1、計算方法試題一. 簡述解線性代數方程組的直接法和迭代法的基本思想和解法種類。二. 使用矩陣的三角分解法，求解線性方程組 :x1 2x2 3x3 82x1 5x2 2x3 143x1 x2 5x3 10三 .用 Gauss消去法求下列方程組的解 .x 1 2x2 x3 02x 1 2x2 3x3 3- x 1 3x2 2x3 5 四.（1）給定線性方程組2x 1 x2 x3 1x 1 x2 x3 1x 1 x2 2x3 1證明：它用 Jacobi 迭代法求解時發散，而用 Gauss-seidel迭代方法求解時收斂， 并說明 Jacobi 迭代法求解時發散的含義。 矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。（2）設給

2、定線性方程組：x1 2x2 2x3 1 x1 x2 x3 2 2x1 2x2 x3 31） 討論 Jacobi 迭代法與 Gauss-Seidel 迭代法的收斂性。2） 對收斂的方法，取初值 x 1,0,0 ，迭代兩次，求出 x ,x 。 五.能否用迭代法求解下列方程，如不能時，請將方程改寫成能用迭代格式求解 的形式：sin x cos2x 2 1（ 1） xx （ , ） （2） x2x 1.2,24 x 1（3） x lnx x 0.5,1（4） x 4 2x x 0, 2 六 .已知函數 y f x 的數據如下：f 0 2, f 1 3, f 2 12 ， f 5 147 ，求 y f

3、x 的三次 Lagrange 插值多項式，并寫出截斷誤差表達式。七.設 x0,x1,x2, , xn是互不相同的節點， li（x） 是插值基函數，求證：對任何K=0,1,2, ,n下式成立：n kk(1) i 0 xi li (x) x ；nk(2) (xi x) li (x) 0i0八.已知觀察數據為x 1 3 4 5 6 7 8 9 10y 2 7 8 10 11 11 10 9 8求最小二乘擬合函數 p(x) c0 c1x c2x 。九.在區間 0,1 上，求關于權函數x x 正交的多項式 g0 x ,g1 x ,g2 x 。十.設對于非線性方程 f(x) 0等價的迭代方程 x g(x)

4、在其根 x*附近有 n階導 數，且 g(n)(x*) 1，則當 g(k)(x*) 0,(k 1,2, ,n 1)，而 g(n)(x*) 0時，迭代 格式 xk 1 g(xk) 是n階收斂的。十一. 試證差商的對稱性質： 在k階差商 f x0,x1,x2, ,xk 中，任意調換節點 xi和 xj 的次序，其值不變，即f x0,x1, ,xi, ,xj, ,xkf x0,x1, ,xj , ,xi, ,xk十二. 求一個次數不超過四的多項式 p(x) ， 使它滿足 p(0) p(0) 0 ， p(1) p (1) 1， p(2) 1 ，并寫出其誤差表達式。十三.若 f (x)在 a,b上有三階連續

5、導數， 且已知 f(x)在a,b上兩個互異點 x0,x1 上的函數值 f(x0)， f (x1)和一階導數值 f (x0 ) ，試用插值導出 f (x)的表達式為2f(x) (x x1)(x2x20x1) f(x0)(x x0)(xx1)f (x0)(xx0)22f(x1)R(x)(x1x0) x1 x0(x1x0)其中 R(x) 1(x x0)2(x x1) f ( ), (a,b)6十四. 求滿足條件xi12yi23yi1-1的埃爾米特( Hermite )插值多項式 . 十五. 求解下列各題。1已知數據為xi-3-2-10123yi1000012使用二次多項式擬合2給定經驗數據xi1.0

6、01.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46試用形如 y aebx ( a,b為常數 a 0 )的經驗公式來擬合 十七.已知 y f ( x)的函數值如下x0125y2312147求 Lagrange 插值多項式，寫出截斷誤差表示式 . 十八求一個次數不高于 3 的多項式 P3(x) ,滿足下列插值條件：xi123yi2412yi3為求得 P3(x) ，根據插值條件知， P3(x) 應具有的形式：并估計插值誤差。解：設P3(x)滿足P2(1)P22,P2( 則 2P2(x) 3x2 7x 6, 。P3(x) P2(x) K(x 1)(x 2)(x 3)這樣的

