1、一元一次方程的應(yīng)用1、列方程解應(yīng)用題的基本步驟和方法：步驟要求注意事項(xiàng)審題讀懂題目、弄清題意、找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系審題是分析解題的過程， 解答過程中不用 體現(xiàn)出來設(shè)元設(shè)未知數(shù)把各個(gè)量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來設(shè)未知數(shù)一般是問什么， 就直接設(shè)什么 為 x ，即直接設(shè)元 直接設(shè)元有困難時(shí)，可以間接設(shè)元列方程根據(jù)等量關(guān)系列出方程避免列出恒等式解方程解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值如果是間接設(shè)元， 求出的未知數(shù)還需要利 用其他算式得到所求的量檢驗(yàn)把方程的解代入方程檢驗(yàn)，或根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行檢驗(yàn)列一元一次方程解應(yīng)用題檢驗(yàn)的步驟在 解答過程中不用寫出來 方程的解要符合實(shí)際問題作答寫出答案，作出結(jié)論

2、這一步在列方程解應(yīng)用題中必不可少， 是 一種規(guī)范要求，不用（ 1）初中列方程解應(yīng)用題時(shí)， 怎么列簡單就怎么列 （即所列的每一個(gè)方程都直接的表示題意） 擔(dān)心未知數(shù)過多，簡化審題和列方程的步驟，把難度轉(zhuǎn)移到解方程的步驟上（2）解方程的步驟不用寫出，直接寫結(jié)果即可（ 3）設(shè)未知數(shù)時(shí)，要標(biāo)明單位，在列方程時(shí)，如果題中數(shù)據(jù)的單位不統(tǒng)一，必須把單位換算成統(tǒng)一單 位，尤其是行程問題里需要注意這個(gè)問題2、設(shè)未知數(shù)的方法：設(shè)未知數(shù)的方法一般來講，有以下幾種：（1）“直接設(shè)元” ：題目里要求的未知量是什么，就把它設(shè)為未知數(shù)，多適用于要求的未知數(shù)只有一個(gè) 的情況；（2）“間接設(shè)元” ：有些應(yīng)用題，若直接設(shè)未知數(shù)很難

3、列出方程，或者所列的方程比較復(fù)雜，可以選擇 間接設(shè)未知數(shù)，而解得的間接未知數(shù)對確定所求的量起中介作用（3）“輔助設(shè)元” ：有些應(yīng)用題不僅要直接設(shè)未知數(shù)，而且要增加輔助未知數(shù)，但這些輔助未知數(shù)本身 并不需要求出，它們的作用只是為了幫助列方程，同時(shí)為了求出真正的未知量，可以在解題時(shí)消去（4）“部分設(shè)元”與“整體設(shè)元”轉(zhuǎn)換：當(dāng)整體設(shè)元有困難時(shí)，可以考慮設(shè)其一部分為未知數(shù)，反之 亦然，如：數(shù)字問題模塊一：數(shù)字問題（1）多位數(shù)字的表示方法：1 / 12一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字分別為a、 b，（其中 a、b 均為整數(shù)， 1 a 9， 0 b 9 ）則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為 10a b 一個(gè)三位數(shù)的百位

4、數(shù)字為 a，十位數(shù)字為 b，個(gè)位數(shù)字為 c，（其中均為整數(shù)，且 1 a 9， 0 b 9 ， 0 c 9 ）則這個(gè)三位數(shù)表示為： 100a 10b c （2）奇數(shù)與偶數(shù)的表示方法：偶數(shù)可表示為2k，奇數(shù)可表示為 2k 1（其中 k 表示整數(shù)）（ 3）三個(gè)相鄰的整數(shù)的表示方法： 可設(shè)中間一個(gè)整數(shù)為 a，則這三個(gè)相鄰的整數(shù)可表示為 a 1,a,a 1 【例 1】 一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，小明認(rèn)為自己可以得滿分，不料卷子發(fā)下來一看得了96分，原來是由于粗心把一個(gè)題目的答案十位與個(gè)位數(shù)字寫顛倒了，結(jié)果自己的答案比正確答案大了 36，而正確答案的個(gè) 位數(shù)字是十位數(shù)字的 2 倍正確答案是多少 ?【解析】此題中數(shù)據(jù)

