1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例第1課時變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材p101p104的內(nèi)容，回答下列問題某廠家計劃用一種材料生產(chǎn)一種盛500 ml溶液的圓柱形易拉罐(1)生產(chǎn)這種易拉罐，如何計算材料用的多少呢？提示：計算出圓柱的表面積即可（2)如何制作使用材料才能最省？提示:要使用料最省，只需圓柱的表面積最小可設(shè)圓柱的底面半徑為x，列出圓柱表面積s2x2（x0），求s最小時，圓柱的半徑、高即可2歸納總結(jié)，核心必記(1)優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題(2）解決優(yōu)化問題的基本思路

2、問題思考在實際問題中，如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個極值點，則函數(shù)在該點處取最值嗎?提示：根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷,函數(shù)在該點處取最值,并且極小值點對應(yīng)最小值,極大值點對應(yīng)最大值課前反思（1）生活中的優(yōu)化問題主要涉及哪些問題？；(2）解決優(yōu)化問題的基本思路是什么？講一講1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場如圖，圓形廣場的圓心為o，半徑為100 m,并與北京路一邊所在直線l相切于點m.點a為上半圓弧上一點,過點a作l的垂線,垂足為點b。市園林局計劃在abm內(nèi)進行綠化設(shè)abm的面積為s(單位：m2），aon(單位：弧度）（1)將s表示為的函數(shù)；(2)當綠化面積s最大時，試確定點a的

3、位置,并求最大面積嘗試解答(1)bmaosin 100sin ,abmoaocos 100100cos ，(0,)則smbab100sin （100100cos )5 000(sin sin cos ），(0，）(2)s5 000（2cos2cos 1)5 000（2cos 1）（cos 1)令s0，得cos 或cos 1(舍去)，此時.當變化時，s，s的變化情況如下表：所以，當時，s取得最大值smax3 750 m2，此時ab150 m,即點a到北京路一邊l的距離為150 m。（1)平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形,主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來

4、后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值(2）立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積,在此基礎(chǔ)上解決與實際相關(guān)的問題解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式,如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進行拆分或組合,以便簡化求值過程練一練1請你設(shè)計一個包裝盒如圖所示，abcd是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起,使得a,b,c，d四個點重合于圖中的點p，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒e、f在ab上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點設(shè)aefbx（cm）(1）若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積s（cm2)最大，試

5、問x應(yīng)取何值？（2)某廠商要求包裝盒的容積v（cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值解：設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a(cm)由已知得ax,h（30x)，0x30.(1）s4ah8x（30x)8（x15)21 800,所以當x15時，s取得最大值（2)va2h2(x330x2)，v6x(20x)由v0得x0(舍）或x20.當x(0，20)時，v0；當x(20,30）時，v0.所以當x20時，v取得極大值，也是最大值此時，即包裝盒的高與底面邊長的比值為。講一講2為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的

6、隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用c(單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：c(x）（0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和（1）求k的值及f(x）的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x）達到最小，并求最小值嘗試解答(1)由題設(shè)，隔熱層厚度為x cm,每年能源消耗費用為c(x），再由c（0)8,得k40，因此c（x).而建造費用為c1（x)6x。最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x）20c(x）c1(x)206x6x（0x10)（2）f(x)6，令f(x)0，

7、即6，解得x5，x(舍去)當0x5時,f（x）0，當5x10時，f(x)0，故x5是f（x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f（5）6570。所以，當隔熱層修建5 cm厚時,總費用達到最小值70萬元實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時根據(jù)f(x)0求出極值點（注意根據(jù)實際意義舍去不合適的極值點)后，函數(shù)在該點附近滿足左減右增，則此時唯一的極小值就是所求函數(shù)的最小值練一練2一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10 km/h時，燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以多大的速度航行時，能使每千米的

8、費用總和最少？解：設(shè)燃料費ykv3,因為當v10時，y6，k，yv3。每千米總費用:sv2，sv。令s0得v20,當v(0，20）時，s0；當v(20，)時，s0。v20 km/h 是s的極小值點，也是最小值點，v20 km/h 時，每千米的費用總和最少知識點3 利潤最大問題講一講3某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品,可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p（xn*）（1）將該廠的日盈利額t（元）表示為日產(chǎn)量x(件）的函數(shù);（2）為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件?嘗試解答（1)因為次品率p，所以當每天生產(chǎn)x件時

