1、山東師范大學附屬中學2019屆高三第四次模擬數學（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 已知集合 - I J：.：,貝則“定一：A.- 門B. d）C. D. （ - :i. - I1 I【答案】A【解析】【分析】由A與B,求出兩集合的交集即可.【詳解】集合m：；,心+2；卜:Z + 宀）,，則I故選：A.【點睛】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.2. 設復數/- . 是虛數單位，則1 - z12. 1 2. 1 2.A.B.C.D.1厶【答案】B【解析】【分析】1 + Z把，代入，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】 I ,1-1 z 1

2、 - 1 + iii（2 I i）12.故選：B.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎題.3. 命題 ：，._的否定是A.三：，止一 H 1B. 1C.三二三：；：，J 一1D.八 1 k , 1【分析】 根據全稱命題的否定為特稱命題，即可得到答案【詳解】全稱命題的否定為特稱命題，命題八 f -； - -I的否定是1:三：，.： -故選：C.【點睛】本題考查了命題的否定，屬于基礎題.4. 在等差數列，：中則數列，：的前11項和I. 一()A. 8B.16C. 22D. 44【答案】C【解析】【分析】 / Tr+ n Jxt本道題利用 1 ,得到,再利用、,計算結果，即可得出答案【詳解

3、】利用等差數列滿足- -,代入. I.,得到+ 5.f-.T. + ； !,解得-_ -(a + 1)1 1,、,.,故選C.【點睛】本道題考查了等差數列的性質，利用好- - L F和、.,即可得出n2答案5. 在 ：中，九上，I , AD為BC邊上的高，0為AD的中點，若則入+(1 1 2A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】1r通過解直角三角形得到丨；，利用向量的三角形法則及向量共線的充要條件表示出，利用向量共線的充要條件表示出，根據平面向量就不定理求出，-值.【詳解】在 I中，丨,.r I又:所以|;|T1 丄_L AD AB BD AB BC:為AD的中點* - = 1 - ,

4、 1 *A0 - AU _ AB 百甌V =A * + 廠AO AB BC1 I：入=鬪=石2A A + |1 =故選：D.【點睛】本題考查解三角形、向量的三角形法則、向量共線的充要條件、平面向量的基本定理.6. 如圖，一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積為（）【答案】C【解析】正住戒圖側蛙戒圖A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由三視圖可知高為-,., i -：，應選B7. 設函數是定義在R上的奇函數，當，時，則：: | IA. 2B. 1C. :D.【分析】根據題意，由函數的解析式可得；的值，結合函數的奇偶性可得：!:的值，則有II： .I I： .

5、I：. .，結合函數的解析式計算可得答案.【詳解】根據題意，當.，時叮一*廿；，則又由函數為奇函數，則:I ,：I I -I-1,故選：C.【點睛】本題考查函數的奇偶性與函數值的計算，關鍵掌握函數奇偶性的定義，屬于基礎題.8. 定義運算：善；k厲一旳勺，將函數倫）=|半漂囂陰）的圖象向左平移孕個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，貝U的最小值是（）1573A. B. C. D.【答案】B【解析】函數=屮:誥=低曲必一哥n=伽瑋恥+舟）（a0）,（工）的圖象向左平移y 個單位，所得圖象對應的函數為 一廠胡.；.一.：| 門：，-；又函數為偶函數,：:二“二解得i -三；當：時，.取得最小值是， 故

6、選B.9. 已知三棱錐 4汀:的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，且:-,則該三棱錐的外接球的表面積為a4-J3416A.B. -:、C.D.；七【答案】D【解析】分析：說明S在底面上的射影是 AB的中點，也是底面外接圓的圓心，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積.詳解：由題意，點 S在底面上的射影 D是AB的中點，是三角形 ABC的外心，B令球心為O如圖在直角三角形 ODC中，由于 AD=1, SD= l=.,則（.-R） 2+12=R2,解得R=，貝U S球=4 n R2=故選：A.點睛：設幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形，直角三角形，矩形，它們的外心可用其幾何性質求；而其它不規

7、則圖形的外心，可利用正弦定理來求若長方體長寬高分別為 則其體對角線長為長方體的外接球球心是其體對角線中點找幾何體外接球球心的一般方法：過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線，交點即為球心.三棱錐三條側棱兩兩垂直，且棱長分別為 ，則其外接球半徑公式為：: 0) 上一點，由定義易得|PF| = xo+ ;若過焦點的 弦AB的端點坐標為 A (xi, yi) , B( X2, y2),則弦長為|AB| = Xi + X2+ p, xi + X2可由根與系 數的關系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數形結合的方法類 似地得到.12. 已知直線-/ - .: -與圓 交于不同的兩點