5、 96 與列方程無關(guān)與列方程有關(guān)的量就是小明粗心后所涉及的量 設(shè)正確答案的十位數(shù)字為 x ，則個(gè)位數(shù)字為 2x ， 依題意，得 （10 2x x） （10x 2x） 36 ，解之得 x 4于是 2x 8 所以正確答案應(yīng)為 48答案】 48例 2】 某年份的號碼是一個(gè)四位數(shù)， 它的千位數(shù)字是 2，如果把 2 移到個(gè)位上去， 那么所得的新四位數(shù)比 原四位數(shù)的 2 倍少 6，求這個(gè)年份解析】設(shè)這個(gè)年份的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字組成的三位數(shù)為x ，則這個(gè)四位數(shù)字可以表示為2 1000 x ，根據(jù)題意可列方程： 10x 2 2 2 1000 x 6 ，解得 x 499答案】 2499 年例 3 】

6、有一個(gè)四位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字是 8，如果將個(gè)位數(shù)字 8 調(diào)到千位上，則這個(gè)數(shù)就增加 117，求這個(gè) 四位數(shù)解析】設(shè)由原數(shù)中的千位數(shù)字、 百位數(shù)字和十位數(shù)字組成的三位數(shù)為 x，則這個(gè)四位數(shù)可以表示為 10x 8 ， 則調(diào)換后的新數(shù)可以表示為 8000 x ，根據(jù)題意可列方程 10x 8 8000 x 117 ，解得 x 875，所 以這個(gè)四位數(shù)為 8758答案】 8758例 4 】 五一放假，小明的爸爸開車帶著小明和媽媽去郊游，他們在公路上勻速行駛，下表是小明每隔1小時(shí)看到的路邊里程碑上數(shù)的信息你能確定小明在 7:00 時(shí)看到的里程碑上的數(shù)是多少嗎？時(shí)間里程碑上數(shù)的特征7:00是一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)

7、位數(shù)字與十位數(shù)字之和是 78:00十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字與 7:00 時(shí)所看到的正好顛倒了9:00比 7:00 時(shí)看到的兩位數(shù)中間多一個(gè) 0解析】設(shè)小 7:00 到 位 十明在 時(shí)看 的兩 數(shù)的 位數(shù)字 是 x ， 則 個(gè) 位 數(shù) 字 是 7 x ， 根 據(jù) 題 意 可 列 方 程2 / 12100x 7 x 10 7 x x 10 7 x x 100x 7 x ，解得 x 1，所以 7 x 6 【答案】小明在 7:00 時(shí)看到的兩位數(shù)是 16模塊二：日歷問題（ 1）、在日歷問題中，橫行相鄰兩數(shù)相差1，豎列相鄰兩數(shù)相差 7（2）、日歷中一個(gè)豎列上相鄰 3 個(gè)數(shù)的和的最小值時(shí) 24，最大值時(shí) 72，

8、且這個(gè)和一定是 3 的倍數(shù)（3）、一年中，每月的天數(shù)是有規(guī)律的，一、三、五、七、八、十、十二這七個(gè)月每月都是31 天，四、六、九、十一這四個(gè)月每月都是 30 天，二月平年 28 天，閏年 29 天，所以，日歷表中日期的取值是有 范圍的【例5】 下表是 2011年 12月的日歷表，請解答問題：在表中用形如下圖的平行四邊形框框出 4個(gè)數(shù)， （1）若框出的 4 個(gè)數(shù)的和為 74，請你通過列方程的辦法，求出它分別是哪4 天？（2）框出的 4個(gè)數(shù)的和可能是 26 嗎？為什么？解析】（1）設(shè)第一個(gè)數(shù)是 x，則根據(jù)平行四邊形框框出 4 個(gè)數(shù)得其他 3 天可分別表示為 x 1，x 6，x 7 根據(jù)題意可列方程

