1、第二輪第17講導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一、專題綜述導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實(shí)際咨詢題的有力工具0在高中時期關(guān)于導(dǎo)數(shù) 的學(xué)習(xí)，要緊是以下幾個方而：b導(dǎo)數(shù)的常規(guī)咨詢題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）：C2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平而曲 線的切線）；（3）應(yīng)用咨詢題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于”次 多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)咨詢題屬于較難類型。2. 關(guān)于函數(shù)特點(diǎn)，最值咨詢題較多，因此有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷 簡便。3導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖彖的混合咨詢題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一 個方向，應(yīng)引超注意。二、知識整合1. 導(dǎo)

2、數(shù)概念的明白得.2. 利用導(dǎo)數(shù)判不可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際咨詢題的最大值與最小值.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法那么，接下來對法那么進(jìn)行了證明。3. 要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)：（1）熟練把握各差不多初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法那么，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 法那么。（2）關(guān)于一個復(fù)合函數(shù)，一誰要理淸中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。4. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一樣按以下三個步驟進(jìn)行：（1）適當(dāng)選定中間變S，正確分解復(fù)合關(guān)系；2）分步求導(dǎo)（弄淸毎一步求導(dǎo)是哪個變量對 哪個變量求導(dǎo)：3）把中間變撼代回原自變量

3、（一樣是X）的函數(shù)。也確實(shí)是講，第一，選立中間變S,分解復(fù)合關(guān)系，講明函數(shù)關(guān)系y=f（u）. u=f（x）：然后將函數(shù)對中間變量求導(dǎo)（才“），中間變量對自變量求導(dǎo)（“：）：最后求并將中間變量代 回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解一求導(dǎo)一回代。熟練以后，能夠省略中間過程。 假設(shè)遇多重復(fù)合，能夠相應(yīng)地多次用中間變量。三.例題分析例 1 y = f(x)hX ax + hx1思路：y = /（X）=ax + hxl在X = 1處可導(dǎo),必連續(xù)lim f（x） = 1 KT廣/(I) = 1.a + h = a = 2b = -ilim f(x) = a + h YT廣lim = 2 lim = a

4、 atit Axa-mT Ax例2. f(x)在處可導(dǎo)，且F (a)=b.求以下極限:(1)血】/( + 3力)i)2h linPWi)分析：在導(dǎo)數(shù)崔義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，也必須選 擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x在x 處可導(dǎo)的條件，能夠?qū)⒁呀o;的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為 導(dǎo)數(shù)立義的結(jié)構(gòu)形式。2h2h解. 亦 /(0 + 3力)一/-力)=亦 /( + 3/0 -/() + /() -/(-力)AtO7AAtO=ii.n /( + %) / + lin, fS-fd z2h32/i3h-h=占曲/(+%)/()+丄恤 fdz 2 z 3h2 i=1廣+*廣Elin(W)

5、-他)=血】/itOh/i-*0巳忸空埠血.腫*3.0=0/r講明：只有深刻明白得概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類咨詢題的關(guān)鍵是等價 變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例3.觀看(xy = xE, (sinx)= cosx , (cosx) = sinx,是否可判定，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：假設(shè)/(x)為偶函數(shù)/(-X)= /(%) 令Um /(兀+心)_/(x)=/(兀)ATAv八-龍)=Un.心+山)-心)=恤/(一心)一小)43+ AvAtO+ AvA-X)-A可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)另證：f=八+龍)-(一審=-fM可導(dǎo)的偶函

6、數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)2 r例4. (1)求曲線y = 竿一在點(diǎn)(1，1)處的切線方程：X- +1(2)運(yùn)動曲線方程為S=m + 2,求t=3時的速度。r分析：依照導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知.函數(shù)y=f(x)在.5處的導(dǎo)數(shù)確實(shí)是曲線y=f(x)在點(diǎn)(Xo.y。)處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時刻的導(dǎo)數(shù)。解：C1)滬2(宀1)-2x2 2-2兀丄(宀1)22-2ylv.=0即曲線在點(diǎn)(1, 1)處的切線斜率k=042 y因此曲線y = 在(b 1)處的切線方程為y=lX +1(2) 5=pr+4產(chǎn) + 廠+4/S1丄+ 2 + 12 = 11色。92727例5.求以下函數(shù)單調(diào)區(qū)

