1、第 7 章 FIR 數字濾波器的設計方法IIR 數字濾波器最大缺點：不易做成線性相位，而現代圖像、語聲、數 據通信對線性相位的要求是普遍的。正是此原因， 使得具有線性相位的 FIR 數字濾波器得到大力發展和廣泛應用。1 線 性相位 FIR 數字濾波器的特點N1N 1FIR DF 的系統函數無分母，為 H(z)biz ih(n)z n ，系統頻i 0n0N1率響應可寫成： H(ejw)h(n)e jwn ，令 H(ejw)H(w)ej (w) ，H(w)n0稱為幅度函數， (w) 稱為相位函數。這與模和幅角的表示法有所不同，H(w) 為可正可負的實數，這是為了表達上的方便。如某系統頻率響應H(e

2、jw) sin 4we j 3w ，如果采用模和幅角的表示法， sin 4w的變號相當 于在相位上加上(因 1 ej ) ，從而造成相位曲線的不連貫和表達不方便，而用 H(w)ej (w) 這種方式則連貫而方便。線性相位的 FIR 濾波器是指其相位函數 (w) 滿足線性方程：(w) w ( , 是常數)根據群時延的定義，式中 表示系統群時延， 表示附加相移。線性相位的 FIR 系統都具有恒群時延特性， 因為 為常數， 但只有 0 的 FIR 系統 采具有恒相時延特性。問題： 并非所有的 FIR 系統都是線性相位的， 只有當它滿足一定條件時才具 有線性相位。那么應滿足什么樣的條件？從例題入手。例

3、題：令 h(n)為 FIR 數字濾波器的單位抽樣相應。 n 0或 n N 時 h(n)=0， 并假設 h(n) 為實數。(a) 這個濾波器的頻率響應可表示為H(ejw) H(w)ej (w) (這是按幅度函數和相位函數來表示的，不是用模和相角的形式) ， H (w) 為實數。( N 要分奇偶來討論)(1) 當 h(n) 滿 足 條 件 h(n) h(N 1 n) 時 ， 求 H (w) 和 (w)( 0 w)(2) 當 h(n) 滿 足 條 件 h(n) h(N 1 n) 時 ， 求 H(w) 和 (w)( 0 w)(b) 用 H(k)表示 h(n)的N 點DFT(1) 若 h(n)滿足 h(

4、n) h(N 1 n) ，證明 H(0)=0 ；(2) 若 N為偶數，證明當 h(n) h(N 1 n)時， H(N/2)=0 。N1解：(a) H(ejw )h(n)e jwnn0(1) h(n) h(N 1 n) ，當 N 為奇數時，H(ejw) h(0)e jw0 h(N 1)e jw(N 1) h(1)e jw1 h(N 1 1)e jw(N 1 1)N1N 1 jw N2 1N2 1)e2N32h(n)e jwn e jw(N 1 n) h( n0N32h(n) en0N 1 N1 N1 jw(n ) jw( n) jw( )2 e 2 e 2N1N 1 jw 2h( )e 22N3

5、N1jw( 2 ) 2e 2 2h(n)cosw(n n0ej (w) H ( w)N 1 N 1N21) h(N2 1)幅度H(w)N322h(n)cosw(nn0N1N 1) h( 2N 1) 令 nN 1 得到21H(w) N1n22h(n N 1) coswn h(N 1) 令n n 得22H(w)N122h(n1N 1 n)coswn h(N 1)22N122h( n0N1n) coswn2a(n)2h( N21所以H(ejw )N12a(n)coswn n0a(0) h(N21)N1n),n 1,2, , 2 。N1N 1 2j w 2e 2a( n) co swn ，得出n0N1

