )f t1(j)( )cos(j)cos21Sa22SaSa2222

34、FG ttGtEEE FF2cos()221E65 6.6.卷積定理卷積定理 時域相乘)(jF3355/2E2/E頻域卷積66 7.7.微分與積分微分與積分 微分與積分特性包括時域微分與時域積分特性和頻域微分與頻域積分特性。（1）時域微分）時域微分d( )(j)j(3.532)dnnnf tFtF若 ,( )(j)f tFF則d ( )jj(3.531)df tFtF( )jt F( )( )(j)nnt F例如：由于 , 所以( )1tF67 7.7.微分與積分微分與積分 （2）時域積分）時域積分若 ,( )(j)f tFF則 j( )d0()(3.535)jtFfF F式中， 00jFF如

35、果 ，則(0)0Fj( )d(3.536)jtFfF68 7.7.微分與積分微分與積分 當f(t)的導數 的頻譜比較容易求出時，可以利用時域積分特性來求原函數的頻譜，但需要對式（3.5-31）進行修正。( )( )df ttdt(j)(j)()( )()(3.537)jFff 式中， ，d(j)( )( )df tttFF( )lim( ),tff t ()f lim( )tf t69 7.7.微分與積分微分與積分 1. 當 時，有()0,()0ff ()()(0) ()jF jj 2. 當 時，有()0,()0ff ()()jF jj(j)(j)()( )()jFff 70 7.7.微分與積

36、分微分與積分 例：例：利用時域積分特性分別求 及 的傅里葉變換。1( )( )f tu t21( )sgn( )2ftt解：解：由于12( )1( )( ),( ) sgn( )( )2du tdtttttdtdt即12()()1jj 又因為112211()0,()1,(),()22ffff 所以，111()1 ( )()()()()ju tffjj F222()11sgn( )()()()2jtffjj F即2sgn( )tjF71 7.7.微分與積分微分與積分 例例3.5-8 求下圖所示的三角脈沖信號的傅里葉變換。)(tfE22t0)(tfE222tE2)( tf22t)4(E)2(E)2

37、(E解：解： 首先求出f(t)的一階導數和二階導數)(2)2()2(2)( tttEtf對上式兩邊取傅里葉變換：jj222222(j)(j)ee2Sa24EFE 72 7.7.微分與積分微分與積分 2jj22222(j)(j)ee2Sa24EEF 由于 ，所以可以利用的二階導數的頻譜來求其原函數的頻譜。于是 ()( )0ff 2(j)Sa24EF73 7.7.微分與積分微分與積分 例例3.5-9 求下圖所示信號f(t)的傅里葉變換。tf(t)1t0tt0)(t01t解解 ：000, 10,0, 0)(ttttttttf00010( )( )00,ttd f tttdtttt 0j02(j)Sa

38、e2tt74 7.7.微分與積分微分與積分 0j02(j)Sae2tt0)(, 1)(ff0j02(j)(j) ( )()()j1Sae()j2tFfft 75 7.7.微分與積分微分與積分 （3）頻域微分）頻域微分 若 ,( )(j)f tFF則dj( j ) ( )(3.539)dFt f tFdj( j )( )(3.540)dnnnFtf tF例：例： 12() F 2 j()t F( )2 j()nnnt F76 7.7.微分與積分微分與積分 （3）頻域積分）頻域積分 若 ,( )(j)f tFF則 1( )jd0( )(3.544)jf tFftt F若 ，則 (0)0f1( )j

39、djf tFtF77 3.6 周期信號的傅里葉變換周期信號周期信號傅里葉級數傅里葉級數非周期信號非周期信號？1T傅里葉變換傅里葉變換1T（離散譜）（離散譜）（連續譜）（連續譜）1正弦、余弦信號的傅里葉變換正弦、余弦信號的傅里葉變換0j0e2()t F000cos()()t F000sinj()()t F 在例3.5-4中，已經求出了指數信號、正弦和余弦信號的傅里葉變換。即 78 3.6 周期信號的傅里葉變換以上三種信號的頻譜圖如下所示2一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換1j( )entnnf tF其中 111/2j/211( )edTntnTFf ttT或 1011()nnFFj