7、間(1) y = f(X)=x - 2x + 52(4) y = 2x- - InaR2C3) V =+ x (k 0)X2解J (1) y = 3x -X- 2 = (3x + 2)(%-I) X e (-s,)U (1 + s)時;/ 02 2/4寧- ZE +s)T X (- 0 X e (-k , 0) U (0 k) y 0A (一8,-幻，(J+s)T (*0), (O.)J14r- -1(4) y = 4x- = ；4義域?yàn)?0, + oo)X XX (0 ,丄)y 0 T2 2例6.求證以下不等式Cl)C2)smx Xe(0 ,-)兀2/C 兀、X sin XV tanx X

8、a e (0,) 2證，(1) /(X)= 111(1+ x)-(x-m /(o)= o /3 = F_-i+x = To21 + xx + iA = /(X)為(0,+s)上Txe(0 , +co) /(a) 0 恒成立v:.ln(l + Qx-才 g(x) =乙“ 4% +4x-2x輕4(1 + 才-丄=E 0I + X 4(1 + “) gd)在(0,+s)上 Tx/. X e (0, + co) Xln(l + X) 0 恒成立2(1 + X)27 令 /(X)= sinx/x X e (0, ) cos A 0 % taii%0 X n2.心沁冷 - go冷)/3 2 Kn(3)令f

9、(X)= tanX-2x + sinx/(0) = 0cos X/V) = SZ X-2 + COS A-= (lYEXcE + sin 嘆)xe(0,|)/V)0(0,|)t/- tan% % x sinx 例7.利用導(dǎo)數(shù)求和：(1)S爼=1 + 2a + 3a + +0,e= S廠C； + 2C；+3C；+ + M；3eZZ。分析：這兩個咨詢題可分不通過錯位相減法及利用二項(xiàng)式;4理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求 導(dǎo)公式可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使咨詢題的解決更加 簡捷。解：Cl）當(dāng)x=l時,= 1 + 2 + 3 + + = ( + 1)2當(dāng)xHl時,1-X兩邊差不多上關(guān)

10、于X的函數(shù)求導(dǎo)得(士 -嚴(yán)11-X即 S* =l + 2x + 3x +曲I(1F(2) V(l + x) =1+Cjx + C+兩邊差不多上關(guān)于X的函數(shù)，求導(dǎo)得時嚴(yán)=十2玄3（?討+令x=l得=Cj +2C +3C： +即； =Cj + 2C； + 3C； + + 心= 2” O例& 設(shè) 0 求函數(shù) f（X）= yx- ln（x + ）（% （0,40）.2yjx x + a當(dāng)O,x0時 /(x)Oox2 +(2t/-4)x + - 0.f (x)0o戈2 +(2rt-4)x + rt 1 時，對所有%0, Wx-+(2-4) + - 0.即r（x）o,現(xiàn)在/（X）在（X+S）內(nèi)單調(diào)遞增.(

11、ii)當(dāng) = 1 時，對XH1, x- +(2a-4)x + a- 0,即r（x）0,現(xiàn)在/（X）在（0, 1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)/）在x=l處連續(xù)，因此,函數(shù)/（X）在（0. +8）內(nèi)單調(diào)遞增(ill)當(dāng)0(/0.解得 X 2 a + 2jl “ 因此，函數(shù)/ 在區(qū)間（02-27r市）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（2 7 + 2/?二7,2）內(nèi)也單調(diào)遞增.令廠(X)V 0, t*px + (2a 4)x + u 0,解得 2 a 2Jl a x 2 0, /cv）=+ 是/e上的偶函數(shù)。 a e-X（I）求的值： （II）證明/（欠）在（O.+s）上是增函數(shù)e u I解：(I)依題意，對一切xeR有

12、/(-x) = /(x),即+ = + f- a e ae/. (a 一 一)(0 )=0 對一切 xwR 成立, a由此得到一一 = 0, -=a（ID 證明：由 f（x） = e+e- 得廣（力=丘”一不 =*氣，”一1）,四、04年高考導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題型集錦1. （全國卷10）A （蘭芒）2 22. （全國卷22）當(dāng) X（O,+s）時，有 7（，*一1）0,現(xiàn)在廣（x）0。/（X）在（0,+s）上是增函數(shù)。函數(shù)y=xcosx-sinx在下而哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（B （1（,2九）C （竺.竺）2 2（本小題總分值 14 分）函數(shù) f （x）=ln（l+x）-x, g（x） =xlnx,（i）求函數(shù) f（X）的最大值：（ii）設(shè) 0ab,證明 0g（a）+g：（b）-2g（tP ）（b-a）ln22(C)賓(D)寮刃JoO3.(天津卷9)函數(shù)y = 2sin(-2%)(X0M)為增函數(shù)的區(qū)間是 6(A) 0,-(B)312、124.（天津卷20）（本小題總分值12分）函數(shù)f（x） = ax+hx-3x在尤=1處取得極值。（