9、： x x 1 x 6 x 7 74 ，解得 x 15 ； 所以它分別是： 15，16， 21，22；（2）設(shè)第一個(gè)數(shù)為 x，則 4x 14 26， x 3，本月 3號是周六，由平行四邊形框框出 4個(gè)數(shù)， 得出結(jié)論：無法構(gòu)成平行四邊形答案】（1）15，16，21，22；（2）無法構(gòu)成平行四邊形例 6】 如圖，框內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和為28 ，請通過平移長方形框的方法，使框內(nèi)的數(shù)字之和為68，這樣的長方形的位置有幾個(gè)？能否使框內(nèi)的四個(gè)數(shù)字之和為49？若能，請找出這樣的位置；若不能，請說明理由解析】（1）設(shè)四個(gè)數(shù)字是 a， a 1，a 7， a 8 ，根據(jù)題意可列方程：a a 1 a 7 a 8 68

10、，解得a 13 則平移后的四個(gè)數(shù)是 13、 14、 20、 213 / 12（2）設(shè)四個(gè)數(shù)字是 x， x 1， x 7， x 8 ，則 4x 16 49 ， x 33 不合題意，舍去4答案】平移后的四個(gè)數(shù)是 13、14、20、 21，這樣的長方形的位置只有 1 個(gè)；不存在能使四個(gè)數(shù)字的和為 49 的長方形例7】 把 2012 個(gè)正整數(shù) 1， 2， 3，4， 2012 按如圖方式排列成一個(gè)表 （1）用如圖方式框住表中任意 4個(gè)數(shù)，記左上角的一個(gè)數(shù)為 x，則另三個(gè)數(shù)用含 x 的式子表示出 來，從小到大依次是 （2）由（1）中能否框住這樣的 4個(gè)數(shù)，它們的和會(huì)等于 244 嗎？若能，則求出 x的值；

11、若不能， 則說明理由解析】（ 1）記左上角的一個(gè)數(shù)為 x，另三個(gè)數(shù)用含 x 的式子表示為： x 8 ，x 16 ， x 24（2）不能假設(shè)能夠框住這樣的4個(gè)數(shù)，則： x x 8 x 16 x 24 244 ，解得 x 49 49 是第七行最后一個(gè)數(shù)，不可以用如圖方式框住【答案】（1） x 8， x 16， x 24 ；（ 2）不能模塊三：和差倍分問題和、差、倍問題關(guān)鍵要分清是幾倍多幾和幾倍少幾（ 1）當(dāng)較大量是較小量的幾倍多幾時(shí)，較大量 =較小量 倍數(shù) +多余量 ；（2）當(dāng)較大量是較小量的幾倍少幾時(shí)，較大量 =較小量 倍數(shù) -所少量 【例8】 一部拖拉機(jī)耕一片地， 第一天耕了這片地的 2 ；第

12、二天耕了剩下部分的 1，還剩下 42公頃沒耕完， 33 則這片地共有多少公頃？221【解析】設(shè)這片地共有x公頃，第一天耕了這片地的2 ，則耕地2 x公頃，第二天耕了剩下部分的1 ，則第3 331 212 1二天耕地 1 x x （公頃），根據(jù)題意可列方程： x x x 42 ，解得 x 1893393 9【答案】 189【例 9】 牧羊人趕著一群羊?qū)ふ乙粋€(gè)草長得茂盛的地方，一個(gè)過路人牽著一只肥羊從后面跟了上來，他對 牧羊人說：“你趕的這群羊大概有 100 只吧 !”牧羊人答道： “如果這群羊增加一倍，再加上原來這 群羊的一半，又加上原來這群羊一半的一半，連你這只羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿 100

