1、飛行力學大作業1理論推導方程在平面地球假設下，推導飛機質心在體軸系下的動力學方。質心慣性加速度的基本方程是式 （5.1.7），其中動點就是在轉動參考系 Fe中的Oy。這樣r質心相對 于地球的速度，已用 VE來表示。這里假設地軸固定于慣性空間，且4 =0。因此，Fe的原點的加速度ao就是與地球轉動有關的向心加速度。數值比較表明，這一加速度和g相比通常可以略去。而對于式（5.1.7）中的向心加速度項f 的情況也是一樣的，也通常省略。在式（5.1.7）中剩下的兩項中r=vE，而哥氏加速度為2：tEVE。后者取決于飛行器速度的大小和方向，并且在軌道速度時至多為10%g。當然在更高速度時可能更大。所以保

2、留此項。最后質心的加速度可以簡化為如下形式：aCE =VeE 2wEvEe有坐標轉換知：a。廠 Lbe3c Lbe VeE 2 話VeE 二 LbeVeE 2LbVeE二 VbE 飛-童 VbE 2 器VbE =VbE 帖）bVbE體軸系中的力方程為：f=m aCB而f=AB+mg+T設飛機的迎角為-：s，側滑角為：，則體軸系的氣動力表示為:&一 -Dcos ： cos :|Ay =LbwAw =Ly（a）LZ（-B） Y = | sinB JA_-L _ 卡in a cos P-cos ： sin :cos : sin asin :-sin- D0|-Ccos a-L重力在牽連垂直坐標系下為

3、:_01 gv = |0設發動機的安裝角為，發動機的推力在機體坐標系的表示如下:I T cos - 10 -T sin t J由坐標轉換可知-sin 二 |mgB= mLBvgv =mg sin cosTcos cos 6所以由上述公式可知: sin vXmg sincos日 + Y = m aCB = m +(綁 +臚)bv cos cos 日Z其中:(13)ulVbE 二-LbwPsin :i a cos :Vcos ： cos0 = !0sincos： sin -cos :-sin a sin :-BEpE!eqBeJb 一(9)帶入原方程,可得其質心的動力學方程:Pl sin P-si

4、n ： V cos： cos0 =L0?incos aVa cos :(8)q)w-(r r)vAx T cos - mgsin -mU (qfAy mgcossin = mV (r/ r)u(pE p)wAz -T sinmgcos寸 cos* =mW (pE p)v _(q： q)u(10)(2)飛機的轉動動力學方程:由(11)且h| =R| R, dm= Lib (RbRb)(12)由坐標變換知道：hB = Lbi h| 二.Lbi R| L|b R dm . Lbi R| L ib N b RBdm由書上的(4.7, 4)的規則知道:(19)(14)hp 二 RBRBdm RBRBdm

5、(15)因為飛機一般認為是剛體飛機，故其變形分量一般認為為0,所以:h-RB*BRsdm = - RbRb；：Bdm = b；：；bxyI xy一 I zx1 xy-Iyz(16)=I-IyzzxyI xy-I-Izxyzzx-Iyzzyz=0(17)(18)L = Ixp-IzQ pq)-(Iy-Iz)qr-r、h； q、h； M =Iyd- Izx(r2 -p2)-(Iz - Ix)rp廣hx- p，h；n = izr - Jx(p -qr) -億 - Iy)pq- q h；hy考慮發動機轉子的轉動慣量，可得hrr rhBB BhB 二Rb “BRBdm、hp = b b hB可知在體軸系

6、下的各轉矩為:GB = LB|G| 二 hBVBh訂B7 冷Bvx-Ixy-Izxpl-Jl-xyzxI -Iyyz-IIyzzq_r_iq-po-ro pX y yJ I J一們0 1-sin 0=0j3 =cosk2 =cossin -0 一-sin 0 _COS0 cos _再根據歐拉角的矩陣變化知e均予忽略時，則i(24)0cossinP，Q，R=p ,q ,r,即Fb相對于F|的角速度，方程可寫成如下形式:-sin日門1cos sincosB cos%(25)0-rql5+r0pl_pLY|P0rrL rr7 rrL -rteL(3)VV =Lvb(Vb+WB)(21)ul-wJVb

