1、煙 臺 大 學 畢 業 論 文（設 計）函數極限的求法申請學位： 理學學士 院 系： 數學與信息科學學院 專 業： 信息與計算科學 姓 名： 學 號： 201063502139 指導老師： 2014年 5月 29 日 煙臺大學 煙臺大學畢業論文（設計）任務書院（系）：數學與信息科學學院姓名廖春華學號201063502139畢業屆別2014專業信息與計算科學畢業論文（設計）題目函數極限的求法指導教師郭常忠學歷博士研究生職稱副教授所學專業應用數學具體要求(主要內容、基本要求、主要參考資料等)：課題研究的目的和意義：在自然科學中、工程技術，甚至某些社會科學中，函數是被廣泛應用的數學概念，從小學開始我

2、們就已經接觸到了函數，函數貫穿了我們整個的學習時段。既然函數在數學學習中處于核心地位，那么我們用什么方法來研究函數呢？這個方法就是極限。無論是再中學數學還是在大學數學中，極限的概念和思想都非常重要，從量變中認識質變，都要用到極限。我們還能夠通過極限研究函數的連續性、可導性、收斂性等概念。因此極限概念是研究函數的重要概念，具有一定的理論意義和現實意義。首先，本篇論文總結了所有求函數的極限方法，幫助學生理解和掌握極限概念，牢固地掌握求極限的方法，并把極限的思想運用到更廣泛的區域。其次，在進行函數極限求解的過程中，巧妙地運用了數學中相關的理論知識，達到鞏固、復習的目的，培養學生一題多解的思維能力。第

3、三，運用極限的思想能夠解一些我們不能精確計算的結果。第四，通過本課題的研究，培養了自身的探究精神，提高了自身的科學素養和實踐操作能力。主要內容：關于函數極限的若干求法主要參考資料：歐陽光中：朱學炎.金福臨.陳傳璋.數學分析.復旦大學數學系.高等教育出版社.2007劉書田：高等數學.北京大學出版社.2005進度安排：第一階段，4月8 日4月19日 收集資料，查閱文獻第二階段，4月20日4月30日 參考資料，完成初稿第三階段，5月1 日5月15日 修改、校正正文第四階段，5月16日5月29日 檢查、整理全文 定稿 指導教師（簽字）： 年 月 日院（系）意見： 教學院長（主任）（簽字）： 年 月 日

4、備注：函數極限的定義性質及作用在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數除以的麻煩，而引入了一個過程任意小量。就是說，除數不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在的區間內，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數你可以認為這是投機取巧，但是，他的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能，這個概念是成功的。限的概念是高等數學中最基本最重要的概念，它是由于求某些實際問題的精確解答而產生的. 例如：我國古代數學家劉徽（公元三世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術，就是極限思想在幾何上的應用.數列極限標準定義：對數列，若存在常數，對于任意，

5、總存在正整數，使得當時，成立，那么稱是數列的極限。函數極限標準定義：設函數大于某一正數時有定義，若存在常數，對于任意，總存在正整數，使得當時，成立，那么稱是函數在無窮大處的極限。設函數在處的某一去心鄰域內有定義，若存在常數，對于任意，總存在正數，使得當時，成立，那么稱是函數在處的極限。函數極限具有的性質：性質 1（唯一性） 如果存在，則必定唯一性質 2（局部有界性） 若存在，則在的某空心鄰域內有界性質 3（保序性） 設性質4（迫斂性）設，且在某內有，則.數學分析的主要任務是研究函數的各種性態以及函數值的計算或近似計算，主要內容是微積分，在微積分中幾乎所有的基本概念都是用極限來定義的。可以說，沒

6、有極限理論就沒有微積分。二、函數極限的計算及多種求法極限一直是數學分析中的一個重點內容，而對數列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結，我們羅列出一些常用的求法。求數列極限的最基本的方法還是利用數列極限的定義，也要注意運用兩個重要極限，其中，可以利用等量代換，展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數列，也可以利用數列極限的四則運算法則計算。夾逼性定理和單調有界原理是很重要的定理，在求的時候要重點注意運用。洛必達法則、黎曼引理是針對某些特殊的數列而言的。1.定義法利用數列極限的定義求出數列的極限.設是一個數列,是實數,如果對任意給定的,總存在一個正整數，當時,都有,我們就稱是數列的極限.記為

7、.例1: 按定義證明.解: 令,則讓即可,存在,當時,不等式: 成立,所以2.利用極限四則運算法則應用數列或函數極限的四則運算法則,其前提條件是參加運算的數列或函數首先是收斂數列或函數,其次在做除法運算時,要求必先使分母的極限不為0,因此,為了利用四則運算定理計算數列或函數極限成為收斂數列或函數,需以原分子、原分母中隨n或x增大最快的項除分子、分母,使恒等變形后的分子、分母為滿足數列或函數極限四則運算定理條件的收斂數列或函數,值得我們注意的是在應用數列或函數極限的四則運算前,先把所給的商式消去分子分母的公共零因子。例2: 求,其中.解: 分子分母均為無窮多項的和,應分別求和,再用四則運算法則求

