1、如何讓學生在自主探究中學習新知識在初中數學教學中開展探究性學習活動，符合數學學習的特點和規律。它有利于學生在學習活動中真正理解和掌握數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗，有利于培養學生數學探究能力、創造精神和實踐能力，同時也能通過引發學生積極思維而產生對數學的興趣。通過設計探究性問題來開展課堂教學是深入進行數學教育研究的一種有效方式，根據學生認知結構及知識本身的系統性來設計研究性問題是一個數學教師深入鉆研教材、建立自己教學特色的關鍵。本文擬給出三角形內角和定理證明的探究性教學案例研究。一一則教學案例“授人以魚，不如授人以漁”。最有價值的知識是關于方法的知識。數學新課標指出教師

2、應向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。浙教版七下第一章“1.1認識三角形”這節內容中，通過讓學生開展數學試驗折紙的方法，得出了三角形內角和為180o，沒給出具體的證明。在學生學習了八上第1章的平行線定理和性質后，教師提出了如下問題：師：在七年級下時，我們曾經把三角形紙片折疊成一個矩形（圖1-1）。由這個試驗我們得出了三角形內角和定理：三角形內角和等于180o。但是，試驗總會有誤差，拼接有限個三角形還不足以說明所有的三角形都有同樣的性質。現在，我們已經學習了較多的幾何知識，請同學們想一想

3、，如何用這些知識去證明它。（提出問題）（學生思考，開始動手，證明大約5分鐘） 圖1-1師：誰能說一說證明過程？生：以上證明的方法是把三個內角折到一起拼成平角說明三角形的內角和等于180o，那我們能否把3個內角移到一個平角上，則這3個內角之和就等于180o。師：不錯。這就明確了解題方向。但是，通過什么方法能把角移到一起呢？生：我通過作圖來移角。在abc中，做bc的延長線ce，這就得到了一個平角，并且在平角上已經有了一個內角。然后，在abc的外部，做acd=a，這樣就把a移了過來。下面只需證明。（圖1-2）圖1-2（學生似乎對接下來的回答感到困難。）師：沒事的，你能想到這一步就相當于打開了解決問題

4、的大門，我們一起走進去解決這個問題。好！接下來請大家分組（前后4人為一組）動手畫一畫，想一想，相互討論、交流，解決這個問題，最后我們交流探索的成果.師：好，誰來說一下。生：從圖形上來看，是一對同位角，要證它們相等，可先證/cd，這由作法acd=a（內錯角相等）得知，確有兩直線平行。師：對。由acd與a的相等得出線ab與cd的平行關系，再由線的平行關系得出角的相等關系（）。這樣，整個思路就通了。現在請大家用自己的方式來證明這個問題，也可以借鑒剛才同學的想法，要求用明確、規范的語言將其寫出來。（教師讓兩位名同學作板演，然后巡視其他同學，看思路把握住沒有，書寫是否規范。有一名學生問：若作a=ecf，

5、則證不出b=eca（如圖1-3）， 圖1-3師說：是的，這時不能運用平行線的性質。那能不能再想另一種移角的途徑？學生思考了一會，高興的說：老師我做出來了，作b=ecf就證出來了。示意該生板演）生：（板演）做b=ecf，則ce/ab a=ace a+b+c =ace +ecf +acb =180o 點評：學生圍繞著如何用學過的知識來證明三角形內角和定理，此活動是以學生的主動參與及相互影響下展開的。學生在證明過程中的不同思路，豐富了學生數學活動的經驗。（問題補充）師：對于這個問題，應該加某個條件使問題更加嚴密。大家可以在組內交流（學生開始討論）生1組：開頭加上“作bc的延長線cf”，“在abc的外

6、部”這句話不能少，因為內錯角是在截線的兩旁的。師：大家贊同他們的觀點嗎？生：贊同！生2組：在每步后面加上理由，如在的后面加上，同位角相等，兩條直線平行；在的后面加上理由：兩直線平行，內錯角相等。師：大家說這個條件加得好不好？生（眾）：非常好！生3組：在的后面加上，等量代換。生5組：在的后面加上，平角的定義。師：（總結）上面的同學把這些條件加上之后，使問題更加嚴密了。那么，這條定理要證3個量的和，我們取定一個量（）之后，就轉化為兩個量之和a+b=acf。再從acf中截取b=ecf，問題就轉化為證明兩個角相等a=ace。這當中，我們延長了bc，又作了ec。這兩條線（ce、cf），都是題目中沒有的，