7、P3(x) 自然滿足 P3(xi) yi (i 0,1,2) 。為確定待定系數 K, 可用條件 P3(2) 3P3(2) P2(2) K(2 2)(2 3) (2 1)(2 3) (2 1)(2 2)P2(2) K 3 。P2(2) 5故有 K 2最后得：P3(x) P2(x) 2(x 1)(x 2)(x 3) 2x3 9x2 15x 6十九求一個次數不高于 4 多項式 P4 (x)，使它滿足 P4(0) P4 (0) 0, P4 (1) P4(1) 1,P4(2) 1.。解：先求滿足 P2(0) 0, P2 (1) 1,P2(2) 1,的插值多項式 P2(x)，易得P2(x)12 x2設 P

8、4(x) P2(x) (Ax B)(x 0)(x 1)(x 2)顯然 P4( x)滿足的 P2(x) 插值條件，利用兩個導數條件確定系數A,BP4 (0) 3 2B 0 12 1P4(1)(A B) 12解得故3B1AP4(x)12x21(x 3)x (x 1)(x 2)422x2(x 3)2二十 設 l0 (x) 是以 x0,x1,x2, ,xn, 為插值點插值基函數：l0(x)(x x1)(x x2) (x xn)(x0 x1)(x0 x2) (x0 xn)試證明：l0(x) 1(x x0 )(x0 x1)(xx0)(xx1)(xx0)(xx1)(x xn 1)(x0x1)(x0x2 )(

9、x0x1)(x0x2)(x0 xn )證：l0(x)(x x1 )(x x2 )( x xn)(x0 x1)( x0 x2) (x0 xn )(x x1)(x x2) (x x0) (x xn)(x0 x1)(x0 x2) (x0 xn )(x x0)(x x1) (x xn 1)(x0 x1)(x0 x2) (x0 xn)(x x0)(x x2) (x xn 1)(x0 x1)(x0 x2 ) (x0 xn)對每次這樣得到的后一項作與上面相同的運算，即可得l (x) (xx0)(xx1)(x xn1) (xx0)(xx1)(x xn 2)(x0x1)(x0x2)(x0 xn)(x0x1)(

10、x0x2)(x0 xn 1)(xx0 xx01) 1求函數arctanx 在 0,1 上的一次最佳平方逼近多項式。解： 設 0(x)， 1(x) x ，1 span 1, 2 所 求 函 數 為 1 a0 a1 x ， 則1( 0, 0) 01dx 1,( 0, 1)11 xdx ,( 1, 1 )02 0 x2dx 1,03( 0,y)1arctan xdx0( 1, y)1 ln 242121x arctan xdx4有正規方程組1a0a 1211a0a2 0 31ln 242142a0 3 2ln 2 0.042909022解得 a 1 6 3ln 2 0.791831131 0.042

11、909 0.791831x2 二十二求 a,b 使 ax b sin x2 dx達到最小值。sin x的最佳平方逼近多項式，故 b( 0,0)a( 0,1)(0,sin x)b( 1,0)a( 1,2)(1,sin x)解：由于題中積分最小，實際上是 0,2 上求 (x) b ax span 1,x ，使其成為b, a 滿足正規方程組實際計算有( 0, 0) ,( 0, 1)282 ,( 1, 1) 13 2( 0,sin x) 1,(1,sin x) 12b a 1故有2823b a 18 24解得 a 0.6644389, b 0.1147707二十三、數值積分1. 試述代數精度的概念，

12、確定下列求積公式中的待定參數， 使其代數精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數精度： 聞創溝燴鐺險愛氌譴凈。h(1) h f (x)dx A0 f ( h) A1 f(0) A2 f (h)11(2) 1 f (x)dx 13 f( 1) 2f(x1) 3f(x2)32h(3) 0 f( x) dx 0A (f0 ) 1 A f( )h 2 A (f2 h)二十四 . 推導下列三種矩形求積公式：b 1 21. f (x)dx (b a)f (a) f ( )(b a)2(左矩形公式)a2 b12. f (x)dx (b a)f (b) f ( )(b a)2(右矩形公式)a2b a b 13. f (x)dx (b a) f ( ) f ( )(b a)2(中矩形公式)a 2 24二十五用三點數值微分公式求函數f (x)12(1 x)2在 x 1.0,x 1.1,x 1.2 出的導數值， f (x) 的函數值由下表給出：xi101.11.2f(xi