9、，有x件次品,有x件正品所以t200x100x25（xn)（2）t25，由t0，得x16或x32(舍去)當0x0；當x16時，t0，r是其唯一的極值點當r時，v取得最大值，最大值為.2用邊長為48 cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成一個鐵盒所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()a6 cm b8 cm c10 cm d12 cm解析:選b設(shè)截去的小正方形的邊長為x cm,鐵盒的容積v cm3。由題意，得vx(482x)2(0x24)，v12（x24)(x8)，令v0,得x8或x24（舍去）當x(0，8)時,v0；當

10、x（8,24)時，v0。當x8時，v取得最大值題組2成本最低(費用最省）問題3做一個容積為256 m3的方底無蓋水箱,所用材料最省時，它的高為()a6 m b8 m c4 m d2 m解析： 選c設(shè)底面邊長為x m，高為h m，則有x2h256，所以h。所用材料的面積設(shè)為s m2，則有s4xhx24xx2x2。s2x,令s0，得x8，因此h4（m)4某公司一年購買某種貨物2 000噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次,一年的總存儲費為x2萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x_解析:設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物,則n，總運費與總存儲費之和f（x)4nx2x2，令f（x)x0，解得x

11、20。且當0x0，v80千米/時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值，且qminq（80）(元)題組3利潤最大問題6已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元）與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為（）a13萬件 b11萬件 c9萬件 d7萬件解析：選c因為yx281，所以當（9，）時，y0；當x（0，9)時，y0，所以函數(shù)yx381x234在（9,)上單調(diào)遞減，在（0，9）上單調(diào)遞增，所以x9時函數(shù)取最大值7某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為q件，則銷售量q與零售價p有如下關(guān)系：q8 300170pp

12、2.則最大毛利潤為（毛利潤銷售收入進貨支出）（)a30 元 b60 元c28 000 元 d23 000 元解析：選d設(shè)毛利潤為l(p），由題意知l(p)pq20qq(p20)(8 300170pp2）（p20）p3150p211 700p166 000，所以l(p)3p2300p11 700.令l（p)0，解得p30或p130(舍去）此時,l(30)23 000。因為在p30附近的左側(cè)l(p）0,右側(cè)l(p）0，所以l(30）是極大值,根據(jù)實際問題的意義知，l(30）是最大值，即零售價定為每件30 元時，最大毛利潤為23 000元8某銀行準備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率的平

13、方成正比，比例系數(shù)為k（k0)，貸款的利率為0.048，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x（x（0,0.048），為使銀行獲得最大收益，則存款利率應(yīng)定為_解析：存款利率為x，依題意：存款量是kx2，銀行應(yīng)支付的利息是kx3,貸款的收益是0。048kx2，x(0,0。048）所以銀行的收益是y0。048kx2kx3（0x0.048），由于y0。096kx3kx2，令y0得x0。032或x0(舍去），又當0x0.032時,y0;當0。032x0.048時，y0，所以當x0.032時，y取得最大值答案：0。0329某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交4

14、元的管理費，預(yù)計當每件產(chǎn)品的售價為x元(8x11)時,一年的銷售量為（12x）2萬件（1)求分公司一年的利潤l（萬元)與每件產(chǎn)品的售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤l最大？并求出l的最大值解：(1)分公司一年的利潤l(萬元)與售價x之間的關(guān)系為:l(x)(x34）(12x)2(x7）(12x)2，即l(x）（x7)（12x)2，其中x8,11(2)由于l(x）(x7）（12x)2,l(x）(12x)2(x7）2（12x）（1)(12x)（12x2x14）（12x）(263x)，令l(x)0得x12或x，由于x8，11,所以取x，當x時,l（x)0；x時，

15、l（x)0，所以當x時，l（x)在8,11上取到極大值，也是最大值，l(萬元）故當每件售價為元時，公司一年的利潤l最大，最大利潤是萬元能力提升綜合練1將8分為兩個非負數(shù)之和，使兩個非負數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為（）a2和6 b4和4c3和5 d以上都不對解析：選b設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8x，則其立方和yx3（8x）383192x24x2(0x8）,y48x192。令y0，即48x1920，解得x4.當0x4時,y0.所以當x4時，y最小2設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為v，那么其表面積最小時，底面邊長為()a。 b。 c. d2解析:選c設(shè)底面邊長為x,高為h，x2hv,h.s表2x23xh