7、是我們在原來圖形上添畫的線，叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。“怎樣作輔助線”是幾何學習中的一個難點，今天是第一次“亮相”。點評：教師引導學生在組內交流，學生圍繞著補充說明展開討論，在小組交流中每個學生提出了自己的思考，學生通過小組交流補充和完善了各自的想法，從而使以小組為單位的學生在班級交流中展示了四種正確的補充方案，使得每一位學生在交流中相互啟發、相互影響、相互作用。師：還有其他的證明方法嗎？生2組：過點c作一個平角，然后用內錯角相等，把a、b都平移到平角上。為了省事，我過c作ef/ab，則由“兩直線平行，內錯角相等”便有（圖1-4）圖1-4a=ace，b=bcf，相加就得出了

8、證明。師：這是個好主意，你是怎么想到的呢？生：以前做過類似圖1-4的作業，知道會得出內錯角相等，計算過3個角之和等于180o。師：非常好！當然，也可以為此作，然后反向延長ec來證明，區別是少用一次平行線的性質定理，多用一次平行線的判定定理。與1-3相比較，圖1-4可以認為是平角bce繞點c作了旋轉，使ce與cf重合。（突然一生舉手，似靈機一動，我示意他發言）生：老師我從你的分析，想到了還可以這樣證明，將圖1-3中點c引出的4條射線沿cb方向平移，得出圖1-5來證明。師：這位同學的知識遷移能力很強，圖形的平移和旋轉都是圖形的變換，實在是太棒了。將平角的頂點從角上移到了邊上。那你能給出證明嗎？（學

9、生自己說不下去了）師：沒關系，你給我們指出了另一種證明三角形的內角和定理的方法。我們一起來解決這個問題。好，誰能來證一下。生：過bc上一點m作ab和ac的平行線，分別交ac，ab于p、q，分別證明，由平角的定義，可得三角形的內角和為180o。（圖1-5）圖1-5師：很好，思維能力很強。幾位同學的證明思路清晰，證明簡潔，充分體現了數學的簡單美、和諧美與統一美。大家想了很多證明定理的方法，共同點是作兩條射線，將3個分散的角集中到平角上。關于定理的證明，大家還有什么要說的？點評：這個活動是學生創新的過程，又是學生思維展示的過程。這是教師引導學生張揚個性的過程，學生再次創新的過程。一生：老師，剛剛同學

10、的證明將平角的頂點從三角形的頂點移到邊上，那能否將頂點移到三角形的內部和外部呢？師：好。按空間順序來，從內部到邊上到頂點到外部。“千古數學一大猜。沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發現”（華羅庚語）。猜想總是正確的嗎？眾生答：不是！師：好！接下來請大家組內討論、交流，依次解決這2個問題，最后我們交流探索的成果。（教師巡視，讓兩個小組同學的證明加以整理，用投影展示，讓同學們分享。）aanbcts圖1-7dqrmnbcts圖1-6dqrm組1（理由略）：如圖1-6，過abc內一點d，作ac的平行線st交ab、bc邊于s、t，作bc的平行線qr交ab、ac邊于q、r，作ab邊的平行線mn交ac、bc邊于

11、n、m。mn/ab b=nmt qr/bc nmt=ndr b=ndr。同理，可得c=sdq，a=mdt。又mdt=sdn .a+b+c=mdt+ndr+sdq=sdn +ndr+sdq=180o組2：如圖1-7，過點d作ac平行線st交ab于t，作bc的平行線qr交ac于r，作ab的平行線mn。ac/st a=sta ab/mn sta=sdn a=sdn同理，b=qdm，c=rdt sdn=mdt a+b+c=sdn+qdn+rdt=mdt+qdn+rdt=180o點評：學生在同伴的啟發下，從平角頂點的位置移動，想出了兩種新的證明方法。教學活動的展開是在學生主動尋找，師生相互啟發、相互影響

12、下學生自我構建證明的過程。師：同學們還有其他的證明方法嗎？一生：老師，我這樣證明可以嗎。我想，前面我們證明定理用了“兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等。”那能用“兩直線平行，同旁內角互補”嗎？我想了想：可以。這時，移一個角就夠了。如圖1-8，在abc的外部，以ac為一邊，作。則ab/ce（內錯角相等，兩直線平行）。 =（等量代換） =180o（兩直線平行，同旁內角互補）。 圖1-8另一生：我的是反過來，過點c作ab的平行線ce，則，b+bce=180o =ace+acb+b=b+bce=180o，師：兩位同學獨辟蹊徑，靈活運用平行線知識解決了問題。點評：教學圍繞更簡單的方法又一次展

