1、亞正定變換研究（孝感學院 數學系031114226，湖北 孝感 432100）摘要： 本文在歐氏空間中定義了亞正定變換，并給出了線性變換是亞正定變換的充分必要條件是它在標準正交基下的矩陣是亞正定矩陣.在此基礎上進一步引入正定變換、共軛變換、正規變換等概念，進而探討及證明了它們得出的相關結論.關鍵詞：亞正定變換；正規變換；共軛變換；亞正定矩陣study on the subpositive definiteness transformation zhang lan(department of mathematics,xiaogan universty, xiaogan,hubei 432100,

2、china)abstract：this article defined subpositive definiteness transformation on euclidean space,and had given sufficient and necessary conditions of a linear transformation is a subpositive definiteness transformation is that the matrix under the orthonormal basis is subpositive definiteness. and fur

3、ther to introduction the concept of positive definiteness transformation,conjugate transformation, regular transformation.and futher to discuss and prove the related conclusion.key words ：subpositive definiteness transformation; regular transformation ; conjugate transformation; subpositive definite

4、ness of matrix0 引言實對稱矩陣和實對稱正定矩陣（簡稱為正定矩陣）在矩陣理論與應用中起著重要作用.1970年, c.r.johnson提出了更為廣泛的一類矩陣，即亞正定矩陣概念1：定義1 設，有，則稱為亞正定矩陣.復旦大學屠伯塤教授在此基礎上建立了亞正定矩陣的基本理論，對亞正定矩陣的性質作了較為系統的研究，得到了很多新的結果，并把許多有關正定矩陣的結果推廣到亞正定矩陣2，3.由于亞正定矩陣應用的廣泛性，對它的研究一直是計算數學與矩陣論研究的熱點之一，文獻3-10對亞正定矩陣的性質、判斷條件、應用等方面進行了進一步的探討，所用方法基本上都是純矩陣方法.我們知道，歐氏空間中通過對正交

5、變換、對稱變換的討論，使我們對正交陣、對稱陣的研究更為深刻。現在提出問題：能否在歐氏空間中定義一種線性變換，使它與亞正定矩陣相對應，借助對這種特殊線性變換的研究，重新獲得亞正定矩陣的有關結果，更重要的是，能深入的理解亞正定矩陣的幾何意義，推廣一些現有結果.本文將在這些方面作些嘗試。我們首先定義與亞正定陣相對應的亞正定變換，進一步引入正定變換等概念，借助共軛變換，引入正規變換，并探討它們的相關聯系，獲得一些有益結果。在本文中，我們用、等表示線性變換，用表示向量與的內積.1 亞正定變換首先，我們在歐氏空間中提出亞正定變換概念定義2 設為維歐氏空間的一個線性變換，若對，有，則稱是的一個亞正定變換.下

6、面結果表明，歐氏空間中亞正定變換與文獻1-3中亞正定矩陣相對應.定理1 設是維歐氏空間的一個線性變換，則是亞正定變換的充分必要條件是在的任一標準正交基下的矩陣是亞正定矩陣.證明 令是維歐氏空間的一個線性變換，為任一標準正交基，設在標準正交基下的矩陣為，即對，令，采用向量的形式記號，則，這里則，而，故 （1）（必要性）若是亞正定變換，則，由（1）式得，由及任意性，得知是任意的維非零列向量，于是為亞正定矩陣.（充分性）反之，若為亞正定矩陣，則，由（1）式得，于是是亞正定變換.下面我們討論亞正定變換的一些性質.定理2 設是維歐氏空間的一個亞正定變換，則也是亞正定變換.證明 先證是可逆變換.反證法:若

7、是不可逆的，則存在，使，即此與為亞正定矩陣變換矛盾， 故是可逆變換.從而是滿射的，因此必有,使,則故是亞正定變換.定理3 設是維歐氏空間的亞正定變換，則也是亞正定變換.證明 由于是亞正定變換，則對，有，且即對，有故為亞正定變換. 定理3證畢.定義312 設是歐氏空間的兩個線性變換,在標準正交基下的矩陣為,若在下的矩陣為,則稱為的共軛變換.定理4 若是維歐氏空間的亞正定變換，則的共軛變換也是亞正定變換.證明 令是維歐氏空間的一個亞正定變換,為的任一標準正交基，設在下的矩陣為，即，根據共軛變換定義，有因此，由定理1知，當是亞正定變換時，是亞正定矩陣，對，有，故，即為亞正定矩陣，于是，是亞正定變換.