40、T 設周期信號 的周期為 ，則角頻率 ，可以將 展開成指數形式的傅里葉級數( )f t11122 /fT ( )f t1T79 3.6 周期信號的傅里葉變換1j( )entnnf tF將上式兩邊取傅里葉變換 11jj( )eentntnnnnf tFFFFF12()nnFn 1(j)( )2()(3.65)nnFf tFn F即： 周期信號周期信號 的傅里葉變換是由一系列沖激函數所組成，這的傅里葉變換是由一系列沖激函數所組成，這些沖激位于信號的諧頻些沖激位于信號的諧頻 處，每個沖激處，每個沖激的強度等于的強度等于 的傅里葉級數相應系數的傅里葉級數相應系數Fn的的 倍。倍。11(0,2,)2(

41、)f t( )f t80 3.6 周期信號的傅里葉變換例例3.6-1 求周期單位沖激序列 的傅里葉級數與傅里葉 變換。( )Tt01T12T1T12Tt)(tT) 1 (0nF1211T11-12-0)(jF1()12-1-112解：解： nTnTtt)()(1111/2j/21111( )edTntnTFttTT1j11( )entTntT111()2()()nnnF jFnn 81 3.6 周期信號的傅里葉變換例例3.6-2 求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數和傅里葉變換。已知 的幅度為 ，脈寬為 ，周期為 ，角頻率為 。( )f tE1T112 /T t)(tf2/2/1T1TE解：解：已知

42、矩形脈沖已知矩形脈沖 的傅里葉變換為的傅里葉變換為0( )f t0()Fj0(j)Sa()2FE110111()Sa()2nnnEFFjTT因為82 3.6 周期信號的傅里葉變換所以11jj11( )eSae2ntntnnnnEf tFT 1111(j)2()Sa()2nnnnFFnEn 設：211T（ ）83 3.7 拉普拉斯變換拉氏變換的優點：拉氏變換的優點：1）求解簡化；）求解簡化；2）把微分、積分方程轉化為代數方程；）把微分、積分方程轉化為代數方程；3）將復雜函數轉化為簡單的初等函數；）將復雜函數轉化為簡單的初等函數；4）將卷積轉化為乘法運算。）將卷積轉化為乘法運算。Laplace84

43、3.7.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換j (j)( )edtFf ttj 1( )(j)ed2tf tF引入衰減因子 ，則 的傅氏變換為ete( )tf tje( ) ( )eedtttf tf ttF(j)( )ed tf tt令 ，則jsB( ) ( )( )edstBFsf tf ttL- f(t)的雙邊拉氏變換的雙邊拉氏變換j1Bj1( ) (j)( )e d2 jstBf tFFss L- 雙邊拉氏逆變換雙邊拉氏逆變換853.7.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換在信號與系統分析中，一般所遇到的總是因果信號，則 0( ) ( )( )ed(3.75)stF sf tf ttL- f(t)

44、的單邊拉氏變換的單邊拉氏變換j1Bj1( ) (j)( )e d02 jstf tFFsst L- 單邊拉氏逆變換單邊拉氏逆變換簡記為L.T.( )( )f tF s 863.7.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉普拉斯變換與傅里葉變換的區別：拉普拉斯變換與傅里葉變換的區別：FT: 時域函數時域函數f(t)頻域函數頻域函數)(jF變量變量 t變量變量 LT: 時域函數時域函數f(t)復頻域函數復頻域函數)(sF（變量（變量 t、 都是實數）都是實數）變量變量 t變量變量s (復頻率）復頻率） t（實數）（實數）(復數）復數） js即：即：傅里葉變換傅里葉變換建立了建立了時域時域與與頻域頻域之間的

45、聯系；之間的聯系；拉普拉斯變換拉普拉斯變換建立了建立了時域時域與與復頻域復頻域之間的聯系。之間的聯系。873.7.2 拉普拉斯變換的收斂域B( ) ( )( )edstBFsf tf ttL0( ) ( )( )edstF sf tf ttL（1）（2） 在以 為實軸， 為虛軸的復平面中，凡能使式(1)或式(2)積分收斂，即滿足下列絕對可積條件 的 的取值范圍稱為拉氏變換的收斂域，以ROC表示。j( ) edtf tt 883.7.2 拉普拉斯變換的收斂域例例3.7-1 求因果信號 （ 為實數）的雙邊拉氏變 換及收斂域。11( )e( )tf tu t1解：解：1()B110( )( )ede

46、dststFsf ttt當 時，有1Re s1()B111011( )estFsss 若 ，收斂軸將移到 軸的左側。 10j893.7.2 拉普拉斯變換的收斂域例例3.7-2 求左邊信號 （ 為實數）的雙邊拉 氏變換及收斂域。222( )e()tf tut 解：解：20()B22( )( )ededststFsfttt 當 時，有 2Re s220()B20()2( )ed1eststFsts 21s若 ，收斂軸將移到 軸的右側。 20j903.7.2 拉普拉斯變換的收斂域例例3.7-3 求雙邊信號 的雙邊拉氏變換及收斂域。21e 0( )e 0 tttf tt解：解：210B0( )( )e