8、極限,原式 3.利用夾逼性定理求極限當極限不易直接求出時, 可考慮將求極限的變量作適當的放大和縮小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。例3:求的極限。解: 對任意正整數n,顯然有 , 而,由夾逼性定理得 4.利用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現。利用這兩個重要極限來求函數的極限時要仔細觀察所給的函數形式只有形式符合或經過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數法。例

9、4：求極限【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數部分。解：5.利迫斂性來求極限設,且在某內有,則例5：求的極限解：. 且由迫斂性知 做此類型題目的關鍵在于找出大于已知函數的函數和小于已知函數的函數，并且所找出的兩個函數必須要收斂于同一個極限。6.用洛必達法則求極限 洛必達法則為：假設當自變量趨近于某一定值（或無窮大）時，函數和滿足：和的極限都是或都是無窮大；和都可導，且的導數不為；存在（或是無窮大），則極限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必達法則求極限，由于分類明確，規律性強，且可連續進行運算，可以簡化一些較復雜的函數求極限的過程，但運用時需注意條件。例6:求解:

10、 是待定型 注：運用洛比達法則應注意以下幾點1、要注意條件，也即是說，在沒有化為時不可求導。2、應用洛必達法則，要分別的求分子、分母的導數，而不是求整個分式的導數。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用洛必達法則，否則會引起錯誤。7.利用定積分求極限設函數 在區間上連續，將區間分成個子區間在每個子區任取一點，作和式（見右下圖），當時，(屬于最大的區間長度)該和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函數f(x) 在區間的定積分。要求深刻理解與熟練掌握的重點內容有：1、定積分的概念及性質。2、定積分的換元法和分部積分法，3、變上限的定積分作為其

11、上限的函數及其求導定理，牛頓（newton）萊布尼茲（leibniz）公式。要求一般理解與掌握的內容有：4、廣義積分的概念與計算。例7:求解: 設,則在內連續,所以, 所以原式難點：定積分的概念，上限函數，定積分的換元法。8.利用無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限首先, 利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量,這一方法在求極限時常常用到;再者利用等價無窮量。在求函數極限過程中,如果此函數是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時, 這個無窮小量可以用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡化。例8：求的值解：因為是無窮小量，而是有界變量，所以 還是無窮小量，即 9.利用變量替換求極限為了

12、將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可根據極限式的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。例9： 已知試證證明：令則時，于是 易知當時第二、三項趨于零，現證第四項極限亦為零。事實上，因（當時），故有界，即，使得。故10.利用遞推公式計算或證明序列求極限借助遞推公式計算或證明序列的極限，也是一種常見的方法，在這里我們需要首先驗證極限的存在性。在極限存在的前提下，根據極限的唯一性，來解出我們所需要的結果，但往往驗證極限的存在形式比較困難的，需要利用有關的不等式或實數的一些性質。例10（1）設，對，定義。證明 且時，（2）若c

13、為任意的正數。置于（1）的遞推公式中，給出，假設，則當時，解：（1）對任意的n, ，而且，因為 推得，因此，序列是單調遞增且有界，它的極限存在，設為x，從遞推公式中得到 解得，即。（2）因為且對任意的，可以在上作歸納證明，對任意的，。由知，所以序列是單調遞增的，因而極限存在，借助遞推公式可求的其極限為。11.利用等價無窮小量代換來求極限所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，記作定理：設函數在內有定義，且有1.若則2.若則證明： 可類似證明，在此就不在詳細證明了！ 由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函數的極限例11：求的極限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數的極限必

14、須熟練掌握一些常用的等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有，。另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的則得到的結果是錯誤的。小結:在求解極限的時候要特別注意無窮小等價替換,無窮小等價替換可以很好的簡化解題。12.利用函數的連續性求極限利用函數的連續性求極限包括：如函數在點連續，則 及若且f(u)在點a連續，則例7：求的極限解：由于及函數在處連續，故13.利用泰勒公式求極限由于泰勒公式的特殊形式，對于求解某些函數的極限有簡化求解過程的作用。 例13：求 解：本

15、題可用洛比達法則來求解，但是運算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，取因而求得14.利用兩個準則求極限 (1)函數極限的迫斂性（夾逼法則）：若一正整數,當時，有且則有 利用夾逼準則求極限關鍵在于從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列和，使得。例:14 求的極限解：因為單調遞減，所以存在最大項和最小項 則 又因為（2）：單調有界準則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一。 利用單調有界準則求極限，關鍵先要證明數列的存在，然后根據數列的通項遞推公式求極限。 例：15 證明下列數列的極限存在，并求極限。 證明：從這個數列構造來看 顯然是單調增加的。用歸納法可證。 又因為 所以得. 因為前面證明是單調增加的。 兩端除以得 因為則, 從而 即 是有界的。根據定理有極限，而且極限唯一。 令則 則.因為解方程得 所以15.利用級數收斂的必要條件求極限利用級數收斂的必要條件：若級數收斂，則運