1、圓中的最值問題 【考題展示】 題1 （2012 年武漢中考 ）在坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為 （3 ，0） ，點(diǎn) B為 y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn) C是第一象限內(nèi) 一點(diǎn)，且 AC=2設(shè) tan BOC=m，則 m的取值范圍是 題 2 （2013 年武漢元調(diào) ） 如圖，在邊長(zhǎng)為 1 的等邊 OAB中，以邊 AB 為直徑作 D，以 O為圓心 OA長(zhǎng)為半徑作 O，C為半圓弧 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 A、B兩點(diǎn)重合），射線 AC交 O于點(diǎn) E，BC=a ，AC=b ，求 a b 的最大值 . （有修改） 題 3 （2013 年武漢四調(diào) ） 如圖， BAC=60，半徑長(zhǎng)為 1 的圓 O與 BAC的兩邊相切， P

2、 為圓 O上一動(dòng)點(diǎn)，以 P 為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓 P 交射線 AB、AC于 D、E 兩點(diǎn)，連接 DE，則線段 DE長(zhǎng)度的最大值為 題 4 （2013 年武漢五模 ） 在 ABC 中， A 120 ， BC 6若 ABC的內(nèi)切圓半徑為 r ，則 r 的最大值為 （有修改） AE=DF連接 CF交 BD于點(diǎn) G， 題5 （2013 年武漢中考 ）如圖， E，F(xiàn)是正方形 ABCD的邊 AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 連接 BE交 AG于點(diǎn) H若正方形的邊長(zhǎng)為 2，則線段 DH長(zhǎng)度的最小值是 題4圖 題5圖 第 1 頁(yè) 共 12 頁(yè) 典題講練】 類型 1（相關(guān)題：題 5） 1.1 如圖，邊長(zhǎng)為 a 的等邊

3、ABC 的頂點(diǎn) A，B 分別在 x 軸正半軸和 y 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn) C 到原點(diǎn) O 的距離的最大值是 1.2 在直角坐標(biāo)系中， ABC 滿足， C=90，AC=8，BC=6，點(diǎn) A，B分別在 x軸、y軸上，當(dāng) A 點(diǎn)從原點(diǎn) 開始在正 x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) B 隨著在正 y軸上運(yùn)動(dòng)（下圖） ，求原點(diǎn) O到點(diǎn) C的距離 OC的最大值，并確定此 時(shí)圖形應(yīng)滿足什么條件 1.3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰直角三角形ABC ， C=90 ，AC=BC=2 ，點(diǎn) A、C分別在 x軸、 y 軸上，當(dāng)點(diǎn) A 從原點(diǎn)開始在 x 軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) C 在 y 軸正半軸上運(yùn)動(dòng) （ 1）當(dāng) A 在原點(diǎn)

4、時(shí)，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （2）當(dāng) OA=OC 時(shí)，求原點(diǎn) O到點(diǎn) B 的距離 OB； （ 3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，求原點(diǎn) O 到點(diǎn) B 的距離 OB 的最大值，并說明理由 1.4 邊長(zhǎng)為 2 的等邊 ABC 的頂點(diǎn) A 在 x 軸的正半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn) B 在射線 OD 上移動(dòng)， AOD=45 ，則頂 點(diǎn) C 到原點(diǎn) O 的最大距離為 第 2 頁(yè) 共 12 頁(yè) 1.5 如圖，O的直徑為 4，C為 O上一個(gè)定點(diǎn)， ABC=30，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧 AB 向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) P與點(diǎn) C在直徑 AB的異側(cè) ） ，當(dāng) P點(diǎn)到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作 CP的垂線 CD交 PB

5、的延 長(zhǎng)線于 D 點(diǎn) （1）在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過程中，線段 CD長(zhǎng)度的取值范圍為 ； （2）在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過程中，線段 AD長(zhǎng)度的最大值為 P 1.6 如圖，定長(zhǎng)弦 CD在以 AB為直徑的 O上滑動(dòng)（點(diǎn) C、D與點(diǎn) A、B 不重合），M是 CD的中點(diǎn)，過點(diǎn) C作 CP AB于點(diǎn) P，若 CD=3， AB=8，則 PM長(zhǎng)度的最大值是 1.7 如圖，在 RtABC中， ACB=90， AC=4，BC=3，點(diǎn) D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 AD=2，M為 BD的中點(diǎn)， 在 D 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段 CM長(zhǎng)度的取值范圍是 類型 2（相關(guān)題：題 4） 第 3 頁(yè) 共 12 頁(yè) 2.1 如圖，已知 AB是O的弦

