1、精選文檔方程的根與函數的零點一、 教學內容分析本節課選自 普通高中課程標準實驗教課書數學 i 必修本 （ a 版） 第 94-95頁的第三章第一課時3.1.1 方程的根與函數的的零點。函數與方程是中學數學的重要內容， 既是初等數學的基礎， 又是初等數學與高等數學的連接紐帶。 在現實生活注重理論與實踐相結合的今天， 函數與方程都有著十分重要的應用， 再加上函數與方程還是中學數學四大數學思想之一， 因此函數與方程在整個高中數學教學中占有非常重要的地位。就本章而言， 本節通過對二次函數的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后由特殊

2、到一般， 將其推廣到一般方程與相應的函數的情形 它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數的內在聯系， 也引出對函數知識的總結拓展。 之后將函數零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中（ 3.1.2 ）加以應用，通過建立函數模型以及模型的求解（ 3.2 ）更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系滲透“方程與函數” 思想。總之，本節課滲透著重要的數學思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數”和“數形結合”的思想，教好本節課可以為學好中學數學打下一個良好基礎，因此教好本節是至關重要的。二 學生學習情況分析程度差異性： 中低等程度的學生占大多數， 程度較高與程度很差的學生占少數。

3、知識、心理、能力儲備：學生之前已經學習了函數的圖象和性質，現在基本會畫簡單函數的圖象，也會通過圖象去研究理解函數的性質，這就為學生理解函數的零點提供了幫助，初步的數形結合知識也足以讓學生直觀理解函數零點的存在性， 因此從學生熟悉的二次函數的圖象入手介紹函數的零點， 從認知規律上講，應該是容易理解的。 再者一元二次方程是初中的重要內容， 學生應該有較好的基礎對于它根的個數以及存在性學生比較熟悉， 學生理解起來沒有多大問題。 這也為我們歸納函數的零點與方程的根聯系提供了知識基礎。 但是學生對其他函數的圖象與性質認識不深（比如三次函數） ，對于高次方程還不熟悉，我們缺乏更多類型的例子， 讓學生從特殊

4、到一般歸納出函數與方程的內在聯系， 因此理解函數的零點、 函數的零點與方程根的聯系應該是學生學習的難點。 加之函數零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。 因此在教學中應加強師生互動， 盡多的給學生動手的機會， 讓學生在實踐中體驗二者的聯系， 并充分提供不同類型的二次函數和相應的一元二次方程讓學生研討， 從而直觀地歸納、 總結、 分析出二者的聯系。可編輯精選文檔三設計思想教學理念：培養學生學習數學的興趣，學會嚴密思考，并從中找到樂趣教學原則：注重各個層面的學生教學方法：啟發誘導式四、教學目標以二次函數的圖象與對應的一元二次方程的關系為突破口，探究方程的根與函數的零點的關系，發現并掌握在某區間上圖

5、象連續的函數存在零點的判定方法； 學會在某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法。讓學生在探究過程中體驗發現的樂趣，體會數形結合的數學思想，從特殊到一般的歸納思想，培養學生的 辨證思維以及分析問題解決問題的能力。五、教學重點難點重點：函數零點與方程根之間的關系；連續函數在某區間上存在零點的判定方法。 難點：發現與理解方程的根與函數零點的關系；探究發現函數存在零點的方法。六、教學程序設計1方程的根與函數的零點以及零點存在性的探索1.1方程的根與函數的零點問題1 :解方程（比賽）：6x1=0 ;3x2 + 6x1=0 。再比賽解3x3 + 6x1=0設計意圖：問題1 （產生疑問，引起興趣，引出課題