6、2H(w)a(n) co swn ，n0(w) N21 w 。得出第一類 FIR DF 的特點：恒相時延，相位曲線是過原點的曲線；可通過 h(n)靈活設計幅度函數的零點位置；幅度函 數 對頻 率軸零點 偶對稱 H(w) H ( w) ，對 點偶對 稱H (w) H(2 w) 。1) h(n) h(N 1 n)，當 N 為偶數時，N12H(ejw) h(n)e jwn e jw(N 1 n) n0N1jw( N 1) 2N 1e 22h(n) cosw(n)n0ej (w)H(w)H(w)N122h(n)cosw(nn0N1N2 1) 2h(n) cosw( N n) 1w22n0令n N2 n

7、H (w)N2NN12h( n) cosw(n )n 1 2H(ejw)N2n1Nj N 1w 21e 2 b(n)cosw(n ) ， 得 出 n 121b(n)cosw(n ) ，N12 w 。1H(w)b( n) cosw(n ) ， (w)n 1 2第二類 FIR DF 的特點：恒相時延，相位曲線是過原點的直線；幅度函數對頻率軸零點偶對稱 H (w) H ( w) ；幅度函數對頻率軸 點奇對稱 H(w) H(2w)。由H(w) 的連續性 ， 點 一 定 是 幅 度 函 數 的 零 點 。 即 w 時 ， 1cosw(n ) 0 H( ) 0 H (z)在z=-1處有零點； 因此這類 2

8、濾波器不適合高通或帶阻濾波器。2) h(n) h(N 1 n) ，當 N 為奇數時推導省略，結果是N1c(n) 2h(N2 1 n)N12H(w)c(n) sin wn，n1(w)N12w。第三類 FIR DF 的特點：恒群時延，有 附加相移，相位曲線是截距為2直線；N1、斜率為 N 1 的22幅度函數對零頻點奇對稱 H (w) H( w) ，零頻是 H(w) 的零點；對 奇對稱 H(w) H (2 w) ， 也是 H (w) 的零點。2) h(n)h(N 1 n)，當 N 為偶數時推導省略，結果是N21H(w) d(n)sinw(n ) ， n 1 2d(n) 2h(N n)2(w)2N1w

9、。2第四類 FIR DF 的特點：恒群時延，有 附加相移，相位曲線是截距為2直線；N1、斜率為 N 1 的22幅度函數對零頻點奇對稱 H (w) H( w) ，零頻是 H(w) 的零點；對 偶對稱 H(w) H(2 w) 。b)H(k) H(ejw)|w 2 kwkN1)H(0) H(ejw)|w0，當h(n)h(N 1 n)，不論 N 為奇數還是偶數， H (e jw )中都含有 sin w( )項， H (e jw ) |w 0 0，所以 H(0) 0。2)h(n) h(N 1 n)，N 為偶數H(ejw)N1N1 2 1j w 2e 2 2h(n)cosw(nn1N1N21)N 1 1H

10、(N/2) H(ejw)|w ，因為( n )是 的奇數倍，因此 22N1 cosw(n)0，即 H(N/2) 0。問題： FIR DF 線性相位的條件是什么？ 總結四種 FIR DF 的特點：當 h(n) 為實數且偶對稱時， FIR DF 為恒相時延，相位曲線是一條過原 N1點、以 N 1 為斜率的直線。信號通過這類濾波器后，各種頻率分量2 N 1 N 1的時延都是 N 1 。當 N 為奇數時，時延 N 1 是整數，是采樣間隔 22N1 的整數倍， 采樣點時延后仍是采樣點。 但當 N 為偶數時， 時延 N 1 不 2 是整數， 采樣點時延后就不在采樣點位置上了， 這在某些應用場合會帶 來一些

11、意外的問題。 同時，N 為偶數時， 點是幅度的零點，不能做高 通、帶阻濾波器。 一般情況下， 第一類 FIR DF 特別適合做各種濾波器。 當 h(n) 為實數且奇對稱時， FIR DF 僅是恒群時延。相位曲線是一條截 N1距為 2，以 N 1 為斜率的直線。信號通過該濾波器產生的時延2 N1也是 N 1個采樣周期，但另外對所有頻率分量均有一個附加的90 度2的相移。 單邊帶調制及正交調制正需要這種特性。 因此這種濾波器特別 適合做希爾伯特濾波器以及微分器。FIR 濾波器的極點都在原點上，而 h(n) 是因果穩定的有限長序列，因此 H(z) 在有限 z 平面上是穩定的。線性相位 FIR DF

