1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第11章參數(shù)估計第11章參數(shù)估計典型例題與綜合練習(xí)亠、典型例題1. 抽樣分析例1已知總體X N(80,400)，樣本容量n =100，求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于3的概率.2根據(jù)抽樣分布的定理3.2可知，若設(shè)X1,，Xn是來自正態(tài)總體NU,二)的一組2 N (，)樣本，則樣本均值n解：因為總體X N(80,400)，樣本容量n =100，則樣本均值_ 1 nXXi N(80,4)n i壬故所求概率為P|X -803 = Px -8023 P|叫寧 一 |2 2 2 2 2414_(|) =)= 2 ( 1-0.9332)= 0.1336由于 -80400即 x N(80,4

2、)x N(80,400),n =100,故100由于 x N(80,4)所以x -802 N(0,1)2. 點估計例1設(shè)正態(tài)總體N（J；）中未知，二2已知，又設(shè)xi,x2 ,Xn是來自正態(tài)總體的一個樣本，問下列樣本函數(shù)中哪個是統(tǒng)計量？在統(tǒng)計量中，哪些是的無偏估計？哪個是最佳無偏估計?3 v21211/i、 生；Xi+；X2_；X37(X2+) X乙戸minx x x(1)236； (2) 3；(3)X3；(4)i八；(5)min咅兀入統(tǒng)計量是樣本函數(shù)，其中不應(yīng)含有未知參數(shù)，判定樣本函數(shù)是否為統(tǒng)計量主要 依據(jù)就是這條原則統(tǒng)計量？是否為的無偏估計，就要看？是否滿足E （訶二二.所有 無偏估計中方差

3、最小者是最佳無偏估計量解：根據(jù)統(tǒng)計量的概念可知，（1）、（3）、（4）、（5）都是統(tǒng)計量.（由于（1）、（3）、（4）、（5）中都不含有未知參數(shù)，故他們都是統(tǒng)計量.）求無偏估計量1E(1X121121121齊-齊匕Eg尹心-絆燈；才（計算統(tǒng)計量？的期望，看是否滿足E （詢=j ）1 114eG（ x2）=丄E（x2）=丄33333ECi =12Xi1 3rE(X2)2）春22）Emin旨卞23空J （每次試驗均取最小值） 從上述計算可知（1）、（3）是無偏估計.求最佳無偏估計量D(-Xi22X23-1%3)=D(Xi) d(X2)-2d(X3)64936262j362D(X3 )=；:.-所以

4、(1)是最佳無偏估計量(當(dāng)然這是在所給的幾個統(tǒng)計量中比較而得到的).(計算所有無偏估計量？的方差D(3，其中最小者即為最佳無偏估計量.)例2設(shè)總體X的概率密度為0 . X : 1其它 ，其中日 -1是未知參數(shù)，X1，X2L ,Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機樣本，分別用矩估計法和極大似然估計法求 d的估計量矩估計法是依據(jù)“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則, 建立總體矩與相應(yīng)樣本矩之間的等式關(guān)系，從中求出參數(shù)估計量的方法極大似然估計法就是指似然函數(shù)L(X1，X2廠，XnR)二f(X1 - )f(X2-T f(Xn)在?處取得最大值.解(1)用矩估計法求二的估計量(總體

5、的一階原點矩是期望，二階中心矩是方 差.)由于總體的一階原點矩為址11 +日日七E(X)二 _：xf(x)dxx(1 =)xdx = 2 X1 nXi 樣本的一階原點矩為 門丘2 nXi -1 n i wE(X) x 1 X? = 3 = 1-丄 Xi令E(X)二x，得2，從中解出 1 -x nu(2)用極大似然估計法求，的估計量(由于似然函數(shù)與其對數(shù)具有相同的極大值 點，而似然函數(shù)的對數(shù)函數(shù)的極值一般比較容易求出， 故常常采用對似然函數(shù)取對 數(shù)的方法求極大似然估計)似然函數(shù) L(Xi，X2，Xn； F 二 f (Xj f(X2)f(Xn)=(1 Fn(XiX2 X.)二兩邊取對數(shù)，得 n I

6、n xi dn L(F 二 nln(1 二)Tn(xiX2gdlnL求導(dǎo)數(shù)drIn（X1X2Xn）dlnL令d，=0，得In（X1X2Xn）=0nn二 In Xii A從中解出nn 亠二 In xi?是二的極大似然估計.3. 區(qū)間估計例1設(shè)來自正態(tài)總體X的樣本值：5.1、5.1、4.8、5.0、4.7、5.0、5.2、5.1、5.0試求(1)已知7 = 1 ; (2)二未知兩種情況分別求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間.2對正態(tài)總體 川二)的未知參數(shù)進行區(qū)間估計時，方差二2已知和未知的情 況下，所選取的統(tǒng)計量是不同的，因此服從的分布也是不同的，從而得到的置信區(qū) 間也是不同的.1乂 = (5

