1、圓錐曲線焦點三角形和焦點弦性質的探討 摘 要：圓錐曲線是現行高中解析幾何學的重要內容之一，且圓錐曲線知識既是高中數學的重點，又是難點，因而成為高考的重點考查內容。而圓錐曲線的主要內容之一是過圓錐曲線焦點的弦或直線的有關問題，學生在求解此類題目時，常常感到無從下手。為解除這種困惑，在全面研究了高中數學教材及要求的基礎上，通過分析、推導的方法，文章對橢圓焦點三角形的性質，雙曲線焦點三角形的性質及圓錐曲線焦點弦的性質進行了研究和探討，得出圓錐曲線焦點三角形的五條基本性質，以便使學生對相關知識有一個更全面、更系統、更深刻的了解，從而進一步提高運用這些性質去解決相關題目的數學能力和應用能力。關鍵詞：圓錐

2、曲線；焦點三角形；性質；焦點on the properties of conic focal point triangleand focal point stringabstract: the cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it

3、becomes a key examination point in the college entrance examination. the most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. to

4、relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic foc

5、al point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. these properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.key words: cone curve; f

6、ocal point triangle; properties; focal point1引言圓錐曲線是現行高中解析幾何學的重要內容之一，且圓錐曲線知識既是高中數學的重點，又是難點而圓錐曲線的主要內容之一是過圓錐曲線焦點的弦或直線的相關問題.在求解這類問題時，許多學生常常感到束手無策，部分學生由于計算量大的繁鎖，產生厭學數學的情緒為了解除這種困惑，培養或提高學生學習數學的興趣，讓學生掌握一定的解題方法或數學思想是很必要的在數學中，我們常常是利用性質去討論問題，因此，文章首先探討圓錐曲線焦點三角形及焦點弦的性質，然后再討論這些性質的應用.圓錐曲線焦點三角形及焦點弦具有不少性質，許多教師或專家已做

7、過研究.文獻2主要是對橢圓焦點三角形的性質進行研究，而文獻7主要是對雙曲線焦點三角形的性質進行研究.文獻2、7都是孤立地進行探討，缺乏系統性，顯得單一.文獻1、10主要圍繞焦點三角形的內切圓將橢圓焦點三角形與雙曲線焦點三角形的性質結合起來探討，彌補了文獻2、7的不足之處.文獻9主要是探討圓錐曲線焦點弦的幾何特征.作為一個有機整體的圓錐曲線焦點三角形，探求其所具有的共同特征的性質應該是一件非常有意義的事情.在對文獻進行分析、研究的基礎上，文章主要是結合高中數學課程的要求，對橢圓焦點三角形的性質，雙曲線焦點三角形的性質及圓錐曲線焦點弦的性質作一定的探討，將其系統地歸納集中或進行了一定的擴展，讓學生

8、對其有一個更全面、更深刻的了解，從而進一步提高學生運用這些性質去解決相關問題的數學素質和應用能力2圓錐曲線焦點三角形的定義及性質圓錐曲線上一點與其兩焦點所構成的三角形叫做圓錐曲線的焦點三角形1.2.1 橢圓焦點三角形的性質以橢圓的兩個焦點，及橢圓上任意一點（除長軸上兩個端點外）為頂點的，叫做橢圓的焦點三角形2.設=，=，=，橢圓的離心率為，則有以下性質： 圖1性質1 .證明：在中，由余弦定理，有 整理，得 例1 如圖2：、分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是面積為1的正三角形，求的值圖2分析：此題按常規思路是從入手，即，求得所以點的坐標分別為，.由于點在橢圓上，有 解此方程組就可得到的值但這

9、涉及到解二元二次方程組，計算量很大，非常麻煩.若用性質1求解可使運算得以簡化解：連接則， 有 性質2 證明：由性質1得 例2 已知、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任一點，且，求的面積分析：如果設點的坐標為，由點在已知橢圓上且，利用這兩個條件，列出關于,的兩個方程，解出,再求的面積，這種方法，運算量大且過程繁雜，須另尋捷徑知道，可以直接利用性質2求解，使運算量簡化.解： 例3已知點是橢圓上任一點，且.求證：.證明： 例4 點是橢圓上一點，以點以及焦點、為頂點的三角形的面積等于1，求點的坐標分析：要求點的坐標，不妨設點坐標為，由點在已知橢圓上和的面積等于1，可列兩個方程，解方程可得點的坐標此題也可在例

10、3的基礎上進行求解3解：設點坐標為,則有 把代入 得 性質3 .證明：由正弦定理，有 即 .因為，所以 .當點p在長軸上的端點時，這時，不存在，因此，4.性質4 離心率 證明：由正弦定理，有 例5 （2004年福建高考題）已知、是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于、兩點，若是正三角形，求這個橢圓的離心率5. 分析：由是正三角形可知，根據橢圓的第一定義可求得.再由可求得離心率e.若用性質4解題，求解更簡便解：根據已知條件有（如圖3） 圖3性質5 .證明：由正弦定理，有 .例6 如圖4，是橢圓上一點，、是焦點，已知求橢圓的離心率6 圖4分析：知道我們可以直接利用性質5解題解：由性質5