12、的零點有自己的特點：它們必 定是互為倒數的共軛對。證明如下： h(n) h(N 1 n) (線性相位)H(z) z (N 1)H(z 1) (z變換的性質)如果 zi 是一個零點，代入上式有H(zi)zi (N 1)H(zi 1)0zi 0必有H(zi1) 0，則 zi 1也是零點。因為零極點總是成共軛對出現(有理分式特性) 所以 zi* ， (zi 1)* 也是零點。所以 zi， zi*，zi1，(zi 1) *都是零點。2 窗函數設計法N1因為 H (z) h(n)z n ，對 FIR 系統而言，沖擊響應就是系統函數的系數。 n0因此設計 FIR 濾波器的方法之一可以從時域出發， 截取有限

13、長的一段沖擊響 應作為 H(z)的系數，沖擊響應長度 N 就是系統函數 H(z) 的階數。只要 N 足 夠長，截取的方法合理，總能滿足頻域的要求。一般這種時域設計、頻域檢 驗的方法要反復幾個回合才能成功。2.1 設計原理設計目標：設計一個線性相位的 FIR DF； 已知條件：要求的理想頻率響應 Hd(ejw )。Hd(ejw)是 w 的周期函數，周期為 2 ，可以展開成傅氏級數 Hd (ejw ) hd (n)e jwn ，其中 hd (n) 是與理想頻響對應的理想單位抽樣響應序列。n但不能用來作為設計 FIR DF 用的 h(n)，因為 hd ( n)一般都是無限長、非因果的，物理上無法實現

14、。h(n) 來近似分析：為了設計出頻響類似于理想頻響的濾波器，可以考慮用hd (n) 。窗函數的基本思想：先選取一個理想濾波器(它的單位抽樣響應是非因果、 無限長的)，再截取(或加窗)它的單位抽樣響應得到線性相位因果 FIR 濾 波器。這種方法的重點是選擇一個合適的窗函數和理想濾波器。例 1：設截止頻率為 wc 的理想 FIR 低通濾波器，其理想頻響是Hd(ejw)1ejw0,w wc，其中 稱為采樣延 wc w時。對應的 hd (n) 由下式求出：注意： hd (n)關于 對稱，這對設計線性相位的 FIR DF 很重要。為了從 hd (n) 中得到 FIR 濾波器，可以對 hd (n) 進行

15、截取，如果要得到 一個線性相位、因果的 FIR 濾波器，則設截取后得到的 h(n)的長度為 M ， h(n)一定滿足這種操作稱為“加窗” 。 h(n)可看作是 hd(n)和 w(n)的乘積 h(n) hd (n)w(n)其中根據 w(n) 的不同定義，可得到不同的窗函數。在上例中稱為矩形窗。在頻域中，因果 FIR濾波器響應 H (ejw )由H d (e jw )和窗響應 W(ejw) 的周期卷積得到。即 H(ejw ) Hd (ejw ) W(ejw ) 。矩形窗的窗譜W(ejw)N1jwn jwnRN (n)een n 0jwN1ejw1esin(wN / 2)sin(w / 2)N1 j

16、w e jw 2它的幅度函當 w 很 小 時數 為 W(w) s wi M n/2) (s wi / 2)n (W(w) s wwi/N2/n2) (N s wwNi N/2/n2) ，(這是一個 sinc 函數，每隔 2 /N 正負交替一次。由卷積定義得到)w(j1 wce j N21e j(w )N21 sin(w )N /2d2 wcee sin(w )/ 2 dN 1wcjw 1e 2 W (w )d2卷積結果如圖 7-8 所示。 比較加矩形窗后的低通頻譜和理想低通頻譜可得到以下結論：加窗使過渡帶變寬， 過渡帶的帶寬取決于窗譜的主瓣寬度。 矩形窗情況 下的過渡帶寬是 4 / N 。 N