7、.1 +5.1 + +5.0) =5.0解：計算得樣本均值9，因為置信度為0.95,所以=0.05.(1) 這是已知方差二二1，對均值，的區(qū)間估計問題.U a查正態(tài)分布數(shù)值表求臨界值勺，：(U=) =1 - ： /2 =1 -0.025 二 0.975 U：2，2 =1.96石1因 X-U：/2 .n = 5.0-1.96X 9 = 4.347a0.01x + U ：/2、n = 2.125+ 1.96X 16 = 5.653故所求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為4.347, 5.653.CT(已知方差二2時，總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為x - U ：/2 n ，CTx +U

8、“2 Jn .)(2) 這是未知方差二2，對均值的區(qū)間估計問題.查自由度為n 1 = 8，=0.05的t分布表得到臨界值tQ05(8)= 2.306s =（Xi x）2計算樣本標準差得s= 0.1581.（樣本標準差一1 V）s0.1581因 X- n = 5.0-2.306X -9= 4.878s0.1581X + 卜 n = 5.0+2.306X、9= 5.122故所求總體均值的90%的置信區(qū)間為4.878 , 5.122.s（未知方差匚2時，總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為x-t：.i n ,sx +切、n ）二、綜合練習(xí)1填空題1. 對于有限總體，采取抽樣，就可以獲得簡單隨機樣本

9、.2. 叫做統(tǒng)計量.3. 對總體X f（x；的未知參數(shù)二進行估計，屬于問題.常用的參數(shù)估計有，兩種方法.4. 比較估計量好壞的兩個重要標準是， .5. 設(shè)Xl，X2，Xn是來自正態(tài)總體N（U_） （ 均未知）的樣本值，貝診數(shù)的置信度為1 - ：的置信區(qū)間為，又參數(shù)匚2的置信度為1 -的置信區(qū)間為1. 隨機有放回地重復(fù)；2 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)；3 參數(shù)估計，矩估計，極大似然估計;4 無偏性，有效性;s.(x - ta(n -1)n，(n -1)s21_： /2 (n - 0 )s(n -1)s2X + 如(n-1)Jn),(/；/2(門-1)2單選題2 21. 設(shè)X1，X2，xn是來自正態(tài)總

10、體NC ） （ 匸均未知）的樣本，則2X1()是統(tǒng)計量：(A) X1; (B) X 1 ; (C)二 2 ; (D)以12. 設(shè)總體X的均值與方差匚2都存在，且均為未知參數(shù)，而X1，X2，Xn是該1 nX = xj2總體的一個樣本，記n心，則總體方差二的矩估計為（）.nnn_丄送（Xi X）2丄送（Xi巴2丄Z Xi2（A） X ; （B） n v; （C） n 山;（D） n id3. 設(shè)NX是來自正態(tài)總體 肌打）的容量為2的樣本，其中為未知參數(shù)，以 下關(guān)于的估計中，只有（）才是的無偏估計24123123X1X2X1X2X1X2X-Ix2(A)33; (B) 44; (C) 44; (D)

11、554. 設(shè)人*廠兒是來自正態(tài)總體N(U2)的樣本，二2已知而為未知參數(shù),記為，已知： ；j(x)表示標準正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)，(1.96)=0.975：(1-28) =0-900，則的置信水平為0.95的置信區(qū)間為()cracra(A)( X -0.975 n ， X +0.975、n ) ; (B) ( X -1.96 、n ， X +1.96 n )CTaCTCT(C)( X -1.28 n ， X +1.28 n ); (D) ( X -0.90 、n ， X +0.90 - n )1. A ；2. B ;3. D ;4. B .3.計算題21. 某種零件長度(單位：cm)服

12、從X N(11,0.3 )，今從中任取9個零件抽檢， 求：(1) 9個零件的平均長度大于11.1cm的概率；2(2) 9個零件的長度的樣本方差大于0.34的概率.2. 假設(shè)隨機變量X服從區(qū)間a,b上的均勻分布，參數(shù)a,b未知，Xn是 來自X的一個樣本，求參數(shù)的矩估計.3. 設(shè)樣本,Xn來自總體f(xL) m：x ,求未知參數(shù)0的極大似然 估計量.4. 假設(shè)某車間生產(chǎn)的滾珠直徑(單位：mm服從正態(tài)分布N(匕0.05)，現(xiàn)從某 天的產(chǎn)品里隨機抽取5個滾珠，測得直徑如下：14.615.114.915.215.1經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第11章參數(shù)估計求置信度為0.95時滾珠平均直徑的置信區(qū)間取:=0.05.11. 33.2.6, 2.43. 第一種 4.6.三、本章作業(yè)1 .樣本心，Xn來自指數(shù)分布1 羋f (x;旳 e 二，x _ a, r 0用矩估計法分別求9, a的估計量.2. 設(shè)樣本九，Xn來自總體f（XL）=積九, :： X :： 1求未知參數(shù)9的極大似然估計量.若隨機抽取一組樣本，得樣本值0.5 ; 0.6 ;0.5 ; 0.4求9的一個極大似然估計值3.假設(shè)新生男嬰的體重服從正態(tài)分布，隨機抽取12名新生男嬰，測其體重分別為（單位：g)：310025203000300036003320316035602880260