13、只”問牧羊 人的這群羊共有多少只 ?11【解析】設(shè)這群羊共有 x 只，根據(jù)題意可列方程： 2x 1 x 1 x 1 100 ，解得 x 36.24【答案】 36【例 10】有粗細(xì)不同的兩支蠟燭， 細(xì)蠟燭之長時(shí)粗蠟燭之長的 2 倍，細(xì)蠟燭點(diǎn)完需 1小時(shí)，粗蠟燭點(diǎn)完需 2小4 / 12 時(shí)，有一次停電，將這樣的兩支未使用過的蠟燭同時(shí)點(diǎn)燃，來電時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩支蠟燭所剩的長度一 樣，問停電的時(shí)間有多長？【解析】設(shè)停電時(shí)間為 x 小時(shí)，粗蠟燭長 l 米，則細(xì)蠟燭長 2l 米，那么細(xì)蠟燭每小時(shí)點(diǎn)燃 2l 米，粗蠟燭沒小 時(shí)點(diǎn)燃 l 米，根據(jù)題意可列方程： 2l 2l x l l x ，解得 x 22 2 3【

14、答案】停電時(shí)間為 2 小時(shí)3【例11】2006 年我市在全國率先成為大面積實(shí)施“三免一補(bǔ)”的州市，據(jù)悉，2010年我市籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與“三免一補(bǔ)”專項(xiàng)資金 3.6 億元【由中央、省、市、縣（區(qū)）四級共同投入，其中，中央 投入的資金約 2.98 億元，市級投入的資金分別是縣（區(qū)）級、省級投入資金的1.5倍、 18 倍】，且2010 年此項(xiàng)資金比 2009 年增加 1.69 億元（1）2009 年我市籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與“三免一補(bǔ)”專項(xiàng)資金多少億元？（2）2010 年省、市、縣（區(qū)）各級投入的農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與 “三免一補(bǔ)” 專項(xiàng)資金各多少億元？（3）如果按 2009-2010 年籌措此項(xiàng)

15、資金的年平均增長率計(jì)算， 預(yù)計(jì) 2011 年，我市大約需要籌措農(nóng) 村義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)與“三免一補(bǔ)”專項(xiàng)資金多少億元（結(jié)果保留一位小數(shù)）？【解析】（ 1） 3.61 1.69 1.91 （億元）（2）設(shè)市級投入 x億元，則縣級投入 2 x億元，省級投入 1 x億元，3 182121由題意得： 2.98 x x 3.6 ，解得 x 0.36 所以 x 0.24（億元）， x 0.02（億元）3183181.69（3） 3.6 1 1.69 6.8 （億元）1.91【答案】（ 1） 1.91億元；（2）省、市、縣分別投入 0.02億元、 0.36億元、 0.24億元；（3）6.8億元模塊四：行程問題一、

16、行程問題路程=速度時(shí)間相遇路程=速度和相遇時(shí)間 追及路程 =速度差追及時(shí)間二、流水行船問題順流速度 =靜水速度 +水流速度逆流速度 =靜水速度水流速度1水流速度 = 1 （順流速度逆流速度）2三、火車過橋問題 火車過橋問題是一種特殊的行程問題，需要注意從車頭至橋起，到車尾離橋止，火車所行距離等于橋 長加上車長，列車過橋問題的基本數(shù)量關(guān)系為：車速過橋時(shí)間=車長 + 橋長【例 12】有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙背向而 行甲每分鐘走 40 米，乙每分鐘走 38 米，丙每分鐘走 36 米出發(fā)后，甲和乙相遇后 3 分鐘和丙 相遇，求花圃的周長【解析】設(shè)甲

17、、乙相遇時(shí)間為 t 分鐘，則甲、丙相遇時(shí)間為 t 3 分鐘，根據(jù)題意，由相遇路程相等可列方程t 38 36 3 40 365 / 12答案】 8892 米例 13】 某 人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30 千米，那么比火車開車時(shí)間早到 15 分鐘，若每x 小時(shí)，1518(x 15) ，解得 x 1 ，6010 分鐘到達(dá)火車站，千米 / 時(shí)）小時(shí)行 18 千米，則比火車開車時(shí)間遲到 15 分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前 則此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)為多少？ 解析】設(shè)此人從家里出發(fā)到火車開車的時(shí)間為根據(jù)題意可列方程： 30（x 15）此人打算在火車開車前 10 分鐘到達(dá)，騎摩托車的速度應(yīng)為3