17、 越大，過渡帶越窄、越陡； 過渡帶兩旁產生肩峰， 肩峰的兩側形成起伏振蕩。 肩峰幅度取決于窗譜 主瓣和旁瓣面積之比。矩形窗情況下是8.95，與 N 無關。工程上習慣用相對衰耗來描述濾波器，相對衰耗定義為A(w) 20lgH(ejw)/H(ej0) 20lg H(w)/H(0)這樣兩個肩峰點的相對衰耗分別是0.74dB 和 -21dB。其中(-0.0895)點的值定義為阻帶最小衰耗。以上的分析可見，濾波器的各種重要指標都是由窗函數決定，因此改進 濾波器的關鍵在于改進窗函數。窗函數譜的兩個最重要的指標是：主瓣寬度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值 衰耗定義為：旁瓣峰值衰耗 20lg( 第一旁瓣峰值主瓣峰值

18、) 為了改善濾波器的性能，需使窗函數譜滿足：主瓣盡可能窄，以使設計出來的濾波器有較陡的過渡帶；第一副瓣面積相對主瓣面積盡可能小， 即能量盡可能集中在主瓣， 少，使設計出來的濾波器的肩峰和余振小。但上面兩個條件是相互矛盾的，實際應用中，折衷處理，兼顧各項指標。對應的外泄2.2 幾種常用的窗口函數1矩形窗w(n)RN (n)2三角窗w(n)2nN12n2N1N10n2N1nN123它是由兩個長度為 N2 的矩形窗進行線性卷積而得到。 漢寧( hanning )窗，也稱升余弦窗12 nw(n) 1 cos 0 n N 12N 1它的思路是：通過矩形窗譜的合理疊加減小旁瓣面積。上式可寫成2nw(n)

19、21RN(n) 21 21e N1 e N1RN(n)2 2 2對應的頻譜為j(w ) j (w )W(ejw) 0.5WR (ejw ) 0.25WR(e N 1 ) 0.25WR (eN 1 )式中 WR (ejw )是矩形窗譜。當 N 較大時，22N 1 近似等于 N ，這樣W(ejw) 可看作是三個不同位置矩形窗譜的疊加。疊加付出的代價是主瓣增寬一倍，得到的好處是旁瓣峰值衰耗由-13dB 增加到 -31dB 。4 海明( hamming )窗2nw(n) 0.54 0.46 cos() 0 n N 1N1海明窗是海寧窗的修正，系數稍作變動使疊加后效果更好。 5 布萊克曼( Blackm

20、an )窗2 n4 nw(n) 0.42 0.5 cos() 0.08cos( ) 0 n N 1N 1N 1是 5 個矩形窗譜的疊加。6 凱塞( Kaiser)窗w(n) I0 1 ( 2n 1)2 /I0( ) 0 n N 1N1相關參數見書上的表。2.3 窗口法的設計步驟和實例 窗口法的基本思想：根據給定的濾波器技術指標，選擇濾波器長度 N 和窗函數 w(n) ，使其具有最窄寬度的主瓣和最小的旁瓣。 窗口法的設計步驟：給定理想頻響函數 Hd(ejw )； 根據指標選擇窗函數。 確定窗函數類型的主要依據是過度帶寬和阻帶最 小衰耗的指標；由 Hd(ejw )求hd (n) ，加窗得 h(n)

21、 hd (n) w(n) 檢驗。由 h(n)求H(ejw)，求 H (ejw )是否在誤差容限之內。例 1：書上 354例 7-1 例 2：用窗口法設計一個滿足下列指標的線性相位低通FIR 濾波器：wp 0.2 ,Rp 0.25dB (通帶波動) ( wp為通帶截止頻率)ws 0.3 ,As 50dB (阻帶最小衰減)解：海明窗和布萊克曼窗均可提供大于 渡帶窄些，從而具有較小的階數。 (1) 給定理想頻響 Hd (ejw )50dB 的衰減。選擇海明窗，因為過設 Hd(ejw) e jw0,wcw wcw根據已知的條件可近似出wc (wp ws)/2 0.25 。因此hd(n) sin wc