6、）比賽模式引入，調動積極性，可根據學分評定中進行過程性評定加分獎勵， 充分調動學生積極性和主動性。第三題學生無法解答，產生疑惑引入課題：教師介紹說一次方程、二次方 程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數的四則運算， 乘方與開方等運 算來表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解， 如3x5+6x-1=0 緊接 著介紹阿貝爾（挪威）定理（五次及高于五次的代數方程沒有一般的代數解法）， 伽羅瓦（法國）的近世代數理論，提出早在十三世紀的中國，秦九韶等數學家 就提出了高次方程數值解的解法， 振奮學生的民族自豪感，最后引出人們一直 在研究方程的近似解方法二分法引入課題。問題2:先來觀察幾個具體的一元二

7、次方程的根及其相應的二次函數的圖象：1程 x22x30 與函數 yx22x32程 x22x10與函數 yx22x13程 x22x30 與函數 yx22x1精選文檔師生互動師：教師引導學生解方程、畫函數圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐 標的關系，推廣到一般的方程和函數引出零點概念。零點概念：對于函數y = f (x) (xcd),把使f (x) =0成立的實數x叫做函數 y = f (x) (xc d)的。師：填表格函數2-4y x 2x 32-/y x 2x 12-/y x 2x 1函數的零點方程的根生：經過獨立思考，填完表格師提示：根據零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與函數方程的根有

8、何關系？生：經過觀察表格，得出第一個結論師再問：根據概念，函數y=f (x)的零點與函數y=f (x)的圖象與x軸交點 有什么關系生：經過觀察圖像與x軸交點完成解答，得出第二個結論師：概括總結前兩個結論(請學生總結)。1)概念：函數的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現，而是實數。例2如函數y x 2x 3的零點為x=-1,32)函數零點的意義：函數y f(x)的零點就是方程f(x) 0實數根，亦即函 數y f (x)的圖象與x軸交點的橫坐標.3)方程f(x) 0有實數根 函數y f(x)的圖象與x軸有交點 函數 y f(x)有零點。師：引導學生仔細體會上述結論。再提出問題：如何并根據函數

9、零點的意義求零點？生：可以解方程f(x) 0而得到(代數法)；可以利用函數y f(x)的圖象找出零點.(幾何法)問題2 一方面讓學生理解函數零點的含義，另一方面通過對比讓學生再次 加深對二者關系的認識，使函數圖象與x軸交點的橫坐標到函數零點的概念轉變 變得更自然、更易懂。通過對比教學揭示知識點之間的密切關系。問題3:是不是所有的二次函數都有零點？師：僅提出問題，不須做任何提示。生：根據函數零點的意義探索研究二次函數的零點情況，并進行交流，總結概 括形成結論.二次函數y ax2 bx c(a 0)的零點：看1) (),方程ax2 bx c 0有兩不等實根，二次函數的圖象與 x軸有兩 個交點，二次

10、函數有兩個零點.2) = 0 ,方程ax2 bx c 0有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象 與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.3) 0 ,方程ax2 bx c 0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二 次函數無零點.第一階段設計意圖本節的前半節一直以二次函數作為模本研究， 此題是從特殊到一般的升華，也 全面總結了二次函數零點情況，給學生一個清晰的解題思路。進而培養學生歸納 總結能力。1.2零點存在性的探索師生互動師：要求生用連續不斷的幾條曲線連接如圖4 a、b兩點，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個學生上臺板書：.a圖4生：兩個學生畫出連接a、b兩點的幾條曲線后發現這

11、些曲線必與直線 l相交。 師：再用連續不斷的幾條函數曲線連接如圖 a、b兩點，引導學生觀察所畫曲線 與直線l的相交情況，說明連接a、b兩點的函數曲線交點必在區間 (a, b)內。區間a, b上 0/無)零點；f(a) f (b) 0(或)。區間b, c上營/無)零點；f(b)f (c) 0(或)。區間c, d上營/無)零點；f(c)f (d) 0(或)。師：教師引導學生結合函數圖象，分析函數在區間端點上的函數值的符號情 況，與函數零點是否存在之間的關系。生：根據函數零點的意義結合函數圖象， 歸納得出函數零點存在的條件，并進行交流、評析總結概括形成結論)一般地，我們有：如果函數 y = f (x