16、x2,s(x）x，令s（x)0可得x，x34v,x.當0x時，s（x)0;當x時，s(x)0,當x時,s(x）最小3某廠要圍建一個面積為512 m2的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當砌新墻所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為()a32 m,16 m b30 m，15 mc40 m，20 m d36 m，18 m解析：選a設(shè)建堆料場與原墻平行的一邊邊長為x m，其他兩邊邊長為y m,則xy512，堆料場的周長lx2y2y（y0)，令l20，解得y16(另一負根舍去）,當0y0,所以當y16時,函數(shù)取得極小值,也就是最小值，此時x32.4某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20

17、 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元,若總收入r與年產(chǎn)量x（0x390)的關(guān)系是r(x）400x(0x390)，則當總利潤最大時,每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是（）a150 b200 c250 d300解析：選d由題意可得總利潤p(x)300x20 000，0x390，由p(x）3000，得x300。當0x300時，p(x）0；當300x390時，p(x）0，所以當x300時，p(x）最大5要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為_cm。解析：設(shè)高為h，則底面半徑r,0h0，當h時，v0，f(x)是遞增的，x時，f（x)0,f(x）是遞減的,當x時，f（x）取最大

18、值。答案：7某工廠共有10臺機器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品根據(jù)經(jīng)驗知道，每臺機器產(chǎn)生的次品數(shù)p（萬件）與每臺機器的日產(chǎn)量x（萬件）(4x12）之間滿足關(guān)系：p 0。1x23。2 ln x3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元(利潤盈利虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y（萬元）表示為x的函數(shù)；（2）當每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件）為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？解：（1)由題意得，所獲得的利潤為y102(xp）p20x3x296ln x90(4x12）(2）由(1）知，y.當4x6時，

19、y0,函數(shù)在4，6)上為增函數(shù)；當6x12時，y0，函數(shù)在（6，12上為減函數(shù)，所以當x6時，函數(shù)取得極大值,且為最大值，最大利潤為y20636296ln 69096ln 678(萬元）故當每臺機器的日產(chǎn)量為6萬件時所獲得的利潤最大，最大利潤為（96ln 678）萬元8某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為c，計劃修建的公路為l，如圖所示，m,n為c的兩個端點，測得點m到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點n到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2

20、所在的直線分別為y，x軸，建立平面直角坐標系xoy，假設(shè)曲線c符合函數(shù)y(其中a,b為常數(shù)）模型(1)求a，b的值；(2）設(shè)公路l與曲線c相切于p點，p的橫坐標為t。請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度解：(1）由題意知，m點的坐標為(5,40），n點的坐標為(20,2.5)，代入曲線c的方程y，可得解得（2)由(1)知曲線c的方程為y(5x20)，y，所以yxt即為l的斜率又當xt時,y,所以p點的坐標為，所以l的方程為y(xt)令x0,得y；令y0,得xt.所以f（t）,其中5t20。由知f(t),其中5t20。令g(t)t2,

21、所以g（t）t.因為5t20,令g(t)0，得5t10；令g(t）0，得t10；g（t）0,得10t20。所以g(t)在區(qū)間5,10)單調(diào)遞減，在(10，20單調(diào)遞增所以g(10)675是g(t)的極小值，也是最小值所以當t10時，f（t）取得最小值,最小值為f(10)15.即最短長度為15.1。導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x）在點xx0處的導(dǎo)數(shù)f（x0)就是曲線yf(x）在點(x0，f(x0)處的切線的斜率2導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程yy0f(x0）（xx0),明確“過點p(x0,y0)的曲線yf(x）的切線方程”與“在點p（x0，y0）處的曲線

22、yf（x）的切線方程”的異同點3圍繞著切點有三個等量關(guān)系：切點（x0，y0），則kf(x0),y0f（x0)，（x0，y0）滿足切線方程，在求解參數(shù)問題中經(jīng)常用到典例1已知函數(shù)f(x)x3x16.（1）求曲線yf（x)在點（2,6)處的切線方程；（2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；（3)如果曲線yf（x)的某一切線與直線yx3垂直，求切點坐標與切線的方程解：(1)f（x）（x3x16)3x21,f(x)在點（2，6）處的切線的斜率為kf(2）13.切線的方程為y13（x2)（6），即y13x32。（2)法一：設(shè)切點為(x0，y0），則直線l的斜率為f（x0

