1、學必求其心得，業必貴于專精特征值與特征向量1設矩陣a，對于實數，若存在一個非零向量使a，則稱為a的一個特征值,而稱為a的屬于特征值的一個特征向量2設是矩陣a的屬于特征值的一個特征向量，則有：(1)k（k0）也是矩陣a的屬于特征值的特征向量（2）ann（nn）3多項式f(）稱為矩陣a的特征多項式，方程f(）0稱為矩陣a的特征方程4.給定矩陣a，求a的特征向量和特征值一般步驟為:(1)首先求出特征方程f（)0的兩個根1、2即為矩陣a的特征值（2)分別將1、2代入齊次線性方程組分別求出與之相應的兩組非零解1、2即為相應的特征向量特征值、特征向量的概念例1給定矩陣m，n及向量e1,e2。求證：(1）m

2、和n互為逆矩陣；(2)e1和e2都是m的特征向量思路點撥(1）只需證明mnnme即可；（2）只需證明me1e1，me2e2即可精解詳析（1）因為mn ,nm ，所以m和n互為逆矩陣（2）向量e1 在m的作用下，其象與其保持共線，即 ，向量e2在m的作用下，其象與其保持共線,即 ，所以e1和e2都是m的特征向量1設a是可逆的二階矩陣，求證：若是a的特征值，則是a1的特征值證明：a，a1(a）a1(),a1（）（a1)，a1.是a1的特征值2若向量是矩陣的一個特征向量，求m的值解：由題意知是齊次方程組的一組解,即解之得故m的值為12.特征值和特征向量的求法例2求矩陣a的特征值與相應特征值的一個特征

3、向量思路點撥先求特征多項式，令特征多項式為0求出特征值，再求相應特征向量精解詳析矩陣a的特征多項式為221。令210，解得矩陣a的特征值為11，21。當11時,代入齊次線性方程組得即3xy0，令x1，則y.所以x1是矩陣a的屬于特征值11的一個特征向量當21時，代入齊次線性方程組得即xy0，令x3，則y。所以x2是矩陣a的屬于特征值21的一個特征向量已知矩陣a,求它的特征值和特征向量可以分成以下兩步：（1）求出矩陣a的特征多項式等于零的全部根，它們就是矩陣a的全部特征值（2）對于每個特征值0，解齊次線性方程組，其所有非零解就是屬于0的特征向量3已知矩陣a，求a的特征值及其對應的所有特征向量解：

4、由f（x)（3)（2)2025140得矩陣a的特征值為17，22。當17時,由方程組得1.故矩陣a屬于特征值7的所有特征向量為(k0）當x22時，由方程組得2。故矩陣a屬于特征值2的所有特征向量為（k0)4矩陣a的特征值為1，2，求m,n的值解:f(）（3)(n）2m2(3n)3n2m，據題意可知方程(關于的)2（3n）3n2m0的兩個根為1，2；由特征值和特征向量求矩陣例3已知二階矩陣a的屬于特征值1的一個特征向量為，屬于特征值3的一個特征向量為，求矩陣a.思路點撥利用矩陣，特征向量及特征值滿足的關系式構建方程組,通過解方程組求得矩陣的所有元素即可精解詳析設a，由題意知 , ，即解得a.解此

5、類問題可利用待定系數法，首先設出待求矩陣的元素，再利用矩陣a、特征向量及特征值間滿足a構建方程組，最后通過解方程組求出矩陣的所有元素5已知矩陣a有特征值18及對應的特征向量1，并有特征值22及對應的特征向量2，試確定矩陣a。解：不妨設矩陣a，a，b，c，d均為實數由題意則有 8及 2,即解得即矩陣a。6給定的矩陣a，b.(1）求a的特征值1，2及對應的特征向量1,2；(2)求a4b.解：（1)設a的一個特征值為，由題意知0，即(2)（3)0，12,23。當12時，由 2，得a屬于特征值2的特征向量1；當23時，由 3,得a屬于特征值3的特征向量2。(2）由于b12，故a4ba4（12)2413

6、42161812。1已知矩陣m的一個特征值為3，求其另一個特征值解:矩陣m的特征多項式為f（)(1）（x）4。由特征值為3，可解得x1.因為(1）(1）40，得21.所以矩陣m的另一個特征值為1。2設二階矩陣m，其中m，n是實數且向量是矩陣m的屬于特征值1的一個特征向量，試找出適合條件的一個矩陣m.解:由題意知 ，故。2mn1，取m0,n1,則m為適合條件的一個矩陣3已知矩陣m，向量，求m4。解：矩陣m的特征值滿足方程（8)（3)5（6)2560,解得矩陣m的兩個特征值12，23。分別將12，23代入方程組 ，可求得它們對應的特征向量分別可取為1，2.顯然1，2不共線，又因為2122,因此，m

7、4m4（122)m412(m42）12224234。4對任意實數x，矩陣總存在特征向量，求m的取值范圍解：由題意知，對任意實數x，矩陣總存在特征向量，設為矩陣的一個特征值,則f（)（x)(3）（2m）(m3)令f（)0，由題意知(x)(3）(2m)（m3）0對任意實數x恒成立，(3x）212x4(m2)(3m）0恒成立，即(x3)24(m2)（3m）0恒成立由x的任意性可知4（m2)（3m)0恒成立，2m3.5已知二階矩陣m有兩個特征值：18，22,其中1對應的一個特征向量e1，2對應的一個特征向量e2，求m.解:設m，則 8，且 2。且a6，b2，c4，d4.m.6已知矩陣m，向量，。（1）

8、求向量23在矩陣m表示的變換作用下的象;（2）試問向量是矩陣m的特征向量嗎？為什么?解：（1)因為2323,所以m（23） ，所以向量23在矩陣 m表示的變換作用下的象為.（2）向量不是矩陣m的特征向量理由如下:m ，向量與向量不共線，所以向量不是矩陣m的特征向量7已知矩陣a對應的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90。（1）求矩陣a及a的逆矩陣b；（2)已知矩陣m，求m的特征值和特征向量；（3）若在矩陣b的作用下變換為，求m4.解：(1）a 。ba1.（2)設m的特征值為，則由條件，得0，即（3）(4)62760.解得11，26。當11時，由 ,得m屬于1的特征向量為1;當26時,由 6，得m屬于6的特征向量為2.(3)由b，得 ，設m1n2mn，則由解得所以122。所以m4m4（122)m412m42264。8已知矩陣a的特征多項式為f（)2.（1)求a，d的值；（2）若，且a，求的值解:(1）由題意，得f()（a）(d)2（ad）a