22、( n ) ，要使設計的 FIR 濾波器為線性相位， d (n )則 為 。2( 2) 確定窗的形狀，根據過渡帶寬確定 N選 擇 海 明 窗 ， 其 阻 帶 最 小 衰 減 為 -53dB 。 所 要 求 的 過 渡 帶 寬6.6w ws wp 0.1 。海明窗過渡帶寬滿足 w ，得出 N 66。s p NN132.53) 確定 FIR 濾波器的 h(n)h(n) hd (n) w(n) sin 0.3 (n 32.5) 0.54 0.46 cos( 2 n)RN(n)(n 32.5) 65時域和頻域的圖形如下：2.4 線性相位 FIR 高通、帶通、帶阻濾波器的設 計P355359 自學3.

23、頻率抽樣設計法總結窗函數法：(1) 從時域角度出發，用 h(n) 來近似 hd(n) ，從而 H(ejw) 逼近 H d (e jw) 。2) h(n) 有限長， hd (n)無限長，存在截取，用什么樣的窗來截取會有不同的過渡帶、阻帶最小衰減。相對而言，三角形窗、海明窗、漢 寧窗效果比矩形窗好，因為它們在邊緣處不是陡然下降的。目的：設計 FIR DF，只要能求出 H(ejw)或 H(z)或h(n)即可。注意：所 設計的濾波器的兩個重要指標：過渡帶帶寬和阻帶最小衰減。已知：理想 DF 特性 Hd (ejw )。思路： (a) Hd (ejw ) hd (n) h(n)H(ejw) (窗函數法 )

24、(b) Hd(ejw) Hd(k)H (k)H(ejw) (頻率抽樣法 )步驟：(1)Hd(ejw)|w 2kH d (k ) ；給定理想頻響 Hd(ejw)(2)令 H(k)Hd(k)，H(k)為實際 FIR DF 的H (ejw )的抽樣值，即H(k)Hd(k)Hd(ejw)|w 2k ，k=0，1，N-1(確定采樣點 數，對理想頻響采樣得 H(k) )；3) 已知 H(k)求 H ( z)或H (ejw ) ，用內插公式得到 FIR系統函數1N1根據 IDFT 有h(n) 1H (k)WN nk ，Nk0N1對于 FIR系統，有 H(z) h(n)z n ，結合兩式得：n0H(z) 1

25、zN 1 H(k) k 01 WNkz 1)從上式可看出：當采樣點數 N已知后， WN k便是常數， 只要采樣值 H(k)確定，則系統函數 H (z)就可確定，要求的 FIR 濾波器就設計出來了。上式形 式的 FIR 濾波器很容易以頻率采樣型結構實現。頻率采樣法的步驟可歸納為：(1) 給定理想頻響 Hd(ejw )；2) 確定采樣點數，對理想頻響采樣得 H(k)；( 3) 代入()式中，即得 FIR 系統函數。 下面討論頻率采樣法設計出來的 FIR DF 的性能。3.1 線性相位 FIR DF 的約束條件若 H(k) Hd (ejw )| 2Hkej (k)，其中 Hk、 (k )分別是對幅度

26、wkN函數 H (w)和相位函數 (w)的第 k個抽樣。因為 h(n) 是實數，所以 H (k) 一定滿足共軛偶對稱式( 3-59)：H k HN k(k) (N k)1)又因為線性性， h(n) 滿足對稱性，所以對一般濾波用的第1、2 類 FIR 濾波器，必須滿足條件：(k) N 1w|2k(N 1)w2kN2)對于正交網絡、微分器(第 3、4類 FIR濾波器，必須滿足條件：綜合以上條件，N1w|(k) 2 2w|w 2N k 2k(N 1)N3)只有當 H ( k)滿足式( 1)， (k)滿足式( 2)、3)之一時，才有線性相位。如果理想頻響 Hd(ejw )給得不好或采樣點位置安排得不恰