47、deede edttstststFsf tttt210()()210ee()()ststss當 ，上式第一項存在；當 ，上式第二項存在，這時 2Re s1Re s12B12211211( ) ()()()Fsssss913.7.2 拉普拉斯變換的收斂域21012012, 923.7.2 拉普拉斯變換的收斂域單邊拉氏變換的ROC為平行于 軸的一條收斂軸的右邊區域，可表示為j0Re s若 ，則f(t)存在拉氏變換，收斂域為：0lim( )0, ()ttf t e0例例1ttf)(1lim0, (0)tttelim0, (0)nttt e0jnttf)(2例例2933.7.2 拉普拉斯變換的收斂域例

48、例3)0()(3tetf)(, 0limtttee0j943.7.3 典型信號的拉普拉斯變換1指數信號e( )tu t()00e1e( )eeds tttstu ttss L() 2單位階躍信號( )u t00e1 ( )edststu ttss L(0)3單位沖激信號( ) t00 ( )( )ede1ststttttL() 同理0000 ()()ede ()ststttttt L（上式中t00）953.7.3 典型信號的拉普拉斯變換4t的正冪信號的正冪信號 （ 是正整數）是正整數）( )nt u tn0( )ednnstt u tttL100eednstnsttnttss 10ednstn

49、tts所以1( )( )nnnt u ttu tsLL21( ) ( 0) tu tsL1n 當 時 2n 當 時 232( ) ( 0) t u tsL以此類推，得 1!( )nnnt u tsL(0)963.8 拉普拉斯變換的基本性質1 1線性特性線性特性若 ， ，則11( )( )f tF sL22( )( )ftF sL1 1221122( )( )( )( )(3.81)K f tK ftK F sK F sL例例3.8-1 求 的拉氏變換。( )sin( )f tt u t解：解： 由于jj1sin(ee)2jttt，所以jj1sin( )(ee) ( )2jttt u tu tL

50、L221111 ( 0) 2jj2jjsss同理22cos( ) ( 0)st u tsL972 2時域微分和積分時域微分和積分 12(1)d( )( )(0 )(0 )(0 ) dnnnnnnf ts F ssfsfftL11( )0( )(0 )nnn rrrs F ssf 222d( )( )(0 )(0 ) df ts F ssfftL（1）時域微分）時域微分 若 ，則 ( )( )f tF sLd ( )( )(0 )(3.85)df tsF sftL982 2時域微分和積分時域微分和積分 例例3.8-2 已知 ，求 的像函數。( )e( )tf tu t( )f t解：解：已知1(

51、 ) ( )F sf tsL所以( )( )(0 )0ssftsF sfssL（2）時域積分）時域積分 ( 1)( )(0 )( )d (3.87)tF sffssL若 ，則 ( )( )f tF sL式中：0( 1)(0 )( )dff992 2時域微分和積分時域微分和積分 例例3.8-3 試通過階躍信號 的積分求 和 的拉氏 變換。( )u t( )tu t( )nt u t解：解：因為1( )= ( )F su tsL而0( )( )dttu tu所以21( )tu tsL重復應用這個性質，可得 1!( )nnnt u tsL1002 2時域微分和積分時域微分和積分 例例3.8-4 圖示

52、電路，在 時開關S閉合，求輸出信號 。0t C( )vt解：解：1）列寫微分方程 CCd( )( )( )dvtRCvtEu ttC(0 )0v2）將微分方程兩邊取拉氏變換，得CC( )(0 )( )/CRC sVsvVsE s解此代數方程，求得 C( )1(1)EEVssRCsRCs sRC1012 2時域微分和積分時域微分和積分 3）求 的拉氏逆變換C( )VsC11( )11EVsEssRCs sRCRC1CC( )( )(1e) 0tRCvtVsEtL1023 3位移性位移性 （1）時域位移（延時）時域位移（延時）若 ，則 ( )( )f tF sL000 () ()e( )(3.88

53、)stf tt u ttF sL式中， 。00t 在應用延時特性時，特別要注意它只適用于在應用延時特性時，特別要注意它只適用于 的情況。因為當的情況。因為當 時，信號左移至原點以左部分，時，信號左移至原點以左部分，不能包含在從不能包含在從 到到 的積分中去。的積分中去。00t 00t 0000()sin()f tttt（1） ；（2） ；000() ( )sin()( )f tt u tttu t（3） ；000( ) ()sin()f t u ttt u tt（4） 。00000() ()sin()()f tt u ttttu tt例例3.8-5 已知 的拉氏變換為 ，求 下列信號的拉氏變換