23、）3x1，直線l的方程為y(3x1）(xx0）xx016.又直線l過點(0，0)，0（3x1)（x0)xx016.整理得，x8，x02.y0(2)3(2）1626.k3(2)2113.直線l的方程為y13x，切點坐標為(2，26）法二：設(shè)直線l的方程為ykx,切點為(x0，y0），則k,又kf（x0)3x1，3x1.解得，x02，y0（2）3（2）1626。k3（2）2113。直線l的方程為y13x,切點坐標為（2，26)（3）切線與直線y3垂直，切線的斜率k4.設(shè)切點坐標為（x0,y0），則f（x0)3x14，x01.或即切點為(1,14)或（1，18）切線方程為y4(x1)14或y4（x1

24、)18.即y4x18或y4x14.對點訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f（x）4x2ln x2,求曲線yf（x）在點(1，f（1）處的切線方程解：f(x）8x。所以在點(1，f(1)處切線的斜率kf（1)7，又f(1）426，所以切點的坐標為（1，6)所以切線的方程為y67（x1),即7xy10。借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，尤其是研究含有l(wèi)n x，ex，x3等線性函數(shù)（或復(fù)合函數(shù)）的單調(diào)性，是近幾年高考的一個重點其特點是導(dǎo)數(shù)f（x)的符號一般由二次函數(shù)來確定；經(jīng)常同一元二次方程、一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體典例2設(shè)函數(shù)f(x）aln x，其中a為常數(shù)(1）若a0，求曲線yf（x）在點(1,f（1)

25、處的切線方程;（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解:（1）由題意知a0時，f（x），x(0，）此時f(x）。可得f（1），又f（1）0，所以曲線yf(x）在（1,f(1）)處的切線方程為x2y10。（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，）f(x).當a0時，f（x）0，函數(shù)f(x）在(0，）上單調(diào)遞增當a0時，令g（x)ax2（2a2）xa，由于（2a2）24a24（2a1）,當a時，0，f(x）0,函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞減當a時,0，g(x）0，f(x）0，函數(shù)f（x)在（0,)上單調(diào)遞減當a0時，0。設(shè)x1，x2（x1x2）是函數(shù)g（x）的兩個零點，則x1，x2,由x10,所以x（0，x1

26、)時，g（x）0，f(x）0，函數(shù)f（x)單調(diào)遞增，x(x2，）時，g(x)0，f(x）0，函數(shù)f（x)單調(diào)遞減,綜上可得:當a0時,函數(shù)f（x)在（0，）上單調(diào)遞增;當a時，函數(shù)f(x）在(0，)上單調(diào)遞減；當0)的單調(diào)區(qū)間解：因為f（x）a2ln xx2ax,其中x0，所以f(x)2xa。由于a0，所以f(x)的增區(qū)間為(0，a），減區(qū)間為(a，）3已知函數(shù)f（x)xb（x0）,其中a，br，若曲線yf(x)在點p(1，f(1)處的切線方程為y3x1。(1）求函數(shù)f（x)的解析式；(2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間解：(1)f(x)1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f（1）3，于是a4,由切點p（1，f（

27、1)在直線y3x1上得1ab2,解得b7。所以函數(shù)f（x)的解析式為f（x)x7（x0)（2）f(x)1（x0)，由f（x）0得x2或x2；由f(x)0得2x2且x0,f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，2）和(2，)，遞減區(qū)間為（2，0）和(0，2).1.極值和最值是兩個迥然不同的概念，前者是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而后者是函數(shù)的“整體”性質(zhì)另函數(shù)有極值未必有最值，反之亦然2判斷函數(shù)“極值”是否存在時，務(wù)必把握以下原則：(1）確定函數(shù)f（x）的定義域（2)解方程f（x)0的根(3）檢驗f(x）0的根的兩側(cè)f（x)的符號：若左正右負，則f（x)在此根處取得極大值若左負右正，則f(x）在此根處取得極小值即導(dǎo)