18、0 (1 6150) 271 10 2760答案】 27例 14】 甲 、乙兩車同時(shí)從 A，B 兩地出發(fā)， 相向而行， 在 A，B 兩地之間不斷往返行駛 甲車到達(dá) B 地后， 在 B 地停留了 2 個(gè)小時(shí)，然后返回 A 地；乙車到達(dá) A 地后，馬上返回 B 地；兩車在返回的途中又 相遇了，相遇的地點(diǎn)距離 B 地 288 千米已知甲車的速度是每小時(shí) 60千米，乙車的速度是每小時(shí) 40 千米請問： A， B 兩地相距多少千米？解析】設(shè) A、 B兩地相距 x 千米，根據(jù)題意可列方程： 2x 288 x 288 2，解得 x 42040 60答案】 420 千米例15】某人騎自行車從 A 地先以每小時(shí)

19、 12千米的速度下坡后， 再以每小時(shí) 9千米的速度走平路到 B 地， 共用了 55 分鐘回來時(shí)，他以每小時(shí) 8 千米的速度通過平路后，再以每小時(shí) 4 千米的速度上坡， 從 B 地到 A 地共用 11 小時(shí)，問 A 、B 兩地相距多少千米？2解析】間接設(shè)未知數(shù)， 設(shè)從 A地到 B地共用 x小時(shí)，根據(jù)題意可列方程： 12t 55 t 9 3t 4 3 3t 8 ，60 2155解得 t，所以 A、B 兩地相距 12t t 9 9（千米）4 60答案】 9 千米例 16】 一 人步行從甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同樣的路程，這樣 10 天可以到達(dá)乙地；如果每天都以第

20、一天所行的相同路程步行，用 15 天才能到達(dá)乙地；如 果每天都以第一種走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要幾天？解析】設(shè) a是第一次第一天走的路程， b 是第二天起每天多走的路程， x是所求的天數(shù) 則根據(jù)題意可列方程：15a a （a b）（ a 2b）（a 3b）（a 4b）（a 5b）（ a 6b）（ a 7b）（a 8b）（a 9b）， 解得 a 9b 又 15a x a 9b ，解得 x 7.5 答案】 7.5 天例17】一只小船從甲港到乙港逆流航行需2 小時(shí)，水流速度增加一倍后， 再從甲港到乙港航行需 3小時(shí)，水流速度增加后，從乙港返回甲港需航行多少小時(shí)？解析】設(shè)小船在靜水中的速

21、度為 a ，原來的水速為 b ，則 2（a b） 3（ a 2b） ，解得 a 4b ，故所求時(shí)間為6 / 122(a b) 1 (小時(shí)) .(a 2b)【答案】 1【例 18】一個(gè)人乘木筏在河面順流而下，漂到一座橋下時(shí)此人想鍛煉一下身體，便跳入水中逆水游泳，10分鐘后轉(zhuǎn)身追趕木筏，終于在離橋 1500 米遠(yuǎn)的地方追上木筏，假設(shè)水流速度及此人游泳的速度都 一直不變，那么水流速度為多少？【解析】因?yàn)橄蛏嫌瘟?10分鐘，所以返回追趕也要 10 分鐘(流水中的相遇時(shí)間與追及時(shí)間都與水流速度無1關(guān))，即水流 20分鐘的路程為 1500 米，水流速度為 1.5 1 4.5 (千米時(shí)) 3【答案】水流速度

22、為 4.5千米/ 時(shí)【例19】一小船由 A港到 B港順流需行 6小時(shí)，由B港到A港逆流需行 8小時(shí)，一天，小船從早晨 6點(diǎn)由 A 港出發(fā)順流行至 B 港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中， 立即返回， 1 小時(shí)后找到救生圈 問： ( 1)若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需多少小時(shí)？(2)救生圈是何時(shí)掉入水中的？【解析】( 1)設(shè)小船在靜水中的速度為 a ，水流速度為 b，則6(a b) 8(a b)，解得 a 7b ，故小船按水 流速度由 A 港漂流到 B 港所需時(shí)間為 6(a b) 48 (小時(shí))；b(2)設(shè)小船行駛 x 小時(shí)后，救生圈掉入水中，則 (6 x 1)b (a b) 1 (