12、)在區間a, b上的圖象是連續不斷的 一條曲線并且有f (a) f (b) 0時，函數在區間(探求2：如果函數y = f (x)在區間a并且有f (a)f- (b) 0時，函數在區間(a, b)內有零點，但是否只一個零點?探求3:如果函數y = f (x)在區間a, b上的圖象是一條連續不斷的曲線， 并且函數在區間(a, b)內有零點時一定有f (a)f (b) 0 ?探求4：如果函數y = f (x)在區間a, b上的圖象不是一條連續不斷的曲0 ?師：總結兩個條件:1)函數y= f (x)在區間a, b上的圖象是連續不斷的一條曲線2)在區間a, b上有 f (a)f (b) 0一個結論：函數

13、y= f (x)在區間a, b內單調則函數在這個區間內有且 只有一個零點補充：什么時候只有一個零點?(觀察得出)函數y = f (x)在區間a, b內單調時只有一個零點例 2 求函數f （x） ln x 2x 6 的零點個數問題：1 ）你可以想到什么方法來判斷函數零點個數？2 ）判斷函數的單調性，由單調性你能得該函數的單調性具有什么特性？第三階段設計意圖 ：教師引導學生理解函數零點存在定理， 分析其中各條件的作用,應用例1 ， 例2 加深對定理的理解3 、練習嘗試（可根據時間和學生對知識的接受程度適當調整）1 求函數 yx32x2x 2 ，并畫出它的大致圖象2 利用函數圖象判斷下列方程有沒有根

14、，有幾個根：（1 ） x2 x2 0 ； （2） f （x）ex 4x ；3 利用函數的圖象，指出下列函數零點所在的大致區間：3（1 ） f（x） x3 3x 3 ； （2） f （x） 2xln（x 2） 3 ；師生互動 師： 多媒體演示； 結合圖象考察零點所在的大致區間與個數， 結合函數的單調性說明零點的個數； 讓學生認識到函數的圖象及基本性質 （特別是單調性） 在確定函數零點中的重要作用生： 建議學生使用計算器求出函數的大致區間， 培養學生的估算能力， 也為下一節的用二分法求方程的近似解做準備。第四階段設計意圖 ： 利用練習鞏固新知識， 加深理解， 為用二分法求方程的近似解做準備4 、探

15、索研究（可根據時間和學生對知識的接受程度適當調整）討論：請大家給方程x2 ex 3 0 的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更小？師生互動 師：把學生分成小組共同探究，給學生足夠的自主學習時間，讓學生充分研究，發揮其主觀能動性。也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發學生學習潛能和熱情。老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區間大小情況。生：分組討論，各抒己見。在探究學習中得到數學能力的提高第五階段設計意圖 ：一是為用二分法求方程的近似解做準備二是小組探究合作學習培養學生的創新能力和探究意識， 本組探究題目就是為了培養學生的探究能力， 此組題目具有較強的開放性， 探究性， 基本上可以

16、達到上述目的。5 課堂小結：零點概念零點存在性的判斷零點存在性定理的應用注意點：零點個數判斷以及方程根所在區間6作業回饋教材pio8習題3. 1 （a組）第1、2題；思考：總結函數零點求法要注意的問題；思考可以用求函數零點的方法求方 程的近似解嗎？作業回饋結合實際問題誘發興趣，結合二次函數引入課二次函數的零點及零點存在性的.研究二次函數在零點、零點之內及零點外的函數值符教學程序設計框圖：分析教材設計意圖，探討教學規律;進一步探索函數零點1踞學思想，提出教學建議。重點放在零點的存在性判斷及零點的確定上。課外活動七、教學反思本設計遵循了由淺入深、循序漸進的原則，分三步來展開這部分 的內容。第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函 數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的 零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。 第二步, 在用二分法求方程近似解的過