28、數(shù)的零點未必是極值點，這一點是解題時的主要失分點，學(xué)習(xí)時務(wù)必引起注意3求函數(shù)f(x）在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟：（1）求f(x)在(a,b）內(nèi)的極值(2）將(1）求得的極值與f（a)，f(b）相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值典例4已知函數(shù)f（x)x3ax23x,且x3是f（x）的極值點（1）求實數(shù)a的值；(2）求f（x）在x1，5上的最小值和最大值解：（1）f（x）3x22ax3.f（3）0,即276a30，a5。（2）f（x)x35x23x.令f(x)3x210x30，解得x3或x(舍去)當x變化時，f(x)、f(x）的變化情況如下表：因此，當x3時，

29、f（x）在區(qū)間1，5上有小值為f（3）9；當x5時，f(x)在區(qū)間1，5上是最大值是f（5）15.典例5已知函數(shù)f(x）x2axln x,ar.(1）若a0，求曲線yf（x)在點(1,f（1)處的切線方程；(2）若函數(shù)f(x）在1,2上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）令g(x）f(x)x2，是否存在實數(shù)a，當x(0，e（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時,函數(shù)g(x）的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解:(1)當a0時，曲線f(x)x2ln x，所以f(x)2xf(1)1,f（1）1。所以曲線yf(x)在點（1,f(1)處的切線方程為xy0.(2)因為函數(shù)在1,2上是減函數(shù)，所以f（

30、x)2xa0在1，2上恒成立，令h（x)2x2ax1，有得得a.即實數(shù)a的取值范圍為.(3）假設(shè)存在實數(shù)a,使g（x)axln x(x（0,e)有最小值3，g（x）a。當a0時，g(x）0,所以g（x)在(0，e上單調(diào)遞減，g（x）ming（e)ae13,a(舍去)當e時，g(x)0在(0，e上恒成立，所以g(x)在（0，e上單調(diào)遞減g(x)ming（e）ae13，a（舍去)當0e時，令g（x）00x0，知ax22ax10在r上恒成立因此4a24a4a（a1)0,又由a0,得0a1.即a的取值范圍為（0，15已知函數(shù)f(x）x3ax2bx在區(qū)間(2，1)內(nèi)x1時取極小值，x時取極大值(1）求曲

31、線yf（x）在x2處的切線方程;（2)求函數(shù)yf(x)在2，1上的最大值與最小值解：（1)f(x)3x22axb,又x1，x分別對應(yīng)函數(shù)的極小值,極大值，所以1，為方程3x22axb0的兩個根即a1,（1）.于是a,b2，則f(x)x3x22x。x2時,f(2)2，即切點為(2，2)又切線斜率為kf(2)8，所求切線方程為y28(x2)，即為8xy140。(2）當x變化時，f(x)及f（x）的變化情況如下表：則f（x)在2，1上的最大值為2，最小值為。從近幾年高考題看，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式這一知識點常考到，一般出現(xiàn)在高考題解答題中利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(如：證明不等式，比較大小等），其實質(zhì)就是利

32、用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，而證明不等式(或比較大小)常與函數(shù)最值問題有關(guān)因此，解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù)，然后考查這個函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解其實質(zhì)是這樣的:要證不等式f（x)g(x），則構(gòu)造函數(shù)(x）f(x)g(x），只需證(x)0即可，由此轉(zhuǎn)化成求(x)最小值問題，借助于導(dǎo)數(shù)解決典例6證明x3x2x1sin x（x0，xr)證明：令f（x)x3x2x1,則f(x)3x22x1.該導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程的判別式4120，所以f(x)f（0)1。而sin x1,所以x3x2x1sin x成立對點訓(xùn)練6證明不等式ln x，其中x1。證明：設(shè)

33、f(x）ln x（x1），則f(x）.x1，f（x)0，即f（x)在（1，）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)又f（1)0，當x1時，f(x）f（1)0，即ln x0,ln x。解決恒成立問題的方法:（1)若關(guān)于x的不等式f(x)m在區(qū)間d上恒成立，則轉(zhuǎn)化為f(x）maxm.（2）若關(guān)于x的不等式f(x)m在區(qū)間d上恒成立，則轉(zhuǎn)化為f(x)minm。(3）導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)f(x)的最大值或最小值問題的有力工具典例7已知函數(shù)f(x)xln x。(1）若函數(shù)g(x）f(x)ax在區(qū)間e2，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若對任意x(0，），f(x)恒成立，求實數(shù)m的最大值解：(1)由題意得g（x）f（x)aln