23、6 x)(a b) ，將 a 7b 代入上式，得到 x 5 ，故救生圈是上午 11 點(diǎn)掉入水中的【答案】 48 ； 5模塊五：工程問題工作總量 =工作時(shí)間 工作效率各部分工作量之和 =1【例20】有甲、乙、丙三個(gè)水管， 獨(dú)開甲管 5 小時(shí)可以注滿一池水； 甲、乙兩管齊開， 2小時(shí)可注滿一池水； 甲、丙兩管齊開， 3 小時(shí)注滿一池水現(xiàn)把三管一齊開，過了一段時(shí)間后甲管因故障停開，停開后 2 小時(shí)水池注滿問三管齊開了多少小時(shí)？【解析】由題意知，甲管注水效率為 1 ，甲、乙兩管的注水效率之和為 1 ，甲、丙兩管的注水效率之和為 1，523設(shè)三管齊開了 x 小時(shí)，根據(jù)題意可列方程： 1x 1 1 2 x

24、 2 1，解得 x 45 2 3 5 194【答案】 4 小時(shí)19【例 21】 檢 修一住宅區(qū)的自來水管道，甲單獨(dú)完成需14 天，乙單獨(dú)完成需 18 天，丙單獨(dú)完成需 12 天前7 天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開了一段時(shí)間，后 2 天由乙、丙兩人合作完成，問乙中途離開了幾天？解析】設(shè)乙中途離開了x 天，根據(jù)題意可列方程1417 118 7 x 218 121，解得 x 37 / 12【答案】乙中途離開了 3 天【例 22】某中學(xué)庫存若干套桌凳，準(zhǔn)備修理后支援貧困山區(qū)學(xué)校，現(xiàn)有甲、乙兩木工組，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多 8 套，甲單獨(dú)修完這些桌凳比乙單獨(dú)修完多用 20天，學(xué)校每天付

25、甲組 80 元修理費(fèi)，付乙組 120 元修理費(fèi)（1）問該中學(xué)庫存多少套桌凳？（ 2）在修理過程中，學(xué)校要派一名工人進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天10 元生活補(bǔ)助費(fèi)，現(xiàn)有三種修理方案：由甲單獨(dú)修理；由乙單獨(dú)修理；甲、乙合作同時(shí)修理你認(rèn)為哪種方案省 時(shí)又省錢為什么？【解析】（1）設(shè)該中學(xué)庫存 x套桌凳，根據(jù)題意可列方程：x x 20 ，解得 x 96016 24 （2）方案所需費(fèi)用： 960 80 10 5400 （元）；16 方案所需費(fèi)用： 960 120 10 5200 （元）； 方案所需費(fèi)用： 960 80 120 10 5040 （元）16 24 綜上，方案最省錢【答案】（1）960套；（2

26、）方案最省錢模塊六：商品銷售問題在現(xiàn)實(shí)生活中，購買商品和銷售商品時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、打折等概念，在了解這些基 本概念的基礎(chǔ)上，還必須掌握以下幾個(gè)等量關(guān)系：利潤 標(biāo)價(jià)=進(jìn)價(jià) 1+利潤率利潤=售價(jià)進(jìn)價(jià) 利潤率 = 100%進(jìn)價(jià) 利潤=進(jìn)價(jià) 利潤率實(shí)際售價(jià) =標(biāo)價(jià) 打折率【例23】某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4% ，使得利潤增加了 8個(gè)百分點(diǎn)，求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率 .【解析】設(shè)經(jīng)銷這種商品原來的利潤率為 x ，原進(jìn)價(jià)為 a ，根據(jù)題意可列方程：a（1 x） a（1 6.4%）（1 x 8%） ，解得 x 17% 【答案】 17%【例24】某商品月末的進(jìn)貨價(jià)為