8、 A, B, O是坐標原點，且有:;-八 那么k的取值范圍是A. ：,. IB. |:.2. :C.D.【答案】B.2-. :【解析】【分析】根據題意，設圓心到直線-.：匚的距離為d ；由直線與圓相交的性質可得-4=L- .-： ：.,則有一.；設 與，的夾角即二旳1，由數量積的計算公式可得:八，變形可得，則，結合直線與圓的位置關系分析可得；-I，解可得:，綜合可得答案.【詳解】根據題意，圓-的圓心為，半徑：，設圓心到直線-； .； 一 E-的距離為d;若直線. 式藥 + zjy T) = 12 ,當且僅當,：_ ； 時取等號，故!汽匕的最小值是12,故答案為：12【點睛】本題考查了基本不等式

9、及其應用屬基礎題.16. 已知雙曲線C：二右支上非頂點的一點 A關于原點0的對稱點為B, F2 b為其右焦點，若F丄FR,設zABr = O,且0E (占，則雙曲線C離心率的取值范圍是 .【答案】.:【解析】【分析】設雙曲線的左焦點為.，連接 , ., , - II,可得四邊形為矩形，運用勾股定理和雙曲線的定義，結合對勾函數的單調性，計算可得所求范圍.【詳解】解：設雙曲線的左焦點為 ，連接 ，.,-、-11止，可得四邊形r為矩形，設崩II】，即有卩:孑|=|總.;=;且 I I r - 丨.，： I I -,m2 c2 4cshi2 4- j?112 .21 m nm t ein m由，可得：

10、.I - I . - I :,1則即有二，6 ! “故答案為：乂二: 【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查離心率的范圍，注意運用勾股定理和對勾函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共 7小題，共82.0分）17. 已知. . F ;:，設；：=口 .（1）求：的解析式及單調遞增區間；（2） 在宀中，角所對的邊分別為 ，且 -，求的面積.【答案】答案見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）利用數量積的坐標運算可以得到；.I. , .，再逆用二倍角1nn jt八-.:-，最后令- /解出的范圍即為的單調遞增區間.（2）根據:可以得到.：，再用余弦定理求出:， 故面積為

11、.解析：()因為. I. .I . -1 ，令-:解得所以：的單調遞增區間 為一洛+血兀咗+ /c?r(k E Z).tf1j1 ，應 /Ji 13?i(2)由；、可得、i,【，又所以，,.，解得.：.由余弦定理可知! c ：“一小：. .：宀，所以 i I：、，故 fl，所以1-J3:_ 嚴_ :.18. 數列二：的前項和為，已知成等比數列.(1 )求數列：的通項公式；(2)若數列：匚滿足 ：，求數列：二的前項和；.TE【答案】 汎=2n-1; (2) Tn=6+(2n-3) x.【解析】試題分析：(1)因為二 -匯亠:I亠匸，變形后為, - 一.一 -也即是 .廠所以二：是一個等差數列且公

12、差為2,再利用 :成等比數列可以得到匚- 1 ,所以:-:的通項為一沖一.(2)計算可得-: 二，它是等差數列和等比數列的乘積，用錯位相減法求其前項和.解析：(1)因為- ,所以S I i 一 J 廠兒一心-I,故數列是公差為 的等差數列；又 JW，成等比數列，所以- 1 -：-，解得門一 ，故口崔=1 + 2(n 1) = 27i- l(n e JV *).(2)由(1)可得：_ ： I -；.:，故.：；：”I 二二 二_.：_-_ : _ ,又_： _ - : J.- :_, 由錯位相減法得：一 ；-I -馳-2)卄1=2 + 2 x 1-2-(2n-l) -2_ - _:一.二-:J

13、-_,整理得：；_- :.19. 四邊形、，是菱形， 是矩形,I ll |/_- Tihi/;:-于一，- -是的中點B（I ）證明：工 襯工：（II ）求二面角三腫-打的余弦值【答案】（I ）略；（II）【解析】試題分析：（I）利用中點的性質進行分析即可；（II ）以為原點，；所在直線為x軸，所在直線為Y軸，所在直線為Z軸建立空間直角坐標系，通過向量有關知識進行計算即可試題解析：（I ）證法一：設1 ;1 / -的中點為：，因為是：的中點，GH/EF（/ACtGH = AC = OC OCGH是平行四邊形 CG/OHCGiBDF,O!I c:半血FDFGG打平BDF證法二：因為是的中點，Il