34、xa1.函數(shù)g(x）在區(qū)間e2，）上為增函數(shù)，當xe2,）時,g（x)0，即ln xa10在e2，）上恒成立a1ln x.又當xe2，）時，ln x2，）1ln x(，3，a3,即a的取值范圍為3，）(2)由題知，2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23。又x0，m。令h（x),h（x),令h(x)0.解得x1,或x3（舍)當x(0，1）時，h（x）0,函數(shù)h（x）在(0，1)上單調(diào)遞減,當x（1，)時，h（x）0，函數(shù)h（x）在（1,）上單調(diào)遞增h(x）minh（1）4，即m的最大值為4。對點訓(xùn)練7已知函數(shù)f(x）x3x2bxc.（1)若f(x）有極值,求b的取值范圍;（2）若f（x)

35、在x1處取得極值，當x1，2時，則f（x）c2恒成立，求c的取值范圍;（3）若f(x）在x1處取得極值，求證：對1，2內(nèi)的任意兩個值x1，x2，都有|f（x1)f(x2).解：（1)f(x）3x2xb，令f（x）0，由0得112b0，解得b0.解得c2或c0，當x時，f(x)0，因此x1,x2分別為f(x)的極大值點、極小值點(2)由(1)的分析可知yf（x）圖象的大致形狀及走向如圖所示要使直線ya與yf（x）的圖象有3個不同交點需54f（)af（)54.則方程f（x)a有3個不同實根時，所求實數(shù)a的取值范圍為（54,54）（3)法一：f(x)k（x1），即(x1)（x2x5）k（x1)，因為

36、x1，所以kx2x5在（1，)上恒成立,令g（x）x2x5,由二次函數(shù)的性質(zhì)得g（x)在(1，)上是增函數(shù)，所以g（x)g（1）3，所以所求k的取值范圍是為（，3法二：直線yk（x1）過定點（1，0）且f（1)0，曲線f(x）在點(1，0)處切線斜率f(1）3,由（2）中草圖知要使x（1，)時，f（x)k（x1)恒成立需k3.故實數(shù)k的取值范圍為（，3對點訓(xùn)練8設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k0。（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;（2)證明若f（x)有零點,則f（x）在區(qū)間（1，)上僅有一個零點解：(1)f（x）的定義域為(0，），f(x）x.因為k0,所以令f（x)0得x，列表如下：減區(qū)間為（0

37、，）,增區(qū)間為(,)當x時，取得極小值f（）。（2)當1,即0k1時,f（x）在（1,）上單調(diào)遞增，f(1)，f（）0，所以f(x)在區(qū)間（1，）上沒有零點當1，即1k0，f（)0，所以f（x）在區(qū)間（1，）上僅有一個零點綜上，若f(x)有零點,則f(x)在區(qū)間(1，）上僅有一個零點。解決優(yōu)化問題的步驟:（1)首先要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域(2）其次要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具（3)最后驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義典例9如圖，四邊形abcd是一塊邊長為4 km的正

38、方形地域,地域內(nèi)有一條河流md，其經(jīng)過的路線是以ab中點m為頂點且開口向右的拋物線（河流寬度忽略不計)某公司準備投資建一個大型矩形游樂園pqcn，試求游樂園的最大面積解：如圖，以m點為原點,ab所在直線為y軸建立直角坐標系，則d(4,2）設(shè)拋物線方程為y22px。點d在拋物線上，228p。解得p。拋物線方程為y2x(0x4，0y2)設(shè)p(y2,y）(0y2)是曲線md上任一點，則|pq|2y，|pn|4y2。矩形游樂園面積為spq|pn|(2y)(4y2）8y32y24y。求導(dǎo)得，s3y24y4，令s0,得3y24y40,解得y或y2（舍）當y時,s0,函數(shù)為增函數(shù);當y時，s0，函數(shù)為減函數(shù)當y時，s有最大值這時pq2y2,pn