11、有 化簡，得 2.2 雙曲線焦點三角形的性質以雙曲線的兩個焦點、及雙曲線上任意一點（除實軸上兩個端點外）為頂點的，叫做雙曲線的焦點三角形7.設=，=，=，雙曲線的離心率為，則有以下性質：圖5 性質1 證明：在中，由余弦定理，有 由得 例1 設和為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，求的面積.解： .性質2 .證明：由性質1得 .例2 已知點（）、（），動點滿足.當點的縱坐標是時，若令，求的值解：由雙曲線的第一定義可知點p的軌跡方程為則.所以 例3 設點是雙曲線上任一點，且 求證：分析：此題根據已知條件列方程求解，計算量大且過程繁瑣，應另外尋求解法，由于和的高相等，不妨從的面積入手進行求解.證

12、明： 性質3 離心率 （）.證明：由正弦定理，有 即又 .例4 （2002年上海高考題） 如圖6，已知、為雙曲線的焦點，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點，且.求雙曲線的漸近線方程分析：由于雙曲線的漸近線方程為，若能求出,的值，漸近線方程就可確定.在此題中，我們不易求出,的值，我們將作一下變形，若能求出e的值，則漸近線方程就求出知道，利用性質4可求e.圖6解： 性質4 （1）當p點在雙曲線右支上時 （2）當p點在雙曲線左支上時 證明：（1）當p點在雙曲線右支上時 由正弦定理，有 例5（2005年福建高考題）已知、是雙曲線的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率8.圖

13、7解：連接，則所以 3圓錐曲線焦點弦的性質性質1 過橢圓一個焦點的直線與橢圓交于點、，、為橢圓長軸上的頂點，和交于點，和交于點，則.圖8證明：如圖，設橢圓的方程為，則可設點的坐標為點、的坐標分別為，則的方程為 的方程為 由得 由于點、共線，則有 化簡，得 將式代入式，得 所以，點的坐標為同理，點的坐標為9. 即 性質2 過雙曲線一個焦點的直線與雙曲線交于、兩點，、為雙曲線實軸上的頂點，和相交于點，和相交于點，則.證明與性質1的證明類似，從略性質3 過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點、，為拋物線的頂點，過點作拋物線對稱軸的平行線交于點，過點作拋物線對稱軸的平行線交于點，則.圖9證明：設拋物線方

14、程為，則點、的坐標可分別設為，.因為、三點共線，所以化簡，得 .又的方程為 ， 的方程為 由得即點的坐標為.同理點的坐標為10.即 4總結文章主要是在對文獻進行分析、研究的基礎上，結合高中數學課程的要求，將具有共同特征的橢圓焦點三角形與雙曲線焦點三角形的性質進行系統地歸納集中，得出五條基本性質，并采用初等方法進行了證明，對圓錐曲線焦點弦的性質進行有機統一，讓學生對其有一個更全面、更深刻的了解，從而進一步提高學生運用這些性質去解決相關問題的數學素質和應用能力.參考文獻1唐永金.圓錐曲線焦點三角形的性質探微j.數學通報,2000,(9):2425.2熊光漢.橢圓焦點三角形的若干性質j.數學通報,2

15、004,(5):2425.3人民教育出版社中學數學室.全日制普通高級中學教科書（必修）數學第二冊（上）m，北京：人民教育出版社，2004.4李迪淼.關于橢圓的十個最值問題j.數學通報,2002,(4):2425.5任志鴻.十年高考分類解析與應試策略（數學）m.海南：南方出版社，2005.6薛金星.中學教材全解高二數學（上）m.陜西：陜西人民教育出版社,2003.7徐希揚.雙曲線焦點三角形的幾個性質j.數學通報,2002,(7):27.8潘際棟.黃岡新考典十年高考分類解析及命題趨勢m.吉林：延邊大學出版社，2005.9李康海.圓錐曲線焦點弦的一個有趣性質j. 數學通報,2001，（5）：23.10毛美生 范慧珍.圓錐曲線的一組相關性質j.數學通報,2002,(12):2728.指導教師評語：圓錐曲線是高中解析幾何的重要內容，現行高中教材僅介紹了圓錐曲線的一些基本性質，對解決較復雜的圓錐曲線問題就顯得無能為力了，而在其他一些的文獻中，雖對有關內容也有探討，但只是停留在解題的層面上，不系統更未形成獨立的體系。文章通過大量的資料查閱、素材積累，在分析、歸納、探索的基礎上，給出了橢圓、雙曲線焦點三角形的七條性質及圓錐曲線焦點弦的三條性質。其中橢圓、雙曲線焦點三角形的七條性質是在文獻2、7中幾個例題的基礎上經過分析、綜合，升華而提出的，并給出了嚴格的數學證