6、，C是O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AC、BC， C=60， O的半徑為 2，則 ABC 面積的最大值是 AC= OB， 2.2 如圖，已知直線 MN經(jīng)過 O上的點(diǎn) A，點(diǎn) B 在 MN上，連 OB交 O于 C點(diǎn)，且點(diǎn) C是 OB的中點(diǎn)， 若點(diǎn) P是 O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) AB=時(shí)， APC的面積的最大值為 ABDPC面 2.3 如圖，半圓 O的半徑為 1，ACAB，BDAB，且 AC=1，BD=3，P 是半圓上任意一點(diǎn)，則封閉圖形 積的最大值是 AB=5 ， 則斜邊上的高的最大值為 2.5 如圖，若 RtABC 的斜邊 AB=2 ，內(nèi)切圓的半徑為 r，則 r 的最大值為 第4 頁(yè)共12 頁(yè) 2.6 如

7、圖，在 ABC 中， AB=10 ，AC=8 ， BC=6 ，經(jīng)過點(diǎn) C且與邊 AB 相切的動(dòng)圓與 CB，CA 分別相交于點(diǎn) E， F，則線段 EF 長(zhǎng)度的最小值是 2.7 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線 AB經(jīng)過點(diǎn) A（ 4，0）、B（0，4），O的半徑為 1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)） ， PQ的最小值為 2.8 如圖所示，在直角坐標(biāo)系中， A點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 2）， A的半徑為 1，P為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)， PQ切 A于 類型 3（相關(guān)題：題 3） 第5 頁(yè)共12 頁(yè) 3.1 如圖， ABC中， BAC=60， ABC=45， AB=2 ， D是線段 BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AD為直徑畫 O分

8、別交 AB， AC于 E，F(xiàn)，連接 EF 1）探究線段 EF 長(zhǎng)度為最小值時(shí)，點(diǎn) D的位置，請(qǐng)畫出圖形； 2）求出該最小值 3.2 如圖，在 ABC中，已知 AB=5， BC=8， AC=7，動(dòng)點(diǎn) P、 Q分別在邊 AB、 AC上，使 APQ的外接圓與 BC相 切，則線段 PQ的最小值等于 CD AB 于 P，設(shè) AP=a， ab 的最大值，并求出此時(shí) PB=b a，b的值 （參考 2.4 、 2.5 ） 類型 4（相關(guān)題 : 題 2） 4.1 如圖，點(diǎn) C 在以 AB 為直徑的 O 上， 2）如果 a+b=10 ，求 4.2 如圖，半徑為 2的O 有兩條互相垂直的弦 AB 和 CD ，其交點(diǎn)

9、 E到圓心 O 的距離為 1，則 AB 2+CD 2= 4.3 如圖， O的半徑為 2，點(diǎn) P是O 內(nèi)一點(diǎn)，且 OP= ，過 P作互相垂直的兩條弦 AC 、BD ，則四邊形 ABCD 面積的最大值為 第 6 頁(yè) 共 12 頁(yè) 1 為半徑的圓內(nèi)有一定點(diǎn) A ，過 A 引互相垂直的弦 PQ， RS求 PQ+RS 取值范圍 4.5 如圖，線段 AB=4，C 為線段 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 則 O半徑的最小值為. 以 AC、BC為邊作等邊 ACD和等邊 BCE， O外接于 CDE， 4.6 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心， 2 為半徑畫 O，P是 O上一動(dòng)點(diǎn)，且 P在第一象限內(nèi)，過 點(diǎn) P 作 O

10、的切線與 x 軸相交于點(diǎn) A，與 y軸相交于點(diǎn) B，線段 AB長(zhǎng)度的最小值是 . 類型 5（相關(guān)題：題 1） 5.1 如圖，已知 A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （-2 ，0） 、 （0 ， 1） ， C的圓心坐標(biāo)為 （0 ，-1） ，半徑為 1，D是C上 第 7 頁(yè) 共 12 頁(yè) 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 AD與 y 軸交于點(diǎn) E，則 ABE面積的最大值是 5.2 如圖， Rt ABC中， C=90， A=30， AB=4，以 AC上的一點(diǎn) O為圓心 OA為半徑作 O，若 O與邊 BC始終有交點(diǎn)（包括 B、C 兩點(diǎn)），則線段 AO的取值范圍是. 5.3 如圖，在 RtABC中，C=90，AC=6，BC=8

11、，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn) D作CD的垂線交直線 BC于點(diǎn) E， 則線段 CE長(zhǎng)度的最小值是. 5.4 在坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 3，0），點(diǎn)B是y軸右側(cè)一點(diǎn)，且 AB=2，點(diǎn)C上直線 y=x+1 上一動(dòng)點(diǎn)，且 CB AB于點(diǎn) B，則 tan ACB m ，則 m 的取值范圍是 . 5.5 如圖， A點(diǎn)的坐標(biāo)為（ -2 ， 1），以 A為圓心的 A切 x 軸于點(diǎn) B，P（a，b）為 A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)分別探 索： b a 的最大值； b a 的最小值； b a 的最大值； b a 的最大值； 第8 頁(yè)共y12 頁(yè) 拓展延伸】： b 2a的范圍； b 2a 的范圍； 類型 6 6.1 如圖，C