7、 =vWb = 1wyiw 一-Wz 一(22)Xe =(u WJcos rcos -(v Wy)(sin sin vcoscos sin- ) (w Wz)(cos sinv cos -sin sin-)Ve =(uW)cosin 亠(vWy)(sinsinsin-cos cos-) (w W,)(cossinvsin一sincos-)(23)Ze = (u WX)sin(v Wy)cos wcos cos(4)由公式，- .V = i 1 j3寸 k21通過求逆，知:111sin tan -cossin sec-cos tan =P-sin $Qcossec JlrJ(26)（5）當無風和

8、具有對稱面的剛體飛機，其六自由度運動方程為: 質心動力學方程：(28)A T cos. -mgsin v - mu (q： q)w -(rf r)vAy mgcos sin 二 mV (rf r)u _(p： p)wA -Tsin . mgcoscos = mW (p： p)v_(q： q)u若忽略地球的自轉則可得：A Tcos，, -mgsin v - mU qw-rvAy mgcossin 二 mV ru -pwAz -T sinmg cos j cos = mw pv-qu繞質心轉動的動力學方：由于具有對稱面，且可以忽略-：B有：Ixy = Iyz=0根據(2)推出其簡化的動力學方程為：

9、L =lxp m pq) -(ly -lz)qrM =lyqJzx(r - p?) -(I z - Ix)rpN 二擁-Izx(p-qr) -(Ix -Iy)pq質心運動學方程：根據-3)可知，xE =(u亠Wu Xw w Xq q X ：tX :e mgicosVodt-J.m( Vr)二Yv v Yp p r Ya、a Yr、r mg ： cos%dt(60)x - o - z平面m(dw -Vq)二 Zu :u Zw w Z戯 Zq q Z 咕 -t 飛 mg ：入 dtev Lp p Lr r L a a LI 蟲_l (丄)=Llxdt lxz(dt) Lvw M M q q M .

10、 ： T - T M ，e 、eI y 屯二 M u u Mwdtdr dpv Np p Nr r N、a a N、r、rI l () = nlzdt lxz(dt) Nv上述為簡化了的常系數線性微分方程，飛機外形和內部質量分布關于 對稱，且有基準運動的左右對稱性，將擾動量分為對稱和非對稱兩類。 迎角，前進速度, 俯仰角速度等變化時，沒有破壞飛機氣流的對稱性，是對稱的參數，這些參數變化引起 的氣動力和力矩。且縱向平面內的力合力矩在基準點對非對稱運動參數的一階導數必為 零。由此進一步對上述常微分方程進行簡化，可以將方程組分為互不相關的兩組方程。 即縱向擾動方程和橫側向擾動運動方程。縱向擾動運動方

11、程:d - um( ) = Xu 二u Xw w Xq q X二:二 t二 e mg 門 cost。dwm(Vq)二 Zu：uZwwZw&Zq q Z ：T .、丁 Z.：、飛mg. c sin“(61)dtdq-I y M u =u M w w M 做 M q q M T = .： T M . e ：、e橫側向擾動運動方程：dvm(Vr) =Yv v Yp p Yr r 丫 a 丫、r mg cos，。dt吩-|靖drdplzlxz( Nv v Npdtdt幾何關系補充方程：d Td . :q,p,rdtdtdt將上述縱向擾動運動方程轉化成狀態方程形式：-=Lv v Lp pLr r L a

12、 、a L .Nr r(62)(63)-G&G&mZu m -Z* ZuM+Iy (m-ZRIyXwmZwm-Z*M-0-X邂mZ街+mZw&Z爸ly(m -Z) 1-0縱向輸出方程為：f10 0w0 1 0q0 0 110 0 0Mw .ly (m-ZRIy0X emZe.m Z收. Z ：el y (m -Z) l y00 u001將上述橫向擾動運動方程轉化成狀態方程形式:MgXqmmWZqm-Z*M qmVo Zqly (m-ZQIy1-mg sin 0m -Z*M wmgsinqly(m-ZQ0ulw(65)(66)YvYpYrmu0&|&IzLv.IzxNvIxlz-lzx2Ixlz

13、-lzx2I zxLvIxNvI I -1 2x z zx0| | _| 2z zxm丨 Z L p * l zx N pI I -I 2 I I -I 2 z zxx z zxl zxLpI I -I 2z zxIxN1P-l 2zxl zLr+ l zxNrl l -l 2 l l - l 2z zxx z zxl zxLrl xN r2 2I I -I 2 I I -I 2x z zxx z zxtan厲geos 日 0vlYaYr.mH +I I -I 2 I I -I 2 z zxx z zxlzxNam局 +I I -I 2 I I -1 2 z zxx1 z zxI,IzxLgI

