1、學必求其心得，業必貴于專精第二課時類 比 推 理為了回答“火星上是否有生命這個問題，科學家們把火星與地球作為類比，發現火星具有一些與地球類似的特征，如火星也是圍繞太陽運行、繞軸自轉的行星，也有大氣層，在一年中也有季節的變更,而且火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科學家猜想：火星上也可能有生命存在問題：科學家做出上述猜想的推理過程是怎樣的？提示：在提出上述猜想的過程中,科學家對比了火星與地球之間的某些相似特征，然后從地球的一個已知特征（有生命存在)出發，猜測火星也可能具有這個特征1類比推理根據兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相

2、同,像這樣的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法其思維過程為：2合情推理合情推理是根據已有的事實、正確的結論、實驗和實踐結果_，以及個人的經驗等推測某些結果的推理過程歸納推理和類比推理都是數學活動中常用的合情推理類比推理的特點主要體現在以下幾個方面：（1）類比推理是從特殊到特殊的推理（2）類比推理是從人們已經掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征所以,類比推理的結果具有猜測性,不一定可靠(3）由于類比推理的前提是兩類對象之間具有某些可以清楚定義的類似特征所以,進行類比推理的關鍵是明確地指出兩類對象在某些方面的類似特征類比推理在數列中的應用例1在等差數列an中,若a100，則有等式a1a2

3、ana1a2a19n(n19，nn)成立類比上述性質，相應地，在等比數列bn中，若b91，則有什么樣的等式成立？思路點撥在等差數列與等比數列的類比中，等差數列中的和類比等比數列中的積,差類比商,積類比冪精解詳析在等差數列an中,a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1。又由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相應的,在等比數列bn中，若b91，則可得b1b2bnb1b2b17n(n17,nn*)一點通類比推理的一般模式為

4、：a類事物具有性質a，b，c，d，b類事物具有性質a,b，c,d（a，b,c分別與a，b，c相似或相同)，所以b類事物可能具有性質d（d與d相似或相同）1 若數列an(nn*）是等差數列，則有數列bn（nn*)也是等差數列類比上述性質，相應地：若數列cn（nn)是等比數列，且cn0，則數列dn_（nn*)也是等比數列答案:2已知命題：若數列an為等差數列，且ama,anb(mn，m，nn），則amn.現已知等比數列bn（bn0，nn），且bma，bnb(mn,m,nn），類比上述結論，求bmn。解：等差數列通項an與項數n是一次函數關系，等比數列通項bn與項數n是指數型函數關系利用類比可得bm

5、n.類比推理在幾何中的應用例2如圖，在三棱錐sabc中，sasb，sbsc，sasc，且sa、sb、sc和底面abc所成的角分別為1、2、3，三側面sbc,sac，sab的面積分別為s1，s2，s3,類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個猜想思路點撥在def中，有三條邊，三個角，與def相對應的是四面體sabc,與三角形三條邊長對應的是四面體三個側面的面積，三角形三個角對應的是sa，sb，sc與底面abc所成的三個線面角1，2，3。在平面幾何中三角形的有關性質,我們可以用類比的方法,推廣到四面體、三棱柱等幾何體中精解詳析在def中，由正弦定理，得。于是,類比三角形中的正弦定理,在四面體sa

6、bc中，我們猜想成立一點通（1）類比推理的基本原則是根據當前問題的需要，選擇適當的類比對象,可以從幾何元素的數目、位置關系、度量等方面入手由平面中相關結論可以類比得到空間中的相關結論（2）平面圖形與空間圖形類比平面圖形空間圖形點線線面邊長面積面積體積線線角二面角三角形四面體3在平面中abc的角c的內角平分線ce分abc面積所成的比，將這個結論類比到空間：在三棱錐abcd中，平面dec平分二面角acdb且與ab交于e，則類比的結論為_ 圖(1）(2）解析：平面中的面積類比到空間為體積,故類比成.平面中的線段長類比到空間為面積，故類比成.故有。答案：4。如圖所示，在abc中，射影定理可表示為abc

7、os cccos b，其中a，b，c分別為角a,b，c的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想解：如圖所示，在四面體pabc中，s1，s2,s3，s分別表示pab，pbc，pca，abc的面積,，依次表示面pab，面pbc，面pca與底面abc所成二面角的大小我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現形式應為ss1cos s2cos s3cos 。合情推理的應用例3我們已經學過了等差數列，你是否想過有沒有等和數列呢？（1）類比“等差數列”給出“等和數列”的定義；（2）探索等和數列an的奇數項和偶數項各有什么特點,并加以說明；（3）在等和數列an中，如果a1a，a2b，求它的前n項和sn

8、.思路點撥可先根據等差數列的定義類比出“等和數列”的定義，然后再據此定義探索等和數列的奇數項、偶數項及其前n項和精解詳析（1)如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的和等于同一個常數，那么這個數列就叫做等和數列(2）由（1）知anan1an1an2,所以an2an。所以等和數列的奇數項相等，偶數項也相等（3)當n為奇數時，令n2k1，kn*，則sns2k1s2k2a2k1（ab）a（ab)aab；當n為偶數時，令n2k，kn*，則sns2kk(ab）（ab)所以它的前n項和sn一點通(1）本題是一道淺顯的定義類比應用問題，通過對等差數列定義及性質的理解，類比出等和數列的定義和性質，很好地考