12、D是 O的直徑，點(diǎn) A是半圓上的三等分點(diǎn)， B是弧AD 的中點(diǎn)， P點(diǎn)為直線 CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng) CD=4 時(shí)， 求：（ 1） AP+BP 的最小值 （ 2）APBP 的最大值 6.2 如圖，已知圓 O 的面積為 3，AB 為直徑，弧 AC 的度數(shù)為 80，弧 BD 的度數(shù)為 20，點(diǎn) P 為直徑 AB 上任一點(diǎn)，則 PC+PD 的最小值為 6.3 如圖， AB 、CD是半徑為 5的 O的兩條弦， AB=8，CD=6，MN 是直徑， AB MN 于點(diǎn)E，CDMN 于 點(diǎn) F，P為 EF上的任意一點(diǎn)，則 PA+PC的最小值為 BC=2cm ， F是弦 BC的中點(diǎn)， ABC=60 若動(dòng)點(diǎn) E以

13、 2cm/s的速度從 A 點(diǎn)出發(fā)沿著 AB方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（s），連接 EF、CE ，當(dāng) t為秒時(shí)， CE+EF 最小，其最 小值是 第9 頁(yè)共12 頁(yè) 6.5 四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓，已知 ADC=90 ，CD=4，AC=8 ，AB=BC 設(shè) O是AC的中點(diǎn) （1）設(shè) P是 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，求 OP+PC的最小值； （2）設(shè) Q，R 分別是 AB ，AD 上的動(dòng)點(diǎn)，求 CQR 的周長(zhǎng)的最小值 補(bǔ)充練習(xí) （與例題類型不完全對(duì)應(yīng)） 1. 如圖，已知直線 l 與 O相離， OAl 于點(diǎn) A， OA=5， OA與 O相交于點(diǎn) P， AB與 O相切于點(diǎn) B， BP的延 長(zhǎng)線交直線 l 于

14、點(diǎn) C，若在 O 上存在點(diǎn) Q，使 QAC是以 AC為底邊的等腰三角形，則 O 的半徑 r 的取值范 2）若點(diǎn) G 在線段 第 10 頁(yè) 共 12 頁(yè) 2已知：如圖， Rt ABC中， B=90o， A=30o， BC=6cm，點(diǎn) O從 A點(diǎn)出發(fā)，沿 AB以每秒 3 cm的速度向 B 點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)了 t 秒（t 0）時(shí)，以 O點(diǎn)為圓心的圓與邊 AC相切于點(diǎn) D，與邊 AB相交于 E、F 兩 點(diǎn)，過 E作 EG DE交射線 BC于 G. （ 1）若點(diǎn) G在線段 BC上，則 t 的取值范圍是 BC的延長(zhǎng)線上，則 t 的取值范圍是 3如圖， M， N的半徑分別為 2cm，4cm，圓心距

15、MN=10cmP為 M上的任意一點(diǎn)， Q為 N上的任意一點(diǎn)， 直線 PQ與連心線 l 所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng) P、 Q在兩圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)， tan 的最大值為 4如圖，在矩形 ABCD中， AB=3，BC=4， O 為矩形 ABCD的中心，以 D為圓心 1 為半徑作 D，P為 D上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AP、 OP，則 AOP面積的最大值為 5如圖，在 RtABC中， C=90，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn) C 且與邊 AB相切 的動(dòng)圓與 CA、CB分別相交于點(diǎn) P、 Q，則線段 PQ長(zhǎng)度的最小值是 6如圖，在等腰 RtABC中，C=90，AC=BC=，4D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn) E不與點(diǎn) A重合）， 過 A、D、E 三點(diǎn)作 O，O 交 AC于另一點(diǎn) F，在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中， 線段 EF長(zhǎng)度的最小值為 7如圖， A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （2 ， 0） 、（0 ， 2） ， C的圓心的坐標(biāo)為 （-1 ，0） ，半徑為 1，若 D是C上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 DA與 y 軸交于點(diǎn) E，則 ABE面積的最小值是 A 8如圖，等腰 Rt ABC中， ACB=90， AC=BC=4， C的半徑為 1，點(diǎn)P在斜邊 AB上， PQ切 O于點(diǎn) Q，則 切線長(zhǎng) PQ長(zhǎng)度的最小值為 第 11 頁(yè) 共 12 頁(yè) 9在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 3， 0），點(diǎn)