1、學必求其心得，業必貴于專精22。6切變變換1由矩陣m或n確定的變換稱為切變變換，矩陣m，n稱為切變變換矩陣2矩陣把平面上的點（x，y)沿x軸方向平移|ky個單位當ky0時，沿x軸正方向移動；當ky0時，沿x軸負方向移動；當ky0時，保持不變,在此變換下,x軸上的點為不動點3矩陣把平面上的點(x，y)沿y軸方向平移_|kx個單位當kx0時，保持不變，在此變換下,y軸上的點為不動點求點或平面圖形在切變變換作用下的象例1畫出平行四邊形abcd，其中a(0，0），b(2,0)，c(4,1），d（2，1），在切變變換的作用下對應的圖形,并指出在這個變換下的不變量思路點撥把平面上的點（x，y）沿x軸方向平

2、移|ky個單位，此題中k2，故每個點的縱坐標不變，橫坐標沿x軸負方向平移2y個單位精解詳析變換矩陣是平行于x軸的切變變換矩陣，在這個變換下，平行四邊形上的每個點的縱坐標不變,橫坐標沿x軸的負方向平移2y個單位,設變換后平行四邊形的頂點是a，b，c，d，則a(0，0）,b(2,0),c（2，1），d(0,1），變換前后的圖形如圖所示，其中線段ab上的點為不變量解決此類問題的關鍵是確定變換前后點的坐標之間的關系，此關系的確定可通過矩陣與向量的乘法規則完成1求直線x1在矩陣m所確定的變換作用下的象解：因為m ,所以所以直線x1在矩陣所確定的變換的作用下的結果是直線xy10.2如圖所示，已知矩形abc

3、d，試求在矩陣對應的變換作用下的圖形，并指出矩形區域abcd在變換過程中的不變線段解：因為 ， ， ， .所以矩形abcd在矩陣作用下變成了平行四邊形abcd.這里a(2，1），b（4，1），c(1,1），d(5，1），如圖所示線段ef為該切變變換下的不變線段求切變變換矩陣例2如圖，在切變變換下，平行四邊形abcd變換為平行四邊形abcd,試寫出這個切變變換的變換矩陣，指出其中的不變線段思路點撥觀察各點變換前后坐標變化特點,易知是何種切變變換，確定k值精解詳析顯然a，b，c，d各點的橫坐標不變，縱坐標各自加上了x，故這個切變變換的變換矩陣是，這個變換中只有平行四邊形中與y軸相交部分的線段是不變

4、量這類試題既可以通過觀察，找到k值，也可以根據待定系數的方法確定k值，如例2根據點a（3,2)變換前后的坐標可得1k（3）（2），即得k1.根據兩類切變變換的變換公式，平行于x軸的切變變換x軸上的點是不動點,平行于y軸的切變變換y軸上的點是不動點3如圖已知正方形abcd在矩陣m對應的線性變換的作用下變成abcd，求矩陣m。解：由圖知，a（0，0)變換為a（0,0),b(1，0）變換為b(1,1)，c（1，1）變換為c(1,2），d（0,1）變換為d(0，1），從而可知變換t是沿y軸正方向平移1個單位的切變變換，在此變換下,y軸上的點為不動點，故可得m。4如圖所示,已知矩形abcd在變換t的作用

5、下變成圖形abcd，試求變換t對應的矩陣m.解:從圖中可以看出，t是一個切變變換，且t：.故t對應的變換矩陣為m.驗證如下： , ， ， 。所以矩形abcd在矩陣的作用下變成了平行四邊形abcd。1求圖形f(x，y）|0x2，0y2在矩陣a對應的線性變換作用下的圖形解:易知圖形f為正方形，如圖,其中，o(0,0），a(2，0)，b（2,2)，c(0,2),設變換后的圖形為oabc，所以 ， ， ， 。所以o、a、b、c的坐標分別為（0,0）、(2,0)、（8，2)、（6，2），于是oa（2,0)，cb(2，0)，oc（6，2），oa綊cb,又oaoc0,所以四邊形oabc為平行四邊形2已知直線

6、l：y2x1，變換t對應的矩陣m，l在t變換下得到的圖像為l。求l的方程解：設p(x0，y0)是直線l上的任一點，該點在變換t對應的矩陣m作用下對應的點p的坐標為(x,y）則 。點p(x0，y0)在直線y2x1上，y2（xy)1,即2x3y10。所求的l的方程為2x3y10。3如圖所示，已知abc在變換t的作用下變成abc，試求變換t對應的矩陣m。解:從abc到abc對應的是x軸方向上的切變變換，因為點a，b在x軸上，原地不變,注意到c(1,1)c（1，1）,由此可知該變換使得橫坐標依縱坐標的比例為2.從而這個變換對應的矩陣為。4設直線y2x在矩陣所確定的變換的作用下得到曲線f，求曲線f的解析

7、式解:因為 ，所以代入y2x,整理得2x7y0。所以直線y2x在矩陣所確定的變換的作用下的結果是直線2x7y0。5已知曲線f在矩陣確定的變換作用下所得到的曲線的方程為xy1，求曲線f的方程解：由 得代入直線xy1得曲線f的方程所以曲線f的方程為2xy1.6已知abc在變換t作用下變成abc，其中a(1,0),b(1，0)，c(1，1)，a(1，0)，b（1，0)，c(2,1)，試求變換t對應的矩陣m.解：由題意知，變換t是切變變換,設m，則 ,即k3。所以m.7。圖中的正方形，每接受一個矩陣命令就作一次圖形變換,從現在圖中位置，按mnp的順序依次完成一組變換，畫出每一次變換后的示意圖，這里m,n，p。解：8對于一個平面圖形來說，在切變變換前后，它的幾何性質(如線段長度、角度、周長、面積)有變化嗎?試以切變變換對應的矩陣和平行四邊形abcd為例加以說明，其中a(0，0)，b(2，2），c（6，2)，d(4,0)解：設a、b、c、d四點在矩陣對應的切變變換作用下依次得到a1,b1，c1，d1，則有： ， ， ， ，所以平行四邊形abcd在矩陣對應的切變變換作用下得到平行四邊形a1b1c1d1(如圖所示)，其中a1（0，0)，b1(4，2),c1(8,2)，d1(4,0）觀察圖形可知,切變變換后線段ad、bc的長度不變，線段ab和cd