27、比月初的進(jìn)貨價(jià)降了8%，而銷售價(jià)不變， 這樣，利潤率月末比月初高 10%，問月初的利潤率是多少？【解析】設(shè)月初進(jìn)貨價(jià)為 a元，月初利潤率為 x，則月初的銷售價(jià)為 a 1 x 元，月末進(jìn)貨價(jià)為 a 1 8% 元， 銷售價(jià)為 a 1 8% 1 x 10% 元，根據(jù)月初銷售價(jià)與月末銷售價(jià)相等可列方程： a 1 x a 1 8% 1 x 10% ，解得 x 0.15 8 / 12答案】 15%例25】某公司生產(chǎn)一種飲料是由 A，B 兩種原料液按一定比例配制而成， 其中 A 原料液的成本價(jià)為 15 元 /千克， B 原料液的成本價(jià)為 10 元 /千克，按現(xiàn)行價(jià)格銷售每千克獲得70%的利潤率由于市場競爭，

28、物價(jià)上漲， A 原料液上漲 20%， B 原料液上漲 10%，配制后的總成本增加了 12%，公司為了 拓展市場，打算再投入現(xiàn)總成本的 25%做廣告宣傳，如果要保證每千克利潤不變，則此時(shí)這種飲 料的利潤率是多少？解析】原料液 A 的成本價(jià)為 15元/千克，原料液 B的成本價(jià)為 10 元/千克，漲價(jià)后，原 A 價(jià)格上漲 20%，變?yōu)?18元； B 上漲 10%，變?yōu)?11 元，總成本上漲 12%， 設(shè)每 100千克成品中，二原料比例 A 占x千克， B占（ 100-x）千克，則漲價(jià)前每 100 千克成本為 15x 10 100 x ，漲價(jià)后每 100 千克成本為 18x 11 100 x ，根據(jù)題

29、意可列方程：18x 11100x 1x5 10 10x0 1 ，1 2解%得 x 100，所以600100 x7即二者的比例是： A:B 1:6 ，則漲價(jià)前每千克的成本為 15 60 75 （元），銷售價(jià)為 127.5 元，7 7 7 7 利潤為 7.5 元原料漲價(jià)后，每千克成本變?yōu)?12 元，成本的 25%為 3 元，保證利潤為 7.5 元， 則利潤率為： 7.5 12 3 50% 【答案】50%模塊七：方案決策問題在實(shí)際生活中，做一件事情往往會(huì)有多種選擇，這就需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò) 的使用，到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，把每一種方案的結(jié)果先算出來，進(jìn)行比較后 得

30、出最佳方案例 26】 某 開發(fā)商進(jìn)行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款：投資者購買商鋪后， 必須由開發(fā)商代為租賃 5 年，5 年期滿后由開發(fā)商以比原商鋪標(biāo)價(jià)高20%的價(jià)格進(jìn)行回購，投資者可在以下兩種購鋪方案中做出選擇： 方案一：投資者按商鋪標(biāo)價(jià)一次性付清鋪款，每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的 10% 方案二：投資者按商鋪標(biāo)價(jià)的八五折一次性付清鋪款， 2 年后每年可以獲得的租金為商鋪標(biāo)價(jià)的10%，但要繳納租金的 10%作為管理費(fèi)用1）請問：投資者選擇哪種購鋪方案，5 年后所獲得的投資收益率更高？為什么？（注：投資收益率投資收益實(shí)際投資額100% )5 年后兩人獲得的收2）對同一標(biāo)價(jià)的商鋪，甲選擇了購鋪方