27、當，都將得不到線性相位。只有當Hd(ejw )滿足上面的約束條件時，對 0，區間上抽取一半頻率樣點，而其余的一半根據約束條件強行推出。3.2 FIR DF 的頻率響應根據設計出來的 H(z) ，可得出頻響H(ejw)1 e jwN N 1H(k) k 01 ej2k/Ne jwN1 k0Nsin (wH(k) 12NN12N sin (w 2Nk)ek)j(w 2 k)( N 1)N2N1 H (k) (wk0k)21其中： (w k) NNNsin (w k )2 N e j(1 2 e sin ( w k)2Nw 2 k)(N 1)N2。上式是由離散譜求連續譜的內插公式，(w) 是內插函數

28、，它的圖形近似sinc. 。濾波2器頻譜 H(ejw) 等于以理想譜抽樣值 H (k )為權值的、以 k為中心位置的NN 個 sinc.函數之和。由采樣點恢復出來的譜 H(ejw) 與理想譜 Hd(ejw)相 比，在采樣點上是完全吻合的，這是由sinc. 函數特點決定的，它在 2 kN( k 0 )處的幅度都是零，一個樣點扥誒插函數對其它樣點的值沒有任何 干擾。但在兩樣點之間， H(ejw )的值是各樣點的內插函數在該處值的疊加，與 Hd (ejw )相比可能有誤差。采樣點之間頻譜誤差的大小與樣點的疏密有 關， 更與相鄰兩個樣點值變化的大小有關。 理想頻譜曲線越光滑平坦， 樣值 變化越小，則誤

29、差越小；采樣點越密，相當于相鄰樣值的變化越小，誤差越 小。 如果理想頻響曲線變化劇烈， 甚至有不連續點， 則內插所恢復的值與理 想值的誤差就很大， 在不連續點旁邊就會出現由 sinc. 函數造成的肩峰和振 蕩，這和窗口法是一樣的。3.3 改善濾波器性能的措施如果給出的理想低通濾波器在通帶的頻譜 Hd(ejw) 等于 1而阻帶為 0， 則不論樣點 N 取得如何密，在臨界頻率處總有兩個幅度突變的樣點，它們 之間的落差為 1。于是阻帶邊緣產生反沖和阻尼振蕩，其最大幅度取決于 sinc. 函數，是個固定的值。這樣設計出來的濾波器的阻帶最小衰耗固定為 -20dB ，與矩形窗一樣。增加采樣點數 N 不能改

30、善阻帶最小衰耗。改善阻帶衰耗的唯一辦法是 加寬過渡帶 。具體方法是： 在通、 阻帶交界處人為地安排一到幾個過渡 點，其值介于零和 1 之間，這樣可減小樣點間的落差，使過渡平緩，反 沖減小，阻帶最小衰耗增大。經驗表明：每多加一個過渡點，過渡帶寬 增加 2 /N ，最優情況下阻帶衰耗可增大 2030dB。 兼顧過渡帶寬和阻帶最小衰減 。增加采樣點， 同時在通、 阻帶交界處安 排過渡點。頻率采樣法特別適用于設計窄帶選頻濾波器 。(回顧窄帶選頻濾波器的 特點)因為這時只有少數幾個非零值的H (k )，計算量大為降低。但由于頻率抽樣點的分布必須符合一定規律， 在規定通、 阻帶截止頻率方面 不夠靈活。比如

31、當截止頻率 wc 不是 2 / N 整數倍時會產生較大逼近誤差，因而該方法的應用不及窗口法普遍。其中： H(k) H(ej2 k/N)0, * k 0 (畫出在單位H * (N k), k 1,., N 1圓上的采樣可知)k0jw N 1 2H (e jw ) H (k ) (w k)NN221(w 2N k) N1sin 2 (w N k) j(w 2Nk)( N21)2 N e N 2 ( P113 式 12sin (w k)2N3-93， 3-95)得jw N 1 1 jN 1wH(ejw)k0H(k)N1 e j 2 wN1ejNN1kN2sin (w k)2 N ，12， sin (