14、xN.Hzzx2l l -l 2z zxZ IN,Ixlz Izx2Ixlzlzx2-aXr-橫向輸出方程為:Ipr100衛0 01 00 10 00門1(67)2飛機的模態特征本次我的作業為狀態 13,高度為10000m,速度為240m/s。通過計算所得的配平的迎角，升降舵偏 角和發動機推力為：:-=2.8304、廠-0.5319Throtte=0.32852.1飛機的縱向模態特性通過計算可得飛機的縱向小擾動矩陣 A、B為計算得:-0.0042-0.08160.0321-0.53900232.2048-9.7880-0.4842A =00.0029-0.60930001.00000 一845

15、.35110.00370-0.2707B = 丨00.1564.00 一計算A的特征值和特征向量與特征值，計算結果如下：模態 1: -1.4016;模態 2: -0.0076 0791i模態 3: 0.2644通過計算矩陣A的特征值可以得出飛機有三種模態，其中第一、二模態為收斂的模態，模態一為指數收斂的模態，模態 2為周期長，衰減慢的振蕩模模態。模態3為指數發散的短周期模態。2.2飛機的橫航向模態特性計算A的特征值和特征向量與特征值，計算結果如下:_-0.1701-0.0211-239.37119.788-0.0721-1.97340.366600.0171-0.0212-0.25540-01

16、0.04950 一-0.03740.1021 1-12.24123.2371-0.5234-1.5471-00 一B 二計算得：A二模態模態2： -2.1043 （滾轉模態）模態3： -0.0112（螺旋模態）1： -0.1417 0808i （緩慢發散的荷蘭滾模態）通過以上計算分析知道，飛機具有三個模態，其中一個為衰減很快的單調模態，其 半衰期很短，對應于大負值特征根，一般稱為滾轉收斂模態，另一個單調變化模態對應 于離遠點很近的特征根，這里表現為很緩慢的發散，稱為螺旋模態；一對共軛復特征根 對應于頻率較快、中等阻尼的周期振蕩運動，稱為荷蘭滾。滾轉收斂模態主要表現為擾動恢復初期滾轉角速度的迅速

17、衰減變化，而偏航角額側滑角等的變化很小。螺旋模態主要表現為擾動后期的滾轉角的變化，即帶滾轉、幾乎無 側滑的緩慢的偏航運動。荷蘭滾模態主要表現為擾動中期，飛機來回滾轉和左右偏航并 同時伴隨著側滑振蕩。3. 飛機的縱向操縱響應3.1對升降舵偏角的時域響應（全量方程）飛機的發散是很快的，在響應到1.5s時，飛機的迎角已經超過老師給定的迎角對應的數值，且出現了突然的跳變，所以，選取迎角在-10度以內的全量方程響應。3.2對升降舵1 偏角的時域響應（小擾動方程）dualpha6：3 1Q 121416 1B 2DiimiH 尊dtholag 3 W 121416 1B 2D4. 飛機的橫航向操縱響應4.

18、1對副翼1 偏角的響應（全量方程）nhmR園這幾個量可以看出狀態量開始有一定的振蕩趨勢，但也很快趨于發散。4.2對副翼1 偏角的響應（小擾動方程）站ia35s?252Q151a百 Dma ia 1214 is ib 20_MT=dD 24 g 310121416 1B 20iimiH 邛1在響應初始（02s內），全量方程仿真的結果同小擾動仿真結果大體相同。對升 降舵階躍輸入，迎角等響應均為單調發散。 對于副翼階躍輸入，側滑角等響應均呈現出 振蕩。2對于升降舵階躍輸入響應，整個過程全量方程仿真同縱向小擾動方程仿真結果趨 勢大體相同，都呈單調發散趨勢，但全量方程仿真結果發散速度明顯比小擾動仿真慢。3對于副翼階躍輸入響應，全量方程仿真結果同小擾動仿真結果則有很大不同，由于橫縱向耦合， 飛機最終呈一邊俯沖一邊滾轉的運動狀態， 而小擾動仿真結果為橫向的 振蕩發散。5. 總結由于飛機在配平狀態附近是靜不穩定的，所以一旦飛行狀態有擾動（如控制面偏 轉），其運動模式就會很快地進入發散模態。這樣，各狀態量會大幅度變化，小擾動方 程也不再適用。 最終縱向上的全量方程和小擾動線化方程的計算結果自然相差很大。 而 在全量方程中，