1、分式方程的解法及應(yīng)用（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解分式方程的概念和檢驗(yàn)根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程2. 會(huì)列出分式方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. 要點(diǎn)二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方

2、程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解. 要點(diǎn)三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種

3、根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘的最簡(jiǎn)公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來(lái)說(shuō)，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程來(lái)說(shuō)，分式無(wú)意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過(guò)程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過(guò)程中沒(méi)有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)

4、行的.要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫(xiě)出答案.【典型例題】類(lèi)型一、判別分式方程【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 例1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？為什么？（1） （2）（3） （4）【答案與解析】解：（1）雖然方程里含有分母，但是分母里沒(méi)有未知數(shù)，所以不是分式方程；（2）具備分式方程的三個(gè)特征，是分式方程；（3）沒(méi)有

5、等號(hào)，所以不是方程，它是一個(gè)代數(shù)式；（4）方程具備分式方程的三個(gè)特征，是分式方程特別提醒：（3）題是一個(gè)代數(shù)式，不是方程，容易判斷錯(cuò)誤；【總結(jié)升華】整式方程與分式方程的區(qū)別在于分母里有沒(méi)有未知數(shù)，有未知數(shù)的就是分式方程，沒(méi)有未知數(shù)的就是整式方程類(lèi)型二、解復(fù)雜分式方程的技巧2、解方程：【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分，得， ， ， ，或，由，解得，由，解得經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根.【總結(jié)升華】若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘，去分母后的整式方程的解很難求出來(lái)注意方程左右兩邊的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來(lái)解舉一反三：【變式】解方程【答案】解：移項(xiàng)得，兩邊同時(shí)通分得，

6、即，因?yàn)閮蓚€(gè)分式分子相同，分式值相等，則分式分母相等所以， 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， 是原方程的根類(lèi)型三、分式方程的增根【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 例3】3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值【思路點(diǎn)撥】（1）若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值（2）將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后，把代入解出的值.【答案與解析】解：（1）方程兩邊同乘，得 由題意知增根為或， 或 或（2）方程兩邊同乘，得 增根為， 【總結(jié)升華】(1)在方程變形中，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根做作原方程的增根在分式方程中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根；(2)這類(lèi)

7、問(wèn)題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值舉一反三：【變式】已知關(guān)于的方程無(wú)解，求的值【答案】解：方程兩邊同乘約去分母，得，即 ，即時(shí)原方程無(wú)解， ， 當(dāng)時(shí)，整式方程無(wú)解， 當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解綜上所述，當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解類(lèi)型四、分式方程的應(yīng)用【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 例3】4、某市在道路改造過(guò)程中，需要鋪設(shè)一條長(zhǎng)為1000米的管道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成這一工程已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米，且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同 (1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米? (2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過(guò)1

8、0天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量(以百米為單位)的方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái)【思路點(diǎn)撥】(1)題中的等量關(guān)系是甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同（2）由工期不超過(guò)10天列出不等式組求出范圍.【答案與解析】解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米 根據(jù)題意，得解得 經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解且符合題意 故甲、乙兩工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)70米和50米(2)設(shè)分配給甲工程隊(duì)米，則分配給乙工程隊(duì)米由題意，得 解得500700方案一：分配給甲工程隊(duì)500米，分配給乙工程隊(duì)500米方案二：分配給甲工程隊(duì)600米，分配給乙工程隊(duì)400米方案三：分配給甲工程隊(duì)700米，分配給乙工程隊(duì)300米所以分配方案有3種【總結(jié)升華】本題主要考查列分式方程解應(yīng)用題，考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.舉一反三：【變式】一慢車(chē)和一快車(chē)沿相同路線從a地到b地，所行的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象如圖所示，試根據(jù)圖象，回答下列問(wèn)題： (1)慢車(chē)比快車(chē)早出發(fā)_h，快車(chē)追上慢車(chē)時(shí)行駛了_km，快車(chē)比慢車(chē)早_h到達(dá)b地；