13、開了教學活動，提出問題的學生暴露了自己的思維過程，給另一個學生新的啟發，因此另一個學生用逆推的思想導出了新的證明方法，學生在這一創新的環境中生成了新的學習內容。二案例分析：本教學案例充分展現了“情境探索交流”這一教學模式，這是新課標理念指導下的數學活動課的嘗試。雖然其中還有許多環節需要一步改進完善，但其較為真實地反映了目前數學課堂教學的一些情況。本教學案例主要體現了以下幾點：1促進了學生動手實踐、自主探索與合作交流本教學案例沒有像往常幾何教學那樣直接給出解決問題的方法，然后再讓學生加以證明；而是突出學生的主體性,使學生通過對直觀圖形的觀察、得出策略，自己去發現尋找解決問題的策略，在對這些結論檢

14、驗時，采用了合作交流的方式。學生們在自主探索、親身實踐、合作交流的氛圍中，解除困惑，更清楚地明確自己解決問題的思路，并有機會分享他人的想法，學生們在親身體驗和交流中尋求證明三角形內角和定理的多種策略，解決所提出的問題，在交流和理解中掌握基本圖形中所涉及的基本數學知識、技能和方法，數學學習變成了學生的主體性、能動性、獨立性不斷生成，張揚和發展、提升的過程，這一點與新課標所倡導的理念非常相符。新課標指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”。在本教學過程中學生是在愉悅、和諧的氣

15、氛中度過的，并且自始自終處于主體地位，他們的興趣與動機，意志與自信，情感與態度都得到了很好的發展。2培養了學生的問題意識本教學案例創設了開放的教學情境，以提出問題和解決問題為中心，注意學生自主探索與合作交流、重視數學聯系與知識建構，充分關注學生數學學習中的情感與態度，通過創設問題情境，引起學生學習數學的興趣，啟發思維，激起學生的好奇心、發現欲，誘發質疑、猜想，讓學生在有效的數學思考時間和空間內形成和發展問題意識，提出問題；而且本案例中，教師注重培養學生發現、提出問題的思想方法合情推理，主要是利用一般化、特殊化、類比和歸納等猜想、質疑和提問。在整個教學過程中，學生始終帶著問題自主探索，并在探索過

16、程中進一步提出問題，分析問題，最后解決問題。通過生生、師生之間的合作交流，突出了教學重點，突破教學難點，達到教學目標。正如新課標指出：要讓學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步演澤推理能力，初步學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題”。問題意識的培養不僅有利于學生的學習方式從接受式向活動式，從模仿性向探究性轉變，而且有利于學生主動建構數學知識的意義。3轉變了教師的角色與傳統教學不同，在本教學案例中教師已由課堂單一的數學知識傳授者的角色向數學學習活動的組織者、引導者和合作者轉變。無論從問題情境的創設，合作小組的組成、探索成果的交流

17、，教師都經過了精心設計，組織學生營造和保持學習過程中積極的心理氛圍，活潑的參與氣氛，真正成為學生學習的引導者和合作者，引導學生經歷“數學化”，“做數學”“用數學”的過程，與學生平等地交流；當學生陷入困惑，思路受阻時給以恰到好處的點撥，搭建“腳手架”使學生將面前的問題與自己原有的知識經驗之間建立聯系，解決問題。在師生的合作交流下，共同歸納問題，看透問題的本質，教師為學生營造了一個激勵探索和理解的氣氛，提供小組內、小組間合作、討論、交流的模式。在成果交流中，教師積極引導學生表達所發現的數學規律，表達發現的過程，將成果與同學分享、交流，在為同學解決疑惑中增強自信，進一步探索問題，解決問題，使整個學習

18、過程充滿挑戰。當然，對于學生認識不深刻的問題，教師根據學生的認知水平，適時引導，與他們合作交流，達到基本目標。這也正是新課標所倡導的“學生是學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者”，教師在整個教學過程中一直與學生保持平等關系，讓學生在平等、尊重、信任、理解和寬容氛圍中受到激勵和鼓舞，得到指導和建議。三存在的不足1學生的參與性還不夠標準明確指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”因此在本節課的教學中，我適當采用了這種新的學習方式，從學生的發言積極性、討論的熱烈度、所得結論的多樣性等來看，他們實實在在地進行著觀察、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，這對提高學生從事數學活動的能力，促進自身的整體發展有著很大的幫助。但在欣喜之余也存在很多擔憂，可以說學習困難生的參與是不積極的，往往出現“能者多勞”的現象，這樣會導致兩極分化。如何讓弱勢群體的學習變得更主動，是我面臨的一個較大的也急需解決的難題。2在教學中更需要循序漸進培養學生應用數學的意識和提高解決問題的能力應該是一個漸進的、長期的過程。因此教學中教師需要