31、案一，乙選擇了購鋪方案二，那么益將相差 5 萬元問：甲、乙兩人各投資了多少萬元？ 解析】（1）設(shè)商鋪標(biāo)價(jià)為 x 萬元，則9 / 12按方案一購買，則獲投資收益120% 1 x x 10% 5 0.7x ，投資收益率為 0.7x 100% 70%x按方案二購買，則獲投資收益120% 0.85 x x 10% 1 10% 3 0.62x ，投資收益率為0.62x100% 72.9% 0.85x所以投資者選擇方案二獲得的投資收益率高 （2）由題意得， 0.7x 0.62x 5，解得 x 62.5 ，所以甲投資了 62.5萬元，乙投資了 53.125萬元 答案】略例 27】 有 一個(gè)只允許單向通過的窄

32、道口，通常情況下，每分鐘可以通過9 人 一天王老師到達(dá)道口時(shí)，發(fā)現(xiàn)由于擁擠， 每分鐘只能有 3 人通過道口， 此時(shí)，自己前面還有 36 個(gè)人等待通過， 通過道口后， 還需 7 分鐘到達(dá)學(xué)校（ 1）若繞道而行，要 15 分鐘到達(dá)學(xué)校。從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校還是選擇通 過擁擠的道口去學(xué)校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后秩序恢復(fù)正常（每分鐘仍有3 人通過道口） ，結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了 6 分鐘通過道口，問維持秩序的時(shí)間是多少？解析】（ 1）王老師通過道口去學(xué)校，需要 336 7 19 15 ，故從節(jié)省時(shí)間角度考慮， 他應(yīng)選擇繞道去學(xué)校；2）設(shè)維持秩序時(shí)間為 x 分，

33、 則維持秩序這段時(shí)間內(nèi)過道口的有3x 人， 維持好秩序后過道口的有 36 3x人，根據(jù)題意可列方程： 36 x 36 3x 6 ，解得 x 3 39【答案】（ 1）從節(jié)省時(shí)間角度考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校；（ 2）維持秩序的時(shí)間是 3 分鐘【例28】老師帶著兩名學(xué)生到離學(xué)校 33 千米遠(yuǎn)的博物館參觀 老師乘一輛摩托車， 速度為 25千米小時(shí)這輛摩托車后座可帶乘一名學(xué)生， 帶人后速度為 20 千米小時(shí) 學(xué)生步行的速度為 5 千米小時(shí) 請你設(shè)計(jì)一種方案，使師生三人同時(shí)出發(fā)后都到達(dá)博物館的時(shí)間不超過 3 小時(shí) 解析】設(shè)學(xué)生為甲、乙二人乙先步行，老師帶甲乘摩托車行駛一定路程后，讓甲步行，老師返回接乙

34、， 然后老師搭乘乙，與步行的甲同時(shí)到達(dá)博物館設(shè)老師帶甲乘摩托車行駛了x千米，則用時(shí) 2x0 小時(shí)，比乙多行了x32x0 20 5 43x千米 這時(shí)老師讓甲步行前進(jìn)，而自己返回接乙，遇到乙時(shí)，用了經(jīng)步行了 x x 5 3x 千米 ，離博物館還有20 40 83xx 25 5 小時(shí) 乙遇到老師時(shí)，已4 40333 3x 千米 要使師生三人能同時(shí)到達(dá)博物館，甲、乙二人搭乘摩托車的路程應(yīng)相同，則有3x 33 x ，解得 x 24 即甲先乘摩托車 24 千8米，用時(shí) 1.2小時(shí)，再步行 9 千米，用時(shí) 1.8小時(shí)，共計(jì) 3小時(shí)因此，上述方案可使師生三人同時(shí)出發(fā)后都到達(dá)博物館的時(shí)間不超過 3 個(gè)小時(shí)【答案】略模塊八：配套問題10 / 12“配套”型應(yīng)用題中有三組數(shù)據(jù)： （ 1）車間工人的人數(shù)； （2）每人每天平均能生產(chǎn)的不同的零件 數(shù)；（ 3）不同零件的配套比 （利用（ 1）（ 3）得到等量關(guān)系，構(gòu)造方程）一般地說，（ 2）、（3）兩個(gè)數(shù)據(jù)可以預(yù)先給定例如，在給出（2）、（3）兩組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，如何確定車間工人人數(shù)