1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精13。1推出與充分條件、必要條件學(xué)習(xí)目標1。理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.2.會求(判定)某些簡單命題的條件關(guān)系知識鏈接判斷下列兩個命題的真假,并思考命題中條件和結(jié)論之間的關(guān)系：(1)如果xa2b2，則x2ab;(2）如果x|1，則x1.答（1）為真命題，(2)為假命題命題(1）中，有xa2b2，必有x2ab，即xa2b2x2ab；但由x2ab推不出xa2b2。命題（2)中，由|x1，可得x1或1.即由|x|1推不出x1；但由x1能推出x|1.結(jié)論：一般地，“如果p，則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q。這時，我們就說,由p可推出q,記作pq，并且說p是

2、q的充分條件,q是p的必要條件預(yù)習(xí)導(dǎo)引1命題的結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常遇到“如果p,則(那么）q”的形式的命題，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論2充分條件與必要條件的定義當命題“如果p，則q”經(jīng)過推理證明斷定是真命題時，我們就說由p成立可以推出q成立，記作pq，讀作“p推出q如果p可推出q,則稱p是q的充分條件；q是p的必要條件3pq的等價命題在邏輯推理中，能表達成以下5種說法:“如果p，則q為真命題；p是q的充分條件；q是p的必要條件；q的充分條件是p；p的必要條件是q。4充要條件的定義一般地,如果pq，且qp,則稱p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件,記作pq.p是q的充要條件

3、，又常說成q當且僅當p，或p與q等價.要點一充分條件、必要條件、充要條件的判斷例1指出下列各題中,p是q的什么條件(在“充分不必要條件”，“必要不充分條件，“充要條件”，“既不充分又不必要條件”中選出一種作答)：（1)在abc中，p：ab，q：bcac;（2）在abc中，p：sinasinb，q：tanatanb；（3)已知x，yr,p：(x1)2（y2)20，q：（x1)(y2）0。解（1)在abc中，顯然有abbcac，所以p是q的充要條件(2）取a120,b30,p/ q,又取a30，b120，q/p，所以p是q的既不充分也不必要條件(3）因為p：a(1,2)，q:b(x，y)x1或y2

4、，ab，所以p是q的充分不必要條件規(guī)律方法(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷pq及qp兩命題的正確性,若pq真,則p是q的充分條件，若qp真，則p是q的必要條件（2)關(guān)于充要條件的判斷問題，當不易判斷pq真假時,也可從集合角度入手判斷真假，結(jié)合集合關(guān)系理解,對解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的跟蹤演練1指出下列各組命題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件，必要不充分條件,充要條件，既不充分也不必要條件”中選一種作答)?(1）p:abc中，b2a2c2，q：abc為鈍角三角形；（2)p：abc有兩個角相等,q:abc是正三角形；(3)若a，br，p：a2b20，q：ab0.解(1)在abc中

5、，b2a2c2,cosb0，b為鈍角,即abc為鈍角三角形,反之若abc為鈍角三角形，b可能為銳角，這時b20，所以x1，x2同號又x1x2m20，所以x1，x2同為負數(shù)即m2是x2mx10有兩個負實根的充分條件(2)必要性：因為x2mx10有兩個負實根，設(shè)其為x1，x2，且x1x21，所以即所以m2，即m2是x2mx10有兩個負實根的必要條件綜上可知,m2是x2mx10有兩個負實根的充要條件規(guī)律方法充要條件的證明，關(guān)鍵是確定哪是條件，哪是結(jié)論，并明確充分性是由條件推結(jié)論，必要性是由結(jié)論推條件，也可以理解為證明充分性就是證原命題成立,證必要性就是證原命題的逆命題成立跟蹤演練2求證:方程x2（2

6、k1）xk20的兩個根均大于1的充要條件是k2.證明必要性:若方程x2（2k1）xk20有兩個大于1的根，不妨設(shè)兩個根為x1，x2，則即解得k2.充分性:當k2時,（2k1)24k214k0.設(shè)方程x2(2k1）xk20的兩個根為x1，x2.則（x11)(x21)x1x2（x1x2）1k22k11k(k2）0.又(x11）(x21)(x1x2)2(2k1）22k10，x110，x210，x11，x21.綜上可知,方程x2（2k1)xk20有兩個大于1的根的充要條件為k2。要點三充分條件和必要條件的應(yīng)用例3已知p：2x23x20,q:x22(a1）xa(a2）0，若p是q的充分不必要條件求實數(shù)a

7、的取值范圍解令mx2x23x20x(2x1)（x2)0x|x或x2，nx|x22(a1)xa（a2）0x|（xa）x（a2）0x|xa2或xa，由已知pq，且qp，得mn.所以或a2或a2a2。即所求a的取值范圍是，2規(guī)律方法在涉及到求參數(shù)的取值范圍又與充分、必要條件有關(guān)的問題時,常常借助集合的觀點來考慮注意推出的方向及推出與子集的關(guān)系跟蹤演練3是否存在實數(shù)p，使4xp0，解得x2或x1,令ax|x2,或x0,當p4時，4xp0的充分條件1“2x1”是“x1或x1”的()a充分條件但不是必要條件b必要條件但不是充分條件c既不是充分條件，也不是必要條件d既是充分條件，也是必要條件答案c解析2x1

8、或x1，且x1或x12x1，“2x1或x1的既不充分條件，也不必要條件2“0”是“sin0”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件答案a解析由于“0”時,一定有“sin0”成立，反之不成立，所以“0”是“sin0的充分不必要條件3對于非零向量a,b，“ab0”是“ab”的(）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件答案a解析當ab0時，得ab，所以ab，但若ab，不一定有ab0.4函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件是()am2bm2cm1dm1答案a解析當m2時，f（x)x22x1，其圖象關(guān)于直線x1對稱，反之也成立，所以f（x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件是m2.1.充分條件、必要條件的判斷方法:（1)定義法:直接利用定義進行判斷（2)利用集合間的包含關(guān)系進行判斷2充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、集合法3充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明分充分性和必要性的證明在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū)別:p是q的充要條件,則由pq證的是充分性，由qp證的是必要性;p的充要條件是q，則由pq證的是必要性,由qp證的是充分性(2)探求充要條件，可先求出必要條件,再證充分性；如果