9、查學生類比應用的能力（2）本題型是類比定義，對本類題型解決的關鍵在于弄清兩個概念的相似性和相異性5類比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面內兩個不共線的向量，那么對于平面內任一向量a,有且只有一對實數1，2，使得a1e12e2?！睂懗隹臻g向量基本定理的是_答案：如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量，那么對空間內任一向量a，有且只有一組實數1，2，3，使得a1e12e23e36已知橢圓c:1具有性質：若m，n是橢圓c上關于原點對稱的兩點，點p是橢圓c上任意一點，當直線pm，pn的斜率都存在，并記為kpm，kpn時，那么kpm與kpn之積是與點p位置無關的定值試對雙曲線1寫出類似的性質，

10、并加以證明解：類似的性質：若m，n是雙曲線1上關于原點對稱的兩點，點p是雙曲線上任意一點，當直線pm，pn的斜率都存在，并記為kpm，kpn時，那么kpm與kpn之積是與點p位置無關的定值證明如下：設m(m，n)，則n(m，n）,其中1.設p（x，y)，由kpm，kpn，得kpmkpn，將y2x2b2，n2m2b2代入得kpmkpn.1進行類比推理時,要盡量從本質上思考，不要被表面現象所迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比,就會犯機械類比的錯誤2多用下列技巧會提高所得結論的準確性：（1)類比對象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些(2）這些共同屬性或相似屬性應是類比對象的主要屬性（3）

11、這些共同（相似)屬性應包括類比對象的各個方面，并盡可能是多方面一、填空題1正方形的面積為邊長的平方，則在立體幾何中，與之類比的圖形是_，結論是_答案：正方體正方體的體積為棱長的立方2給出下列推理：（1)三角形的內角和為（32)180，四邊形的內角和為(42）180，五邊形的內角和為（52）180，所以凸n邊形的內角和為(n2）180；(2）三角函數都是周期函數,ytan x是三角函數，所以ytan x是周期函數；(3)狗是有骨骼的;鳥是有骨骼的；魚是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的，狗、鳥、魚、蛇和青蛙都是動物，所以，所有的動物都是有骨骼的；(4）在平面內如果兩條直線同時垂直于第三條直線

12、,則這兩條直線互相平行，那么在空間中如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行其中屬于合情推理的是_（填序號)解析:根據合情推理的定義來判斷因為(1）（3)都是歸納推理,（4)是類比推理，而(2）不符合合情推理的定義，所以(1)（3）（4)都是合情推理答案：(1）(3）(4)3三角形的面積為s（abc)r,a、b、c為三角形的邊長,r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為_解析：abc的內心為o，連結oa，ob，oc，將abc分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a,b，c;類比:設四面體abcd的內切球球心為o,連結oa,ob，oc，od，將

13、四面體分割為四個以o為頂點，以原來面為底面的四面體,高都為r，所以有v(s1s2s3s4）r。答案：(s1s2s3s4）r（s1,s2，s3，s4為四個面的面積，r為內切球的半徑）4在平面幾何中,有射影定理:“在abc中，abac，點a在bc邊上的射影為d，有ab2bdbc.”類比平面幾何定理，研究三棱錐的側面面積與射影面積、底面面積的關系，可以得出的正確結論是：“在三棱錐abcd中,ad平面abc，點a在底面bcd上的射影為o，則有_”答案：ssbocsbcd5已知結論：“在三邊長都相等的abc中，若d是bc的中點，g是abc外接圓的圓心，則2”若把該結論推廣到空間,則有結論：“在六條棱長都

14、相等的四面體abcd中，若m是bcd的三邊中線的交點，o為四面體abcd外接球的球心，則_.”解析：如圖，易知球心o在線段am上，不妨設四面體abcd的邊長為1，外接球的半徑為r，則bm，am ,r ，解得r.于是,3.答案：3二、解答題6已知：等差數列an的公差為d，前n項和為sn,有如下的性質:（1)通項anam（nm)d.(2）若mnpq,且m，n，p，qn，則amanapaq.(3）若mn2p，且m,n，pn，則aman2ap.(4）sn,s2nsn，s3ns2n構成等差數列類比上述性質，在等比數列bn中，寫出相類似的性質解：設等比數列bn中，公比為q，前n項和為sn.（1）通項anamqnm.(2)若mnpq，且m,n，p,qn，則amanapaq.（3)若mn2p,且m，n，pn*，則aaman.（4）sn，s2nsn，s3ns2n構成等比數列7類比圓的下列特征，找出球的相關特征（1)平面內與定點距離等于定長的點的集合是圓；（2）平面內不共線的3個點確定一個圓；（3）圓的周長與面積可求解:（1)在空間中，與定點距離等于定長的點的集合是球；（2)空間中不共面的4個點確定一個球；（3)球的表面積與體積可求8若記號“”表示兩個實數a與b的算術平均的運算，即a*b,則兩邊均含有運算符號“*和“”,寫出對于任意3個實數a，b，c都能成立的一個等式解:由