32、w k)N1jw 式中 e 2NN 1 sinj k 2e N 只與相位有關， 21sin (w k)2N(w 2Nk) 與幅度有關。 下面2sin (w k)畫出 2 N 的圖形。因為對k)212 sin (w2N別為：k 求和，所以共有N 項 sin() ，分sin()sinN wsin 1 wN sin (w ) 2N 12 sin (w ) 2NNsin (w (N 1)2 N 。12sin (w (N 1)2N在 k 點上，只有一個抽樣值，即在抽樣點上， NH(ejw) 在 w N2k 上就2N等于 H (k) ，在兩個抽樣點的頻率之間的值為各抽樣函數的加權值。2對 Hd (ejw

33、)的一個周期進行抽樣，抽樣點間間隔為，因為具有對稱性，N所以考慮半個周期 0 即可。2結論：用 Hd(ejw)Hd(k) H(k) H(ejw) ，H(ejw) 在w 2 kN jw 2上與 Hd(ejw)在 wk上一樣，在其他 w值處的值是 N 個抽樣函數的N加權疊加而成。 線性相位：(只要是 FIR DF ，就容易設計成相位線性) 對于線性相位濾波器，有h(n) h(N 1 n),n 0,1,., N 1其中正號對應 1型 2型，負號對應 3型 4型濾波器。這樣 H (k )可表示成2 k j H(k)H(k) Hr( )ej H(k) rN1) h(n) h(N 1 n), N 為奇數，

34、則jw j N 1 wH(ejw) H(w)e 2 ，其中 H(w) 關于 w 對稱，即 H(w)2H (2 w) ，令 wk 時有NH(ejw)H (e N ) H(2 k)ej k Hkej kNH ( w) H (2 w)222H( k) H (2 k) H (N k) Hk HN NNN2)h(n) h(N 1 n), N 為 偶 數則 H ( w) H (2 w)H k最后可計算 h(n) IDFT H(k) 。從而得出 H(z)或 H (ejw ) 。也可以根據對 稱性對內插公式進行化簡得出 H(z)或 H(ejw) 的計算公式。如書上( 7-111) 式和( 7-112)式。頻率

35、抽樣設計法的基本思想：給定理想濾波器Hd (ejw )，先選擇濾波器長度 N，然后對 Hd(ejw)在 0 到 2上的 N 個等間隔頻率上采樣，根據式子H(ejw)jwN1eN1k 0 1 eH(k)j2 k / Njwe，通過對樣本 H ( k)的內插， 得到實際響應 H (e jw ) 。脈沖響應 h(n)可根據 h(n) IDFT H (k)得出。如圖所示：圖：頻率采樣技術圖解從上圖可以看出：在采樣頻率上的逼近誤差為零， 即在采樣點上， 理想濾波器和實際濾波 器的相應幅度值一樣； 其余頻率上的逼近誤差取決于理想響應的形狀：理想響應的輪廓越陡， 則逼近誤差越大；靠近帶的邊緣的誤差越大，在帶內的誤差越小。例 1：用頻率抽樣設計法設計一個滿足下列指標的線性相位低通FIR 濾波器：wp 0.2 ,Rp 0.25dB （通帶波動） （ wp為通帶截止頻率）ws 0.3 , As 50dB （阻帶最小衰減）解：選擇抽樣點數為 N=20 。則在 wp 、 ws處分別有一個抽樣樣本，對應的22 k 2, k 3 。即 wp 0.22， ws 0.33 。p 20 s 20因此在通帶 0 w wp上有 3 個樣本點，在阻帶 ws w 上有N17 個樣本點。 因為 N=20 ，9.5 ，這是一個 2 型線