14、liI2?6 = CB + CE =+ AF = DT :* CG/DF(II )設；的中點為、：，；：宀是矩形， ，千仁亠二_二亙，刁二二 d四邊形 ABCD 是菱形，E-HFB以為原點，討所在直線為x軸，所在直線為Y軸，二所在直線為Z軸 建立空間直角坐標系，鞏譏0)期0,點0)0他()上他屁)鞏700)麗二 I2Q0)：麗二|-1 廠 714 厲=(0廠2#0|平面的法向量為；. ;；：；，平面的法向量為- I .I . . I設二面角- J的大小為/考點：空間向量在立體幾何中的應用【方法點睛】利用法向量求二面角時應注意(1) 對于某些平面的法向量要注意題中隱含著，不用單獨求.(2) 注意

15、判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結合圖形進行，以防結論失誤.20. 如圖，設橢圓 ：廠_ u.、：i.i ,長軸的右端點與拋物線：丁的焦點 重a b合，且橢圓的離心率是(I)求橢圓 的標準方程；(n)過作直線交拋物線于二，兩點，過 且與直線垂直的直線交橢圓于另一點；，求面積的最小值，以及取到最小值時直線的方程.【答案】(I) . _ |；(n)】面積的最小值為9,.；二【解析】試題分析：(I)由已知求出拋物線的焦點坐標即得橢圓中的,再由離心率可求得，從而得值，得標準方程;-，設(n)本題考查圓錐曲線中的三角形面積問題，解題方法是設直線方程為，把直線方程代入拋物線方程，化為 y的一元二次方程

16、，由韋達定理得：| -，由弦長公式得|，同樣過：與直線垂直的直線方程為，一一*： ，同樣代入橢圓方程，禾U用韋達定理得；：】卜“心心，其中，是 點的橫坐標，于是可得一，這樣就可用.表示出的面積，* 一，接著可設，-;,用換元法把4m + I表示為的函數，利用導數的知識可求得最大值.試題解析：2 2(I)：橢圓：-， ：，長軸的右端點與拋物線：，.-：的焦點：重合,a b-,又橢圓 的離心率是-一 I ,橢圓 的標準方程為 . _ I (n)過點的直線的方程設為 n ，設圧九迸二，,、 x = my + 2,7聯立 _ ；, 得:-：；：- :!:- - :： H - I- A I-7 或Ov

17、kv時，k=h (x)有且只有一個根；(川)設,因為在0 , 2 單調遞增，故原不等式等價于 |f (xi) -f (X2)| v g ( X2) -g (xi)在xi、X2 0 , 2，且xi vX2恒成立，當a -(ex+2x)恒成立時，a-1 ;當ae x-2x恒成立時，a 上, .-TJr V 十 1(2)當：上一-.時，關于，的方程為1I - 有且僅有一個實根，則一【有且僅/一工( 1(2x-l)e(xJx +lie1x +(x- l)Cx-2)有一個實根，設，則一-13因此：在-丨和上單調遞減，在|：上單調遞增，I 宀,如圖所e13示，實數的取值范圍是11 -(3) 不妨設則 /

18、:； ： . ： | : :-:- |-恒成立.,IXXXX因此1.恒成立，即 I - -:，恒成立,且.恒成立，因此 .和均在二斜上單調遞增，設；一，； 一 .， ， Y I T | 一，:; - -1 ,則 - _ .在上：r|上恒成立，因此一 ，.在：亠|上恒成立因此- 1,而-/-仝在戶上單調遞減,因此;時，：】，.由在f上恒成立,因此_./一,：在I：二上恒成立,因此: -?-： ,設.I _ ,則.一 .當號$時， I ,因此.：在；I內單調遞減，在I 內單調遞增,因此d ,：一”L 二一 一= i：二- -.綜上述I .考點：利用導數求閉區間上函數的最值；根的存在性及根的個數判斷；利用導數研究函數的單調性22. 已知曲線C的極坐標方程是 p = 2,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐(x = 1 + t標系,直線l的參數方程為:.:(t為參數).(1)寫出直線I的普通方程與曲線 C的直角坐標方程；Fix=x, 設曲線C經過伸縮變換：.得到曲線,設Mx,y)為；上任意一點,求-占心十的最小值，并求相應的點 M的坐標【答案】(1)-;( 2)當M為L 或時原式取得 最小值1.【解析】i x = 1 +