8、注 由于與互為共軛變換，根據定理4知，線性變換為亞正定變換的充分必要條件是為亞正定變換.在歐氏空間中，有著名的cauchy不等式：對任意，有當且僅當線性相關時,等號才成立.我們通過引入亞正定變換，將對這一重要不等式進行推廣：定理5 設是維歐氏空間的一個亞正定變換，對任意，有 （2）當且僅當線性相關時，等號才成立.證明 當時,(2)式顯然成立,以下討論的情況:因為為亞正定變換，則對，有展開，得 （3）由于為亞正定變換，故，（3）式為二次式，故判別式即得 （4） 當線性相關時,等號顯然成立.反過來如果等號成立,由上面證明過程可以看出,或者,也就是說線性相關.定理5得證. 推論1 設是一個歐氏空間，

9、則對中任意向量，有當且僅當線性相關時,等號才成立.證明 用表示恒等變換，則對，有，故即是亞正定變換，在定理5中，當亞正定變換取恒等變換時，有即得.以上結果表明，定理5是cauchy不等式的一個推廣.2 正規變換與正定變換定義4 設為維歐氏空間的一個亞正定變換，且是一個對稱變換，則稱是的一個正定變換.定義5 設為維歐氏空間的一個線性變換，為的共軛變換,若,則稱為正規變換. 定理6 為維歐氏空間的一個線性變換,為亞正定變換的充分必要條件是為正定變換.證明 令為歐氏空間的一個線性變換，為一組標準正交基，設在下的矩陣為，則，從而根據的定義有且 令,從而 , 故 （5）令 ，這里 則從而 因此故是對稱變

10、換.（充分性） 是正定變換，則有 即 由（5）式得 .從而 有.故為亞正定變換.（必要性） 為亞正定變換，由定理4得,也為亞正定變換.再由定理3，得為亞正定變換.又因為是對稱變換, 故為正定變換.定理 6 設為亞正定變換，為正定變換，且，則為亞正定變換.證明 設為任一標準正交基,，在標準正交基下的矩陣分別為，b.由于為亞正定變換，即有.從而a為亞正定矩陣.而為正定變換，顯然b為正定矩陣.而有，且，從而，.根據文獻10的引理5，有ab為亞正定矩陣，從而.即.故為亞正定變換.定理 7 設是維歐氏空間的正規變換的充分必要條件是在的任一標準正交基下的矩陣是正規變換.證明 設在標準正交基下的矩陣為，則在

11、下的矩陣是，即，故有 （6） （7）由（6）（7）知，當時，有，即是正規矩陣。當時，顯然也有，即是正規變換. 定理 8 設是維歐氏空間的正規變換，則是正交變換的充分必要條件是的特征值為.證明 （必要性）設，因，所以，即有 . （充分性）設正規變換在標準正交基下的矩陣為，則由定理7知為正規矩陣，故存在正交陣，使，其中為的個特征值，因，（） 即，所以，即 ，從而，所以為正交陣，故為正交變換.定理8證畢.引理 1 設是歐氏空間的正規變換，是對應于特征值的特征向量，則是對應特征值的特征向量.證明 設，則，于是，因所以 ，即，是對應于特征值的特征向量. 定理 9 在維歐氏空間中，正規變換屬于兩個不同特征

12、值的特征向量是正交的.證明 設，由引理1可知，因，故，所以 故正交.即定理9證畢.致 謝畢業論文終于順利完成了，在此，要特別感謝我的指導老師胡付高副教授給予我的大力支持與悉心指導！參考文獻1 johnson c r. positive definite matrices j . amermath monthly, 1970 (77) : 259264.2 屠伯塤. 亞正定陣理論( i) j. 數學學報, 1990, 33 (4) :426471.3 屠伯塤. 亞正定陣理論( ii) j. 數學學報, 1991, 34 (1) :91102.4 李炯生. 對稱部分為半正定的方陣 j . 數學學報

13、,1996, 39 (3) : 376381.5 佟文延. 廣義正定矩陣 j . 數學學報, 1984, 27 (6) : 801810.6 李炯生. 實方陣的正定性j . 數學的實踐與認識, 1985(3)6771.7 胡永建, 陳公寧. 有關實正定陣的一些性質j . 北京師范大學學報, 1996, 32 (1) 40468 詹仕林. 次亞正定矩陣的判定j. 純粹數學與應用數學, 2003, 19(2) :191196.9 殷慶祥. 關于實方陣的正定性j . 數學的實踐與認識,2001 (2) :245247.10 樊樹平,李美菊.亞正定矩陣乘積的亞正定性j.南昌大學學報，2006，30（2）：112113.11 詹仕林.關于