54、（式中 ）。0( )sinf tt00t 0220( )F ss1033 3位移性位移性 四種信號如下圖所示。 1043 3位移性位移性 對于（1）和（2）兩種信號在 時的波形相同，所以 0t000000 00 000 000 0220()() ( )sin()cossinsincoscossinf ttf tt u ttttstttttsLfLfLL對于信號（3）：00000(j)(j)00000 00 02201sin()sinedeed2jcossin estststttstt u ttttttstsL1053 3位移性位移性 對于信號（4）：00000j()j()0001sin()()

55、eeed2jt tt tsttttu tttL0 0000 0000j(j)j(j)0220001eeeee2jjjtsttststsss 可見，在以上四種信號中，只有信號（可見，在以上四種信號中，只有信號（4），即），即 是信號是信號 右移了右移了 的結果，才能應用的結果，才能應用時移性，即時移性，即 00000() ()sin()()f tt u ttttu tt0( ) ( )sin( )f t u tt u t0t0000000220sin()()esineststttu tttsLL1063 3位移性位移性 例例3.8-6 求圖示矩形脈沖信號的拉氏變換。 解：解： 因為0( )( )

56、()f tEu tEu tt( )EEu tsL由延時特性 可求得00()estEEu ttsL所以 00 ( )( )()(1e)stEf tEu tEu ttsLL1073 3位移性位移性 （2）s 域位移域位移若 ，則 ( )( )f tF sL ( )e()(3.89)tf tF sL例例3.8-7 求 和 的拉氏變換。esinttecostt解：解：已知22sin tsL由s域位移定理，得 22esin()ttsL同理，因為 22cosstsL故有 22ecos()tstsL1084 4尺度變換尺度變換 若 ，則 ( )( )f tF sL1 () (0)(3.810)sf atFa

57、aaL解法一：解法一：先延時：3 (3) (3)( )e sf tu tF sL再尺度：321 (23) (23)e 22ssftutFL解法二：解法二：先尺度：1 (2 ) (2 )22sft utFL再延時：32331 (23) (23) =22e 2222ssftutftutFLLf例例3.8-8 己知 ，求 ( )( )f tF sL (23) (23) ftutL1095 5s s域微分與積分域微分與積分 （1）s域微分域微分 若 ，則 ( )( )f tF sLd ( ) () ( )(3.811)dF st f tsLd( ) ()( ) dnnnF stf tsL（2）s域積分

58、域積分 若 ，則 ( )( )f tF sL( )( )d (3.812)sf tFtL1106 6初值與終值定理初值與終值定理（1）初值定理）初值定理若 ， 且 f(t) 連續可導，則 ( )( )f tF sL0lim( )(0 )lim( )(3.813)stf tfsF s證明：由時域微分特性可知 0d ( )d ( )( )(0 )edddstf tf tsF sftttL000d ( )d ( )ededddststf tf ttttt0d ( )(0 )(0 )eddstf tfftt所以 0d ( )( )(0 )eddstf tsF sftt1116 6初值定理與終值定初值定

59、理與終值定理理當s 時，上式右端第二項的極限為 00d ( )d ( )limedlimed0ddststssf tf ttttt從而lim( )(0 )ssF sf應用條件應用條件 的初值 ，即( )F s(0 )f0( )ft0(0 )f00(0 )(0 )lim( )sffsF s如果是有理代數式，則必須是真分式；中出現真分式項，而初值等于真分式之逆變換式( )F s( )F s如果不是有理代數式，則應利用長除法，使( )F s0( )F s0( )F s0d ( )( )(0 )eddstf tsF sftt1126 6初值定理與終值定初值定理與終值定理理（2）終值定理）終值定理0li

60、m( )lim( )(3.817)tsf tsF s若 ， 且 f(t) 連續可導，則 ( )( )f tF sL證明：0d ( )( )(0 )eddstf tsF sftt000d ( )lim( )(0 )limed(0 )lim( )(0 )dstsstf tsF sftff tft應用條件應用條件 ( )F s僅當在右半s平面及其s平面的虛軸上為解析時（原點除外），終值定理才可應用。 0lim( )lim( )tsf tsF s所以1136 6初值定理與終值定初值定理與終值定理理例例3.8-9 求下列函數逆變換的初值與終值。32221(1) ( )21sssF sss2223(2)